Материал: Учебное пособие Немирко Манило

ражениям (3.3)–(3.5), которые, конечно, для этого случая упростятся, получим наилучшую чистую стратегию, удовлетворяющую данному критерию.

Критерий Вальда. Это критерий, согласно которому игрок A выбирает свою минимаксную стратегию, соответствующую его гарантированному выигрышу, равному α. При этом выигрыш будет зависеть от состояний «пр и- роды», но не превысит максимина:

α= maxminaij .

ij

Это очень осторожная стратегия, рассчитывающая на худший случай. (В играх с активным противником этот худший случай вырабатывается им в качестве противодействия.) Критерий Вальда можно применять не только к матрице Ma , но и к матрице M f . В последнем случае выигрыш игрока A не

превышает α , где

α = maxmin fij .

i j

В случае если α ≠β для матрицы Ma либо α ≠β для матрицы M f ,

в этих матрицах отсутствует седловая точка и игроку более выгодно применять смешанную стратегию. С точки зрения лечебного процесса это означает, что в качестве оптимального решения врачу предлагают применять различные планы лечения с соответствующими вероятностями, а не просто наилучший план. Учитывая,

табл. 3.9. Если эта матрица не имеет седловой точки, то оптимальная смешанная стратегия S*A = (p1, p2 ) игрока A определяется соотношениями, аналогичными (3.1) и (3.2). Потому в данном случае

откуда

76

• S2 – острое заболевание, при котором может оказаться более выгодной отсроченная операция после подготовки;

•S3 – острое заболевание органов брюшной полости или иной локализации, симулирующее S1 или S2 , при котором оперативное вмешательство окажется напрасным;

•S4 – острое заболевание, симулирующее S1 или S2 , при котором опе-

рация противопоказана (в дальнейшем это состояние обозначается также S2* ).

Главными равноправными целями хирурга являются максимизация величины вероятности выживания больного и минимизации величины вероятности неоправданных потерь (минимизация риска).

Пусть cij – вероятность летального (смертельного) исхода при применении хирургом стратегии Ai к больному, находящемуся в состоянии S j . Тогда можно составить матрицу летальности Mc с элементами cij , которая имеет

вид табл. 3.10.

Анализ величин элементов этой матрицы показывает, что всегда выполняются соотношения: g > l, h > d, t < d, t < l, t < b, которые наглядно можно представить в виде схемы

g → l t ← b, h → d

показывающий, что вероятность летального исхода срочной операции является минимальной в случае S3 . По матрице Mc построим матрицу выигрышей Ma , подразумевая под выигрышем aij вероятность выздоровления

больного (благоприятного исхода), находящегося в состоянии S j , к которому применяется стратегия Ai . Для построения Ma воспользуемся очевидным соотношением aij =1−cij . Тогда Ma будет иметь вид табл. 3.11.

78

оптимального решения удовлетворить одновременно двум главным вышеуказанным целям (максимизации выживания и минимизации неоправданных потерь), воспользуемся критерием Вальда применительно к матрице M f с

сочетанным показателем полезности. Перед этим, рассмотрев матрицу Ma , отметим, что S3 является доминирующим состоянием. Оба элемента столбца S3 по величине больше (или равны) соответствующих элементов других столбцов. Это означает, что S3 не участвует в поиске минимаксных стратегий (как заведомо невыгодная для игрока S ). Исключив столбец S3 , по полу-

ченной Ma вычислим Mr . Так как β1 =1−l , β2 =1−d , β4 =1, то Mr имеет вид табл. 3.13.

Учитывая, что M f = Ma − Mr , получаем матрицу M f (табл. 3.14). Дан-

ная матрица в общем случае не имеет седловой точки. Соответствующая ей игра относится к играм 2 ×n и может легко решаться геометрическим способом, рассмотренным в 3.1.

В значительной части случаев вопрос о выборе между S1 и S2 не возни-

кает из-за невозможности уверенно отличить острую хирургическую патологию от заболевания, при котором срочная операция намного ухудшает исход. Поэтому в упрощенной модели остаются лишь состояния S1 и S4 . Переиме-

нуем S4 в S2* , тогда матрицы летальности и благоприятного исхода будут иметь вид табл. 3.15 (матрица Mc ) и табл. 3.16 (матрица Ma ).

80