Материал: Учебное пособие Немирко Манило

α2 =1−2g +l; α = max{α1, α2}.

Если l ≥ 2b , то (1−2b)≥ (1−l)и α1 =1−l . В этом случае из-за выполнения условия (1−2g +l)< (1−l) нижняя цена игры равна α = (1−l) и равна

верхней цене игры β , что говорит о наличии у M f седловой точки при выигрыше (1−l). Хирург в этом случае должен принимать решение о проведе-

Вальда ищется как смешанная стратегия хирурга.

82

б

Рис. 3.3

Проведенный анализ хорошо иллюстрируется на рис. 3.3, где дана геометрическая интерпретация данной игры по матрице M f . Из данного рисун-

ка видно, что максимум нижней границы выигрыша никогда не может быть в точке A2 . Знак наклона прямой S1S1 всегда будет постоянен, так как

видно, что если (1−l)> (1−2b), т. е. l < 2b , то решением станет оптимальная смешанная стратегия S*A , определяемая точкой N .

83

Воспользовавшись выражением (3.6), вычислим оптимальное соотношение частот применения стратегий A1 и A2 . Обозначив эти частоты как F (A1 )

и F (A2 ), данное отношение можно представить в виде

2

При этом цена игры, согласно (3.7), будет

γ =1+ b(l − 2g ). g +b −l

Выражение (3.10) показывает, что в случае, когда хирург не знает точных величин b, g, l , но все же известно, что g > b , то чаще надо применять стратегию A1; при g < b чаще надо применять A2 ; при g = b частоты выбора одинаковы.

Приведенный материал по игре 2 ×2 можно представить в виде простого алгоритма принятия решений. Исходные данные задаются в виде элементов матрицы Mc и, возможно, значения вероятности p = P (S1 ). Данный ал-

горитм приведен далее. Он воплощен в специальной карте (прил. 1), которая используется в клинической практике [8].

Алгоритм. Исходные данные: l, g, b, p ( p может в задании отсутствовать).

1.Начало.

2.Если в задании есть p , то выполнить п. 3, иначе перейти к п. 4.

3.Выполнить следующие операции:

а) вычислить a1 =1−b + p (b −l); б) вычислить a2 =1− pg ;

в) если a1 > a2 , то принять решение A1 и перейти к п. 5; г) если a1 < a2 , то принять решение A2 и перейти к п. 5;

д) если a1 = a2 , то принять решение A1 или A2 и перейти к п. 5. 4. При неизвестном p выполнить следующие операции:

а) если l ≥ 2b , то принять решение A1 и перейти к п. 5;

б) если l < 2b , то принять смешанную стратегию хирурга со следующим соотношением частот применения стратегий A1 и A2 :

84

Пример 3.3. Больной находится в одном из двух состояний, S1 или S2 , с вероятностями P (S1 )= p; P (S2 )=1− p . Надо принять обоснованное реше-

ние, проводить ли срочную хирургическую операцию, если для этих двух состояний матрица летальности M c имеет вид табл. 3.15, ее элементы равны g = 0,2; l = 0,03; b = 0,04; а вероятность p = 0,7 .

Вычисление a1 и a2 по формулам (3.8) и (3.9) дает a1 = 0,97 ; a2 = 0,86. Так как a1 > a2 , то принимается решение A1 – проводить срочную операцию.

Пример 3.4. Решить задачу, сформулированную в примере 3.3, при условии отсутствия данных о вероятности p .

Согласно описанному ранее алгоритму, так как l < 2b , то принимается смешанная стратегия хирурга с соотношением частот чистых стратегий A1 и A2

F (A1 ) = 0,4 −0,03 = 7,4 . F (A2 ) 0,08 −0,03

Последнее соотношение фактически показывает степень уверенности, которой может обладать врач при принятии решения A1.

Пример 3.5. Необходимо принять решение, проводить ли срочную хирургическую операцию, если у больного можно выделить три состояния: S1 – состояние, при котором необходима срочная операция; S2 – состояние,