Материал: Учебное пособие Немирко Манило
При написании данного подраздела использован материал, подробно изложенный в книге по исследованию операций [7].
Далее рассматриваются задачи из области организации здравоохранения и клинической медицины, которые сводятся к задаче ЛП. Все они носят в основном учебный характер. Из-за недостатка места не рассмотрена задача о диете, имеющая большее значение для животноводства, а не для расчета больничного рациона, а также задача нахождения оптимального линейного решающего правила методом ЛП [9], которая может применяться при автоматизации медицинской диагностики.
1.2. Распределение специализированных бригад скорой помощи по категориям больных
Рассмотрим работу станции скорой помощи. Известно, что имеется n
классов больных (травматические, кардиологические, ожоговые |
и т. д.) |
B1, B2, , Bn . Число вызовов (в день) по классу больных B j равно |
bj . На |
станции имеется m групп передвижных бригад скорой помощи (общего типа,
кардиологические и т. д.) A1, A2, , Am . Группа |
Ai |
насчитывает ki бригад |
(и столько же машин). Выезд бригады из группы |
Ai |
к больному класса B j |
обеспечивает эффективность обслуживания этого больного, равную cij . Пред-
полагается, что каждая бригада может в день обслужить N вызовов. Кроме того, считается, что общее число выездов точно совпадает с числом вызовов, т.е.
m |
n |
m |
n |
N ∑ki = ∑bj или ∑ai = ∑bj , |
|||
i=1 |
j=1 |
i=1 |
j=1 |
где ai = Nki .
Спрашивается, сколько вызовов от каждого типа больных должна обслужить каждая группа этих бригад (xij ), чтобы суммарная эффективность обслуживания L , подсчитываемая по формуле
m n |
|
L = ∑ ∑cij xij , |
(1.6) |
i=1 j=1
была максимальна?
Это транспортная задача ЛП. Математически она формулируется как максимизация L (или минимизация L′= −L) при ограничениях
11
n |
|
|
|
∑ xij = ai , |
i =1, , m; |
(1.7) |
|
j=1 |
|
|
|
m |
|
|
|
∑xij = bj , |
j =1, , n; |
(1.8) |
|
i=1 |
|
|
|
xij ≥ 0, i =1, , m; |
j =1, , n. |
|
|
С целью достижения лучшего соответствия реальным условиям данная задача может быть усложнена, если равенства (1.7) и (1.8) заменить соответствующими неравенствами.
К транспортной задаче сводятся разнообразные распределительные задачи: распределение врачей разной специальности по разным группам больных в условиях массового заболевания, распределение ограниченного количества нескольких лекарственных препаратов по различным группам больных, распределение операторов по рабочим местам, распределение работ при трудотерапии психических больных по результатам их психофизиологического тестирования и др. Некоторые из перечисленных задач будут рассмотрены далее.
Пример 1.1. Имеется 4 группы больных B1, B2, B3, B4 . Дневное число вызовов по каждой группе составляет b1 =100, b2 =100, b3 = 60, b4 = 40 . Имеется два типа бригад скорой помощи, A1 и A2 . Для каждой из них N =10 . Так как при этом общее число вызовов равно b1 +b2 +b3 +b4 = 300, то требуемое общее число бригад равно 300
N = 30 . Пусть численность бригад каждого типа равна k1 = 5, k2 = 25. В этом случае все бригады типа A1 в
день обслуживают a1 |
вызовов, а все бригады типа A2 −a2 вызовов, где |
a1 = Nk1 = =10 5 = 50, |
a2 = Nk2 =10 25 = 250. Значения cij в условных еди- |
ницах приведены в табл. 1.1 (из нее следует, что бригады типа A2 никогда не едут к больным типа B4 ). Требуется также определить неотрицательные зна-
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
чения 7 |
переменных x11, |
x12 , x13, |
|
|
|
|
|
|
|
x14 , x21, |
x22 , x23, которые бы удо- |
|
|
|
|
Bj |
|
||||
Ai |
|
|
|
влетворяли ограничениям |
(1.7) и |
|||
|
|
|
|
|
||||
B1 |
B2 |
|
B3 |
B4 |
||||
|
|
(1.8) и обращали бы в максимум це- |
||||||
A1 |
1,0 |
0,4 |
|
0,3 |
0,3 |
левую функцию L (1.6). Данная за- |
||
A2 |
0,6 |
1,0 |
|
0,6 |
0 |
дача иллюстрируется на рис. 1.1. |
||
12
|
|
|
|
k1 = 5 |
|
|
|
k2 |
= 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
a1 = 50 |
|
x14 |
a2 |
= 250 |
|
|
|
|||
x11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x12 |
x13 |
x22 |
|
|
|
x23 |
||||||
|
|
x21 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
B1 |
|
|
|
B2 |
|
|
|
B3 |
|
|
|
|
B4 |
b1 =100 |
|
|
b2 =100 |
|
|
|
b3 = 80 |
|
|
|
b4 = 40 |
||
Рис. 1.1
Для решения задачи запишем уравнения-ограничения типа (1.7) и (1.8)
x11 + x12 + x13 + x14 =50; |
(1.9) |
x21 + x22 + x23 = 250 ; |
(1.10) |
x11 + x21 =100; |
(1.11) |
x12 + x22 =100; |
(1.12) |
x13 + x23 = 60 ; |
(1.13) |
x14 = 40 . |
(1.14) |
Эти уравнения не независимы, так как сумма правых и левых частей (1.9) и (1.10) равна сумме соответствующих частей остальных уравнений, поэтому сложением (1.9) и (1.10) получается то же уравнение, что и сложением (1.11)–(1.14). Таким образом, при 7 переменных мы имеем 5 независимых уравнений (пусть ими будут уравнения (1.9), (1.11)–(1.14)), поэтому задача решается геометрическим способом [7]. Выберем в качестве свободных пе-
ременных x11 и x12 , тогда базисные переменные будут |
|
x13 =10 − x11 − x12 ; |
(1.15) |
x21 =100 − x11; |
(1.16) |
x22 =100 − x12 ; |
(1.17) |
x23 =50 + x11 + x12 . |
(1.18) |
Функция L с учетом табл. 1.1 имеет вид
L = x11 +0,4x12 +0,3x13 +0,3x14 +0,6x21 + x22 +0,6x23.
Выражая ее через свободные переменные, получаем
L = 0,7x11 −0,3x12 +205
и уравнение основной прямой L′= L −205 = 0 имеет вид
0,7x11 −0,3x12 = 0.
13
Так как все переменные должны быть неотрицательными, |
то x13 ≥ 0, x21 ≥ 0, |
|||
x22 ≥ 0, x23 ≥ 0 и из (1.15)–(1.18) получаем |
|
|
||
|
|
x11 ≤10 − x12 ; |
|
|
|
|
x11 ≤100; |
|
|
|
|
x12 ≤100; |
|
|
|
|
x11 ≥ −x12 −50 . |
|
|
Данные условия (вместе с условиями неотрицательности свободных пере- |
||||
менных x11 ≥ 0, x12 ≥ 0) образуют область допустимых решений (ОДР), изоб- |
||||
раженную на рис. 1.2. На этом же рисунке изображена основная прямая |
||||
L′= 0. Из рисунка видно, |
что |
L′ достигает |
максимума |
в точке x12 = 0; |
x11 =10 . При этом остальные элементы решения равны |
|
|||
x13 =10 − x11 − x12 = 0 ; |
|
|||
|
x14 = 40 ; |
|
|
|
|
x21 =100 − x11 = 90; |
|
|
|
|
x22 =100 − x12 =100 ; |
|
||
|
x23 = 50 + x11 + x12 = 60 ; |
|
||
L = 0,7x11 −0,3x12 +205 = 212 . |
|
|||
x11 |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
L' = max |
|
|
|
|
|
ОДР |
|
|
|
L' = 0 |
0 |
10 |
100 x12 |
|
x11 =10 − x12 |
|
|||
|
|
|
||
–50 |
x11 = −x12 −50 |
|
|
|
Рис. 1.2
Таким образом, полученное значение суммарной эффективности обслуживания равно 212.
14
1.3. Некоторые другие задачи на распределение
Большое число задач рационального распределения сводится к транспортной задаче ЛП. В данном разделе приведены примеры таких задач, возникающих в здравоохранении.
А. Распределение численности людей при массовом обследовании. При периодических профосмотрах, массовом обследовании населения, массовых профилактических лечебных мероприятиях возникает следующая задача. Имеется m предприятий П1, П2, , Пm с числом работающих на них людей
N1, N2, , Nm соответственно. Имеется также n медпунктов M1, M2, , Mn , расположенных на некотором расстоянии от предприятий. Затраты на транспортировку одного человека из предприятия Пj в медпункт Mi известны и составляют cij . Всех людей на данных предприятиях необходимо обследовать в течение Т дней. Дневная нагрузка на все медпункты составляет
(N1 + N2 + + Nm ) = N1 + N2 + + Nm = b1 +b2 + +bm .
T T T T
Она должна соответствовать суммарной пропускной способности медпунктов. Если для каждого из них пропускная способность равна Q1, Q2, , Qn , то должно выполняться
n |
m |
∑ai = ∑bj . |
|
i=1 |
j=1 |
Требуется так распределить число людей xij , направляемых от предприятия
|
n m |
Пj в медпункт |
Mi , чтобы суммарные транспортные затраты L = ∑ ∑cij xij |
|
i=1 j=1 |
были минимальными.
Ясно, что данная задача так же, как и предыдущая, сводится к составлению ограничений (1.7) и (1.8), т. е. приводит к основной задаче ЛП.
Далее сформулирована одна и та же (с математической точки зрения) задача ЛП в трех различных содержательных постановках.
Б. Распределение врачей разной специальности по разным группам больных в условиях массового заболевания. В условиях массового заболева-
ния имеется 2 категории врачей, A1 и A2 , которые обслуживают 3 группы больных, B1, B2, B3 (различающихся по стадиям заболевания). Дневное чис-
15