Материал: Учебное пособие в двух частях Часть Основы теории

А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что в данной серии опытов событие А появляется ровно m раз, определяется по выражению

, (2.19)

где – биномиальный коэффициент. (2.20)

Например, вероятность отсутствия ошибки чтения 32-разрядного слова в формате ЭВМ, представляющего комбинацию 0 и 1, при вероятности ошибки чтения двоичного числа p = 10^–3 составляет по (2.8) при m = 0, :

.

При больших m вычисление биномиальных коэффициентов C_n^m и возведение в большие степени p и q связано со значительными трудностями, поэтому целесообразно применять упрощенные способы расчётов. Приближение,
называемое теоремой Муавра – Лапласа, используется, если npq>>1,
а |m – np|<(npq)^0,5, в таком случае выражение (2.19) записывается:

. (2.21)

2.5. Формула полной вероятности

Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H₁, H₂, …, H_n, представляющих полную группу несовместных событий, то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:

, (2.22)

где – вероятность гипотезы H_i;

– условная вероятность события А при гипотезе .

Поскольку событиеА может появиться с одной из гипотез , ,
…, , то

. (2.23)

2.6. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

Если до опыта вероятности гипотез H₁, H₂, … H_n были равны P(H₁), P(H₂), …,P(H_n), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:

(2.24)

Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H₁), P(H₂), …, P(H_n) называютсяаприорными, а послеопытные – P(H₁/А), Р(Н₂/А), …,
P(H_n / А) – апостериорными.

2.7. Законы распределения случайной величины

Законом распределения вероятности случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для получения закона распределения используют три способа:

–
– для дискретных величин;
табличный (табл. 2.1)

– графический (рис. 2.1)

– аналитический – для непрерывных величин.
Таблица 2.1

Табличный закон распределения

X	х1	х2	х3	…	хn
P(X)	P(x1)	P(x2)	P(х3)	…	P(хn)

Рис. 2.1. Многоугольник распределения

Для непрерывных величин табличный способ не применяется. Непрерывные случайные величины задаются функцией распределения (рис. 2.2):

F(x) = P(x₁,).


Рис. 2.2. Функция распределения непрерывной случайной величины



Функция распределения имеет ряд свойств:

1) она является неубывающей функцией ее аргумента, т. е. при х₂ > х₁

F(х₂) > F(x₁);

2) на минус бесконечности функция распределения равна нулю

^;

3) на плюс бесконечности функция распределения равна единице

.

Плотность распределения («плотность вероятности») – первая производная от функции распределения. Другие названия: «дифференциальная функция распределения», «дифференциальный закон распределения».

. (2.25)

Плотность распределения изображается кривой распределения и показывает, как по оси абсцисс распределяются массы, т. е. кривая проходит через концы абсцисс значений «линейной плотности» (рис. 2.3).

Свойства плотности распределения:

1) плотность распределения – функция неотрицательная:

;

2) интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.


Рис. 2.3. Плотность распределения
Согласно свойству 2, функция распределения в интервале от 0 до х₁
(рис. 2.4) определяется как интеграл плотности распределения

(2.26)


Рис. 2.4. Определение функции распределения
В ряде случаев бывает достаточно указать числовые характеристики.

2.8. Числовые характеристики случайных величин

1. Математическое ожидание – характеристика центра группирования случайных величин:

– для дискретных случайных величин

; (2.27)

– для непрерывных случайных величин

. (2.28)

2. Модой непрерывной случайной величины называется то её значение,
в котором плотность вероятности наибольшая (т. М на рис. 2.4), М является точкой перегиба кривой.Модойдискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

3. Медианой случайной величины Х называется такое её значение, для которого ограниченная кривой распределения площадь делится пополам (т. Ме на рис. 2.4). Площади справа и слева от медианы равны.Можно также определить медиану случайной величины X как такое ее значение Me, для которого
P(X<Me) = P(X>Me). В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

4. Значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности, называется квантилью. Квантиль при вероятности, равной 0,5, называется

медианой.

5. Дисперсия есть сумма произведений квадратов разностей случайных величин и математических ожиданий:

– для дискретных случайных величин

; (2.29)

– для непрерывных случайных величин:

. (2.30)

6. Среднее квадратическое отклонение

. (2.31)

7. Коэффициент вариации:

, (2.32)

 (х) < 0,1 – малое значение коэффициента;

 (х) = 0,1…0,33 – среднее значение коэффициента;

 (х) > 0,33 – большое значение коэффициента.

Свойства математического ожидания:

М(ах) = аМ(х), а= const;

М(а + х) = а + М(х);

М(х  у) = М(х) М(у);

М(ху) = М(х) М(у);

М(х²) = (М(х))² + D(х).

Свойства дисперсии:

D(ах) = а²D(х), а = const;

D(а + х) = D(х);

D(х  у) = D(х) D(у);

D(х²) = М(х⁴) – (М(х))² + (х)².

Пример 2.1. Закон распределения случайной величины задан в виде таблицы:

х	1	2	5
Р(х)	0,3	0,5	0,2

Определить числовые характеристики случайных величин.

Решение:

М(х) = 1 · 0,3 + 2 · 0,5 + 5 · 0,2 = 2,3

D(х) = (1 – 2,3)²· 0,3 + (2 – 2,3)² · 0,5 + (5 – 2,3)² · 0,2  2



.

Пример 2.2. Функция распределения имеет вид:



Оценить количественно, что вероятность примет значение из диапазона (0,5; 1). Какова вероятность попадания случайной величины в диапазон (0,5; 1) при условии, что событие не появится?