Материал: УМК МЖГ стр 157-253 Модуль 8-10_МЖГ
3. ПОТЕРИ НАПОРА ПРИ ВНЕЗАПНОМ РАСШИРЕНИИ. ФОРМУЛА БОРДА
На рис. 8.3 показан случай, когда труба, имеющая диаметр D1, пере- ходит в трубу, имеющую больший диаметр D2 (D2 > D1). Струя, выходящая из первой трубы, на некоторой длине расширяется и в сечении 2-2 запол- няет все сечение второй трубы. На длине lв струи имеет место отрыв ее от стенок трубы и образование водоворотной зоны А.
Рис. 8.3. К выводу формулы Борда. Внезапное расширение трубопровода
На протяжении расширяющейся струи и переходного участка полу- чаем неравномерное движение.
Между сечениями 1-1 и 2-2 возникает местная потеря напора. Эту потерю назовем потерей напора на внезапное расширение и будем обозна-
чать ее через hв.р.. Впервые расчетную зависимость для hв.р. получил фран- цузский инженер Борда, который уподобил резкое расширение струи явле- нию удара неупругих твердых тел.
Выведем формулу Борда, пользуясь уравнениями Бернулли и коли- чества движения. Соединяем сечения 1-1 и 2-2 уравнением Бернулли.
z + |
p |
+ |
α υ2 |
= z |
|
+ |
p |
|
|
+ |
α |
|
υ2 |
+ h |
|
|
||||||
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
. |
(8.1) |
|||||||||||
γ |
|
|
2 |
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
2g |
|
|
|
|
|
|
|
|
2g |
|
в. р. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Примем, что распределение скоростей в сечении 1-1 и 2-2 равномер- |
||||||||||||||||||||||
ное, то есть α1 = α2 = 1, тогда (8.1) перепишем в следующем виде: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
υ2 |
|
υ2 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||
|
h |
|
= |
1 |
− |
|
|
2 |
|
+ |
|
1 |
− |
|
2 |
|
. |
|
(8.2) |
|||
|
р. |
|
|
|
|
γ |
|
|
γ |
|
||||||||||||
|
в. |
|
2g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Разность давлений найдем, пользуясь теоремой механики об измене- нии количества движения к цилиндрическому объему, заключенному меж- ду сечениями 1-1 и 2-2 и стенкой трубы.
162
Примечание. Количество движения системы можно выразить через массу сис- темы М и скорость центра масс uc :
КД = Q = M × uc .
Теорема импульсов для системы: изменение количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему, за то же время.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DКД = Q |
- Q0 = ∑S , |
|||||
где |
|
|
|
0 – |
количество движения системы в момент t = 0; |
|||||||
Q |
||||||||||||
|
|
|
|
– |
количество движения в момент время t; |
|||||||
|
Q |
|||||||||||
|
|
|
– |
импульс внешней силы, действующей на точку за время t. |
||||||||
|
S |
|||||||||||
Полный импульс силы F за время t, или импульс силы S , определяют по формуле: t
S = ∫Fdt = (∑F )dt .
0
Масса жидкости, котороя за время dt проходит через сечения 1-1 и 2-2:
M = r × Q × dt ,
где Q (без черты) – расход жидкости. Тогда:
|
|
|
|
|
|
DКД = r × Q × (u2 - u1 )dt = (∑F |
)dt . |
(8.3) |
|||
В конечном счете, получим: |
|
||||
|
|
. |
(8.4) |
||
DКД = r × Q × (u2 - u1 ) = ∑F |
|||||
Рассмотрим проекции внешних сил на ось потока. |
В сечении 1-1, |
||||
взятом по большому диаметру сразу за расширением, действует в направ- лении потока Р1 = р1w1 и сила воздействия кольцевой стенки площадью
w2 – w1 |
на поток R = p (w |
- w ) . Сумма этих сил |
P + R = p × w . Сила |
|||
|
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
давления в сечении 2-2, направлена против движения, P2 = p2 × w2 . Проек- циями сил трения на боковой стенке пренебрегаем из-за небольшой длины выделенного отсека. Проекция собственного веса отсека между сечения- ми 1-1 и 2-2 равна нулю.
Запишем (8.4) с учетом всех сил:
|
|
r × Q × (u2 - u1 ) = p1w2 - p2w2 , |
(8.5) |
||||||||
откуда, имея в виду, что r = |
γ |
|
и u2 = |
Q |
, получаем: |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
g |
|
|
w2 |
|
||
|
p1 |
- |
p2 |
= |
Q (u2 - u1 ) |
= (u2 - u1 ) u2 . |
(8.6) |
||||
|
g |
|
|
||||||||
|
|
g |
|
w2 g |
|
|
g |
|
|||
|
|
|
|
|
|
163 |
|
|
|
||
Подставляя (8.6) в (8.2), имеем:
h |
= |
υ12 |
− |
υ22 |
+ |
2(υ2 |
− υ1 )υ2 |
= |
υ12 − υ22 + 2υ22 − 2υ1υ2 |
, |
(8.7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в. р. |
|
2g |
|
2g |
|
|
2g |
|
|
|
|
2g |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или окончательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
(υ − υ |
2 |
)2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
hв. р. |
1 |
|
|
|
|
, |
|
(8.8) |
||
|
|
|
|
|
|
2g |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где разность (υ1 – υ2) называют потерянной скоростью.
Формула (8) называется формулой Борда. Согласно этой формуле
потеря напора при резком расширении равняется скоростному напору, отвечающему потерянной скорости.
Так как по уравнению неразрывности υ1ω1 = υ2ω2 , то формулу (8.8) можно представить:
|
|
|
|
|
|
|
ω1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
h |
|
|
= 1 − |
|
υ1 |
, |
|
||||||
|
|
|
|
ω2 |
|
|
|
||||||||
|
|
в. |
р. |
|
|
|
2g |
|
|
||||||
или |
|
h |
|
|
= ω2 |
− 1 2 |
υ22 |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
в. р. |
|
ω1 |
|
|
|
2g |
|
|
|||||
Отсюда коэффициенты сопротивления при внезапном расширении |
|||||||||||||||
потока: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1 |
2 |
|
|
|
|
|
ω2 |
2 |
|||
ζ |
|
= 1 − |
|
; |
ζ |
|
|
|
= |
− 1 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
ω1 |
|||||||||
|
в. р1. |
|
|
ω2 |
|
в. |
р2. |
|
|
||||||
4. ВЫХОД ИЗ ТРУБЫ. ДИФФУЗОР. ВНЕЗАПНОЕ СУЖЕНИЕ. ВХОД В ТРУБУ. КОНФУЗОРЫ. ПОВОРОТ
Выход из трубы в неподвижную жидкость (бак, бассейн, водохрани- лище) является частным случаем внезапного расширения при ω2 >> ω1. В этом случае (рис. 8.4) можно использовать выражение для коэффициента сопротивлений при внезапном расширении:
ζв. р1. = 1 − ω ,
2
атак как ω2 в этом случае гораздо больше, чем ω1, то принимаем:
ζвых = 1.ω1 2
164
Постепенное расширение (рис. 8.5) (диффузоры). В расчетах потери |
||
напора в диффузорах часто разделяются на потери, связанные с расшире- |
||
нием сечения hр и потери по длине диффузора hдл. Соответственно коэф- |
||
фициент сопротивления делится на коэффициенты сопротивления расши- |
||
рения ζр и ζдл. |
ζдиф = ζ р + ζдл . |
|
|
|
|
|
|
ω2 |
|
α |
ω1 |
Рис. 8.4. Выход из трубы |
Рис. 8.5. Постепенное расширение |
|
При движении жидкости в диффузоре скорости по длине уменьша- |
||
ются. Соответственно, по уравнению Бернулли давление увеличивается |
||
(градиент dp dl > 0 – положительный градиент давления). При этом вблизи |
||
стенок жидкость обладает столь малой кинетической энергией, что при |
||
значительном нарастании давления она останавливается или даже начина- |
||
ет двигаться обратно. Происходит вихреобразование и отрыв потока от |
||
стенки. Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла рас- |
||
ширения диффузора. Безотрывное движение жидкости в диффузоре на- |
||
блюдается при угле θ = 8 – 10 °. |
|
|
Внезапное сужение. При внезапном сужении (рис. 8.6), так же как и |
||
при внезапном расширении, за кромкой |
|
|
сужения происходит отрыв потока от |
|
|
твердой стенки и образование транзит- |
|
|
ной струи, которая сначала испытывает |
|
|
сжатие, а затем – расширяется. Между |
|
|
твердой стенкой и поверхностью тран- |
|
|
зитной струи образуется водоворотная |
|
|
зона. Образуются вихри, которые в ре- |
|
|
зультате обмена жидкостью между во- |
|
|
доворотной зоной и транзитной струей проникают в поток, где гасятся |
||
трением. В результате работы сил трения часть механической энергии по- |
||
тока переходит в теплоту. |
|
|
165
При числах Re>104 коэффициент zв.с. зависит только от отношения ω2 
ω1 . Значения коэффициента zв.с. приведены в справочниках или опре- деляются по формуле zв.с. = 0,5 × (1 - w2 / w1 ) .
Вход в трубу (рис. 8.7) является частным случаем 
внезапного сужения. Если труба присоединена перпен- 
дикулярно стенке бассейна и кромка входного отвер- 
стия острая, то zвх. = 0,5; при слегка скругленной кромке zвх. = 0,2 ¸ 0,25, а при весьма плавном очертании вход-
ной кромки zвх. = 0,05 ¸ 0,1.
сужение ( конфузоры) (рис. 8.8). При движении жид- кости в конфузоре вдоль потока скорость растет, а давление уменьшается (градиент давления dp
dl < 0 ). Причин к появлению вихреобразования и
отрыва потока в конфузоре нет. Лишь на вы- ходе из конфузора при прямолинейных обра- зующих труб имеется сжатие потока и отрыв потока от стенки, но эта зона меньше, чем при
внезапном сужении.
Опыты показывают, что при одном и том же угле конусности q поте- ри напора на участках расширения больше, чем на участках сужения.
Поворот. При изменении направления потока появляются центро- бежные силы, направленные от центра кривизны к внешней стенке трубы. Давление в пределах поворота у внешней стенки больше, чем у внутренней. Соответственно, скорости у внешней стенки меньше, чем у внутренней. Вследствие этого, вдоль боковых стенок трубы, вблизи поверхности кото- рых скорость невелика, будет происходить движение жидкости от внешней стенки к внутренней, то есть возникает поперечная циркуляция в потоке. В результате образуется так называемый парный (двойной) вихрь, который
накладывается на поступательное движение; линии тока становятся винтообразными (рис.
8.9). Происходит отрыв потока от обеих сте-
нок, образуются водоворотные области с об-
ратными направлениями линий тока в них у
стенок трубы.
Повышенная пульсация скоростей и интенсивное перемешивание частиц наряду с затратами энергии потока на поддержание водоворотных областей на поворотах приводят к увеличен- ным потерям напора на повороте по сравнению с потерями на прямоли- нейных участках.
166