Материал: Управление инвестиционной деятельностью. учебное пособие. Баркалов С.А., Морозов В.П

Оптимизация инвестиционного портфеля по методу Шарпа

В 1963 г. американский экономист У. Шарп ( William Sharpe ) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа ( Sharpe single - index model ).

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + р Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи r_m , вычисленную на основе индекса Standart and Poor s ( S & P 500). В качестве зависимой переменной берется отдача r_i какой-то i -ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью ( Market Model ), а норму отдачи r_m - рыночной нормой отдачи.

Пусть норма отдачи r_m принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины r_m 1 , r_m 2 , ... , r_mN . При этом доходность r_i какой-то i -ой ценной бумаги имела значения r_i 1 , r_i2 , ... , r_iN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами r_m и r_i в любой наблюдаемый момент времени в виде:

r_i,t =а _i + р _i r_m,t +8_i,t                          (8.2.1)

где:   r_i t - доходность i -ой ценной бумаги в момент времени t ;

а _i - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i -ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг r_m ;

P i - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i -ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

r_mt - доходность рыночного портфеля в момент t ;

е _i , t - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения r_it и r_mt порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру р_i, поскольку он определяет чувствительность доходности i -ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если $>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность r_m . Соответственно, при f r < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности _h от средней арифметической (ожидаемой) величины E( r ) _j , чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом р > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с р < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг р > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной

Р .

Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле

E(r_n ) = У W_iE(r_i)             (8.2.2)

i=1

где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту

формулу выражение для r_i из формулы (12):

E( r_n ) = n ; W_i E(а_i+р_i r_m + б_i) = n ; W_i (а_i+б_i) + n ; W_i -р_гE( r_m )        (8.2.3)

i =1                                         i=1                          i=1

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения (14)можно представить в виде:

n W_iP_iE(r_m) = W_n+1E(a_n+1 + s_n+1)      (15) i=1 (8.2.4)

где : W_n+1= n W_i Д _i ; (15a) (8.2.5)

i =1

an +1 + sn +1= rm .

при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии    рыночной    доходности:     ^_n+1=с£.    Выражение    (15)

представляет собой сумму взвешенных величин “беты” ф _i) каждой ценной бумаги (где весом служат W_i) и называется портфельной бетой (Р _n ). С учетом выражений (14) и (15) формулу (13) можно записать так:

E( r_n ) = х W_i E(а_i+_еi)                                      (8.2.6)

i =1

а поскольку E ( _Si ) = 0, то окончательно имеем:

E ( r_n ) = yW_ia_i                                                   (8.2.7)

i =1 Итак, ожидаемую доходность портфеля E( r_n ) можно представить состоящей из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров а _i каждой ценной бумаги - W _1 tt 1 + W ₂ a ₂ + .... + W_na_n , что отражает вклад в E( r_n ) самих ценных бумаг, и

б)   компоненты W_n +1 a_n +1 = n W_iAE ( r_m ),   то    есть    произведения

i =1 портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

Оценка инвестиционного портфеля по критерию риска производится с учетом коэффициента риска и объемов вложений в соответствующие виды инвестиций.

В начале по каждому виду инвестиций оценивается уровень риска. Совокупный риск инвестиционного портфеля предприятия определяется как соотношение сумм инвестиций по рассматриваемым направлениям взаимозависимости с учетом риска и общей суммы инвестиций по формуле:

Σ I_i R_i

R = ^{_______________,} где (8.3.1)

Σ I

R – совокупный риск,

I_i – инвестиционные выплаты по i-тому направлению,

Σ I_i R_i – показатель риска по i –тому направлению,

Σ I – общий объем инвестиций.

Данная формула используется в случае, когда динамика доходности размещаемых инвестиций в портфеле взаимозависима или малозависима.

При подборе альтернативных инвестиций совокупный риск может быть уменьшен. Уменьшение совокупного риска может быть и при росте количества разнообразных ценных бумаг портфеле [53].

При оценке инвестиционного портфеля банков с точки зрения ликвидности и процентного риска можно использовать показатель уровня риска, предложенный выше, который рассчитывается, как соотношение между инвестиционными активами и источниками финансирования, взвешенными по объемам и срокам:

S = Σ Ia_t - Σ Ip_t , (8.3.2)

где S – показатель уровня риска,

Ia_t - инвестиционные вложения, взвешенные по срокам

Ip_t – источники финансирования инвестиционных вложений, взвешенные по срокам.

Чем больше значение S, тем больше уровень риска.

Для определения степени стабильности инвестиционного портфеля используется коэффициент:

Σ I_ar

K_S = ^{____r___________} , (8.3.3)

Σ I_ps

где I_ar – инвестиционные активы, взвешенные с учетом риска,

I_ps – источники их финансирования, взвешенные с учетом стабильности.

K_S – низкое значение коэффициента свидетельствует о недостаточной эффективности использования источников финансирования инвестиций, а более высокое – о повышенном риске и неустойчивости структуры инвестиционного портфеля.

Оценить стабильность инвестиционного портфеля предприятия можно путем расчета соотношения между суммами вложений по различным направлениям инвестирования и объемом собственных средств:

Σ I_i R_i

K_S = ^{______________} (8.3.4)

K

Приведенное соотношение позволяет оценить соответствие инвестиционной доходности принципам доходности, ликвидности и надежности [21].

Методы уменьшения степени риска портфеля ценных бумаг:

1. Диверсификация инвестиций – это вид инвестиционной стратегии, связанный с расширением инвестиционной деятельности, а именно:

• Портфель ценных бумаг, построенный по принципу диверсификации предполагают комбинацию из достаточно большого количества ценных бумаг с разнонаправленной динамикой движения курсовой стоимости (дохода). Приемлем для отраслевых и региональных уровней, различных элементов.

• При диверсификации необходимо учитывать специфику российского рынка ценных бумаг, которому может быть присуще внутреннее структурное деление в зависимости от ликвидности ценных бумаг: здесь учитывается высокая корреляция курсов, входящих в один эшелон, корреляция курсов из различных эшелонов и т.д. Учет специфики создает определенные предпосылки для эффективной, с позиции снижения риска, диверсификации портфеля, элементами которого могут выступать ценные бумаги различных эшелонов.

1. Современные теории портфеля:

• Модель Марковица:

Суть: существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора. Но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат к эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие бесконечного числа точек на ней. Согласно данной теории существует бесконечное количество эффективных портфелей.

С целью преодоление проблемы выбора оптимального портфеля, Марковиц предложил метод критической линии. Согласно данному методу для начала инвестор должен оценить выбор ожидаемой доходности и ковариационную матрицу.

Доходность

Эфф.угол

Количество портфелей

Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходностью – этот портфель считается наиболее эффективным.

Затем определяется количество угловых портфелей (при помощи алгоритма), которые связаны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество.

Угловой портфель – это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных углов портфелей представляет собой третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя угловыми портфелями, а эти два смежных уже не будут являться эффективными.

Строятся более десятка эффективных портфелей. После того, как были определены структура и местоположение эффективного множества Марковица, можно определить состав оптимального портфеля инвестора.

Если ожидаемая доходность оптимального портфеля (ŕ) и оптимальной доходности двух ближайших углов портфелей обозначены как ŕ^а и ŕ^в, тогда состав оптимального портфеля может быть определен:

ŕ = ŕ^а · у + [ ŕ^в · (1 – у)] (8.3.5)

Оптимальный портфель будет состоять из доле «у» инвестирований в ближайшем угловом портфеле, находящийся «Выше» оптимального, и долей «1-у» инвестируемых в ближайший угловой портфель, располагаемый «ниже» оптимального.

Если вектор весов ближайших верхних и нижних угловых портфелей обозначены х^а и х^b , то веса отдельных ценных бумаг равны: ŕ = (у + х^а) + [(1 – y) · x^b]

• Модель оценки капитальных активов – модель Шарпа.

Ожидаемая доходность актива может определить с помощью ликвидных моделей.

Суть – изменение доходности и цены актива зависит от ряда показателей, характеризующий состояние рынка или индексов. Простая индексная модель предложенная Шарпом называется рыночной Моделью.

В данной модели представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка и актива. Формула: Е(r_i) = y_i + β_i E(rm) + ξ_i

Е(r_i) – ожидаемая доходность актива

y_i - доходность актива в соответствии воздействия на него рыночных факторов

β_i – коэффициент активов.

E(rm) – ожидаемая доходность рыночного портфеля.

ξ_i – неизвестная случайная переменная ошибка, которую нельзя объяснить действием рыночных сил.

• Модель стратегического управления портфелем.

Управление портфелем можно выделить две основные стратегии: пассивную и активную.

Пассивной стратегии придерживаются менеджеры, которые полагают , что рынок является эффективным, соответственно: нет необходимости часто пересматривать портфель, так как эффективный рынок всегда правильно оценивает активы. То есть линия рынка актива и линия рынка капитала условно равны [19].

Пассивный менеджер не ставит перед собой цель получить более высокую доходность, чем в среднем предлагает рынок для данного уровня риска и пассивный портфель пересматривается только в том случае, если изменяются установки инвестора или изменяются мнение на рынке в отношении портфеля.

Вывод: Пассивное управление портфелем состоит в приобретении с целью держать их длительный период времени (например, облигации)

Активную стратегию проводят менеджеры, полагающие, что рынок не всегда в отношении отдельных бумаг является эффективным, а инвестор имеет различное ожидание относительно их доходности и риска.

В итоге цена данных активов завышена или занижена. Поэтому активная стратегия сводится к тому, чтобы часто пересматривать портфель в поисках финансовых инструментов.

Активную стратегию менеджер может строить на основе кредитования, приобретение рыночного портфеля в сочетании с взаимно заимствованием.

Менеджер должен периодически пересматривать портфель, хотя это чревато высокими комиссионными расходами, но это оправдывается.

Для более эффективной стратегии проводится мониторинг инвестиционного портфеля с целью осуществления необходимой корректировки принятых решений.

Важным принципами проведения мониторинга являются:

1. Сопоставимость результатов для обеспечения, которых необходимо применять единую методику и исполнять ее через равный интервал времени.

2. Результативность мониторинга во многом зависит от качества построения системы показателей портфеля, степени ее репрезентативности. А также чувствительности к неблагоприятным изменениям имеют отношение к рассматриваемому инвестиционному объекту.