Размещено на http: //www. allbest. ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»
Курсовая работа
по дисциплине « Методика обучения и воспитания(математика) »
Направление подготовки - 44.03.01 Педагогическое образование
Профиль подготовки - Математика
на тему «Уравнения и неравенства в курсе математики основной школы»
Выполнил студент: Тенишева А.А.
Группа: 133ФПМ51
Руководитель: Родионов М.А.
2018
Содержание
Введение
1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики
2. Основные этапы изучения понятия уравнений в основной школе
3. Методика изучения линии неравенств в курсе алгебры основной школы
Заключение
Список используемой литературы
Введение
Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и неравенств. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Очевидно, этой ролью уравнений и неравенств в естествознании определяется и их роль в школьном курсе математики. При изучении любой темы уравнения и неравенства могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития.
Данная тема выбрана не случайно, уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач, и именно поэтом тема « Изучение уравнений и неравенств» является одной из центральных. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Исходя из вышесказанного, выбирая тему работы, можно руководствоваться ее значимостью и сложностью при обучении учащихся решению уравнений и неравенств разного вида.
Цель:
1) изучить научно-методическую литературу, касающуюся изучению уравнений и неравенств;
2) рассмотреть основные методы и приемы решения различных уравнений и неравенств;
3) проанализировать школьные программы и выделить в них место уравнений и неравенств.
1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики
неравенство координата алгебра математика
Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Это можно проиллюстрировать, выделив главные области возникновения и функционирования понятия «уравнение» как:
* средства решения текстовых задач;
* особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения;
* формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
Названным областям соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры.
1. Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Данный аспект линии уравнений и неравенств во многом обеспечивает мотивацию изучения школьного курса математики в целом. При решении текстовых задач ведущим аппаратом является математическое моделирование, а одним из средств построения модели и решения ситуации в ее рамках - уравнения, неравенства и их системы.
2. Теоретико-математическая направленность раскрывается в двух аспектах:
* выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, неравенств и систем;
* изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей линии в целом, что позволяет сформировать обобщенный аппарат теории (выделить общие понятия линии: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следствие, система и совокупность уравнений; общие и частные методы решения).
3. Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией, причем эта связь - двусторонняя (идея последовательного расширения числовой системы).
Линия уравнений и неравенств также тесно связана с функциональной линией. Методы, разработанные в теории уравнений и неравенств, применимы к исследованию функций (элементарные методы исследования функций с целью построения графика). Аппарат линии функции (график и графические представления) привлекается к исследованию уравнений, неравенств и их систем.
Также следует отметить связь рассматриваемой линии с теорией тождественных преобразований. Последняя приобретает новое содержание и смысл при изучении равносильных преобразований уравнений и неравенств. В свою очередь, владение содержанием линии уравнений и неравенств позволяет расширить список выполнимых преобразований. Так, умение решать квадратные уравнения позволяет осуществлять сокращение дробей, в числителе или знаменателе которых имеется квадратный трехчлен.
Решение уравнений и неравенств способствует развитию мышления, исследовательских способностей, сообразительности, находчивости, настойчивости и т.д. Решение задач методом уравнений является одним из эффективных способов осуществления межпредметных связей.
В виду большой важности и обширности материала, связанного с уравнением и неравенством, его изучение организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств. Здесь вводятся понятия уравнений и неравенств, теоремы о равносильностях не доказывается, их содержание разъясняется на конкретных примерах. Рассматриваются алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений, приемы решения некоторых уравнений высших степеней (разложение на множители, метод замены), приемы решения дробно-рациональных уравнения, простейших иррациональных уравнений, линейных неравенств и их систем, а также неравенств второй степени. Учащиеся знакомятся с применением метода интервалов для решения некоторых неравенств (высших степеней и дробно-рациональных). Правомерного применения приемов решения уравнений и неравенств различных видов разъясняется на конкретных примерах. При рассмотрении уравнений с двумя переменными и их систем используется геометрическая интерпретация. Обращение к геометрическим образам является важным шагом в реализации взаимосвязи курсов алгебры и геометрии. Особое внимание уделяется системам линейных уравнений с двумя переменными. Для их решения используются способ подстановки, сложения, графический способ. Рассматриваются системы двух уравнений второй степени с двумя переменными. Выделяются системы составленные из одного уравнения второй степени, а другого первой степени. Подчеркивается, что такую систему всегда можно решить способом подстановки.
Приобретенные навыки в решении уравнений, неравенств и систем находят в применении при решении текстовых задач, что позволяет убедить учащегося в значимости их алгебраических знаний.
В 10-11 классах сведения об уравнениях и неравенствах, полученные учащимися в основной школе, углубляются и систематизируются. Рассматривается круг решаемых уравнений и неравенств: тригонометрические, показательные, логарифмические, иррациональные и дифференциальные уравнения. В виду большой сложности теория дифференциальных уравнений в школьном обучении представлена лишь своими начальными сведениями, которые не образуют связного целого, а относятся к конкретным прикладным вопросам.
Изучение уравнений и неравенств в первую очередь направлено на то, чтобы научить школьников составлять уравнения, системы уравнений по условию задачи. Учащиеся должны овладеть приемами и способами решения основных видов уравнений.
2. Основные этапы изучения понятия уравнений в основной школе
В школьном курсе математики учащиеся сталкиваются с понятием уравнения на протяжении всего обучения. В зависимости от класса меняется как способ решения уравнения, так и его обоснование. Впервые с уравнением учащиеся встречаются в начальной школе. Уравнения решаются подбором или с использованием правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий. С 5 класса начинается систематическое изучение уравнений. Изучение уравнений в 5-6 классах имеет ряд отличительных особенностей: с одной стороны они рассматриваются как самостоятельные понятия, с другой стороны - используются как служебные единицы для решения текстовых задач и формирования вычислительных навыков.
Метод введения понятия - конкретно-индуктивный.
|
Этапы введения понятия |
Реализация этапов |
|
|
Отыскание ярких практических примеров, показывающих целесообразность данного понятия. |
В учебнике Н.Я. Виленкина введение понятия уравнение начинается с задачи: На одной чашке весов находится арбуз и гиря в 6кг., а на другой - гиря в 15 кг. Весы находятся в равновесии. Найти массу арбуза. |
|
|
Выявление существенных и несущественных признаков данного понятия, введение термина. |
Математическая модель ситуации задачи: х + 6 = 15 Существенные признаки: равенство, содержит переменную Несущественные: в какой части стоит переменная, какой буквой обозначается. |
|
|
Формулируется определение. |
Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. |
|
|
Иллюстрация понятия конкретными примерами, модели понятия. |
Задания типа: Какие из выражений являются уравнениями: «2 + 3 = 5; 2 + х = 8; 5>3; а+8; 5в-3=2 и т.д.?» |
В 5-м классе уравнения решаются на множестве натуральных чисел. Как и в начальной школе - основной способ решения - на основании зависимости между результатами действий и их компонентами. Поэтому в 5-м классе рассматриваются 6 простейших видов уравнений:
а + х = в; а - х = в; х - а = в; х*а = в; х : а = в; а : х = в .
Образец рассуждений при решении уравнения (7 + х) - 15 = 21 (5 кл.)
1. Неизвестная буква входит в уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое необходимо к разности прибавить вычитаемое:
7 + х = 21 + 15;
7 + х = 36.
2. Теперь неизвестное входит в слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х = 36 - 7; х = 29.
С введением десятичных дробей учащиеся решают задачи на новом числовом множестве: (8,5 -у) * 7,2 = 37,44 и др. После упрощения выражений вида 5х + 7х на основе распределительного закона решаются уравнения, в которых требуются такие преобразования: (27х - 16х) : 11 = 3 и др. При решении таких уравнений отрабатываются навыки выполнения тождественных преобразований.
В процессе работы над понятиями «уравнение», «корень уравнения» полезно включать задания творческого характера. Например: «составить уравнение, корнем которого было бы число 5» или «какое число можно подставить в уравнение 2х + * = 15 вместо *, чтобы число 6 было его корнем?»
В 6-м классе уравнения решаются на множествах Z и Q. Неизвестное может находиться в обеих частях уравнения. Появляются уравнения с модулем.
Для обоснования возможности переноса членов уравнения из одной части в другую используются свойство противоположных чисел (а + (-а) = 0) и весы: На левой чаше весов лежат арбуз и гиря в 6 кг, а на правой - 15кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза? Математическая модель ситуации: х + 6 = 15. Чтобы найти массу арбуза, снимем с левой чаши весов гирю в 6 кг, а чтобы не нарушать равновесия, необходимо снять 6 кг и с правой чашки: х + 6 - 6 = 15 - 6, то есть х = 15 - 6. Можно сказать, что мы слагаемое 6 перенесли из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Воспользоваться весами для решения уравнения х - 5 = 9 уже нельзя. Воспользуемся свойством противоположных чисел: х-5 +5=9 + 5... .Затем рассматриваем уравнение 5х = 2х + 6 . Решаем аналогично. После этого формулируется правило: слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки. В этом же пункте учащиеся узнают, что корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.
В 7 классе вводится понятие равносильности. При решении уравнений используются свойства равносильности (1 и 2). Основное внимание уделяется решению линейных уравнений с одной переменной. Естественно, что их учащиеся уже решали в 5 - 6 классах. Поэтому в курсе алгебры 7 класса знания обобщаются, проводится исследование линейного уравнения ах + в = 0 в зависимости от параметров а и в: ах = - в