- решения неравенств с одной переменной;
- обоснования двух методов приближенных вычислений: метода границ и практических методов;
- выявления видов функционирования неравенств…
В учебнике С.А. Теляковского данная тема изложена в трех пунктах (П.27. Числовые неравенства. П.28. Свойства числовых неравенств. П.29. Сложение и умножение числовых неравенств), а операция сравнения введена следующим образом: « Мы будем считать, что положительное направление задано слева направо. Перемещению по координатной прямой вправо от точки b соответствует прибавление к числу b положительного числа.»
Для любых двух действительных чисел а и в определена операция сравнения, результатом которой является одно из трех утверждений: число а больше числа в; число а равно числу в; число а меньше числа в.
Мы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =, <, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: а = в, а<b, a>b.
Определение. Из двух чисел а и в меньшим является то, которому соответствует на координатной прямой точка, лежащая левее. Число а равно числу в, если им соответствует одна точка.
На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее - точкой, лежащей левее.
В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Однако удобно иметь такой способ сравнения чисел, который охватывает все случаи. Он заключается в том, что составляют разность чисел и выясняют, является ли она положительным числом, отрицательным числом или нулем. Этот способ сравнения чисел основан на следующем определении.
Определение Число а больше числа b, если разность а - b- положительное число; число а меньше числа b, если разность а - b- отрицательное число.
Заметим, что если разность а - b равна нулю, то числа а и b равны.
Доказательство Пусть а и b некоторые числа, причём а>b, то есть число а находится правее числа b. Перемещению по координатной прямой вправо от точки b соответствует прибавление к числу b положительного числа. Значит, с - положительное число. Следовательно, а - b = c, т.е. а - b>0.
В учебнике А. Г. Мордковича вводятся следующие свойства числовых неравенств:
1) a>b, b>c => a>c
2) a>b => a+c>b+c
3) a>b, m>0 => am>bm, a>b, m<0 => am<bm
4) a>b, c>d => a+d>b+d
5) a, b, c, d>0, a>b; c>d => ac>bd
6) a, b?0, a>b => an>bn, nN
и рассматриваются теоремы, выражающие свойства числовых неравенств.
Свойство 1 Если
а>b и b>c, то a>c.
По условию, а>b, т.е. а - b - положительное число. Так как b>c, то b-c - положительное число.
Сложив положительные числа а - b и b - c получим положительное число. Имеем
(а - b)+(b - c)=a - c.
Значит a - c - положительное число, т.е. a>c.
Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т.е. числовую прямую. Неравенство а>b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b>c - что точка b расположена правее точки с. Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т.е. a>c.
Свойство 1 называют свойством транзитивности.
Свойство 2 Если
а>b, то а + c > b+c.
Преобразуем разность (а + c) - (b+c):
(а + c) - (b+c) = а-b
По условию а>b, поэтому а-b - положительное число. Значит, и разность (а + c) - (b+c) положительна. Следовательно, а + c > b+c.
Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
Свойство 3 Если a>b и m>0, то am > bm;
Если a>b и m<0, то am < bm.
Смысл свойства 3 заключается в следующем:
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >, > на <).
То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число m, поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на 1/m.
Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a>b на -1, получим - a< -b.
Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства:
если a>b, то - a< -b.
Следствие Если a и b - положительные числа и a>b, то 1/а<1/b.
Разделим обе части неравенства a>b на положительное число ab: a/ab > b/ab. Сократив дроби, получим, что
1/b>1/a, 1/a<1/b.
Знание свойств числовых неравенств помогает работать при исследовании функций. (С неравенствами связаны такие известные свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке: ограниченность функции снизу и сверху; свойство возрастания и убывания функции.) Числовые неравенства используются при решении текстовых задач, при решении квадратных неравенств.
Важно выработать у учащихся прочный навык почленного вычитания, деления и умножения числовых неравенств.
Дано: 15<x<16, 2<y<3. Оценить сумму x+y, разность х - у, произведение ху, частное х/у.
Сумма х + у
15<x<16
2<y<3
17< x + y <19,
разность x-y, представим разность в виде суммы x +(-y),
-2>-y>-3, то, есть 3<-y<-2
15<x<16
-3<-y<-2
12<x-y<14,
произведение xy
15<x<16
2<y<3
30<xy<48,
частное x/y, представим частное в виде произведения x*1/y.
Так как 2<y<3, то Ѕ>1/y>1/3 , то есть 1/3<1/y<1/2.
15<x<16
1/3<1/y<1/2
5<x/y<8.
У учащихся следует выработать навыки решения следующих видов задач: Сравнить два числа. Задачи на оценку (оценить произведение двух чисел, сумму двух чисел, их разность, возведение в степень числа, оценить обратное ему число.) Задачи на доказательство. (1. Пусть а и b- положительные числа и a>b. Доказать, что 1/а<1/в. 2. Пусть а - положительное число. Доказать, что a+1/a 2.) В 8 классе изучаются темы «Линейные неравенства с одной переменной», «Системы неравенств с одним неизвестным». При решении линейных неравенств с одной переменной полезно ознакомить учащихся с алгоритмом его решения. Материал этих тем находит применение при решении нелинейных неравенств типа:
(ax +b)(cx +d)<0; .
Решение неравенств вида х - а < 0, х - а > 0 готовит учащихся к изучению курса анализа.
В учебнике Г.В. Дорофеева учащиеся знакомятся с методом доказательства неравенств по определению. По другим учебникам знакомство учащихся с приемами доказательства неравенств не предусмотрено.
Все приобретенные учащимися навыки находят применение при изучении тем «Решение квадратных неравенств» и «Действительные числа». (Замечание: в некоторых учебника этот материал изучается в 9 классе.)
Учащиеся, по крайней мере, должны знать 3 способа решения квадратных неравенств:
1. Опираясь на разложение квадратного трехчлена на множители, построить эскиз графика квадратного трехчлена и записать ответ.
2. Опираясь на разложение квадратного трехчлена на множители, использовать метод интервалов.
3. Графический метод решения неравенства: ах2 + вх +с>0 ах2 > - вх - с.
9 класс Формируется навык проведения равносильных преобразований неравенств.
В учебнике А.Г.Мордковича в теме «Рациональные неравенства» вводится определение рационального неравенства.
Определение: Рациональным неравенством с одной переменной x называется неравенство вида h(x)>q(x), где h(x) и q(x) рациональные выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной x с помощью операции сложение, вычитание, умножение, деление.
В главе «Рациональные неравенства и их системы, линейные и квадратные неравенства» предполагается знакомство учащихся с методом интервалов и использование этого метода при решении неравенств вида: < 3, >0.
При изучении темы «Системы неравенств» учащимся можно предложить решить задачу: «Найти область определения выражения »
методом составления системы неравенств.
В целом изучение неравенств в школьном курсе математики организовано так же, как и уравнений. В частности, они проходят те же этапы изучения. Особенности изучения неравенств.
1) Все неравенства изучаются вслед за соответствующим классом уравнения, за исключением линейных.
2) Как правило, навыки решения неравенств, за исключением линейных и квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений.
3) Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а = b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Кроме, линейных. Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать, с тем чтобы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основной метод решения неравенств; в старших классах он формализуется в виде «метода интервалов».
4) В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства.
Заключение
При выполнении работы « изучение уравнений и неравенств в курсе основной школы» была изучена научно-методическая литература, касающаяся данной темы, проанализирован ряд учебников по математике алгебре для 5-9 классов, выделены основные методические рекомендации учителю математики.
Для реализации целей и задач данной линии предполагается использовать следующие формы уроков: лекции, практикумы по решению задач, самостоятельные и контрольные работы; возможно и использование менее традиционных форм, таких, как семинар, дискуссия, обсуждение, мозговой шторм и т.д.
Линия уравнений и неравенств тесно связана с числовой линией, поэтому изучение каждого последующего вида уравнений расширяет представления учеников о числовых множествах, и как следствие разнообразные формулировки заданий (раскройте скобки, приведите подобные слагаемые, упростите выражение в какой-либо части уравнения или неравенства), нацеленных на отработку обязательной алгебраической подготовки учеников, обеспечивают достаточно регулярное обращение к разнообразным случаям вычислений с целыми, действительными и рациональными числами, поэтому уравнения и неравенства могут быть использованы в теме «Операции над числами и свойства этих операций» как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.
Решение задач из различных разделов математики с помощью уравнений и неравенств формирует представление о единой математике и относительном характере ее расчленения на арифметику, алгебру, геометрию. Значительна роль метода уравнений и неравенств в решении задач жизненного содержания. Решение задач, связанных с основами современного производства, экономикой народного хозяйства, со смежными дисциплинами может служить одним из эффективных способов осуществления принципа политехнического обучения и связи преподавания математики с жизнью, подготовки учащихся к свободному выбору будущей профессии.
Список используемой литературы
1) В.А. Любецкий Основные понятия школьной математики, изд. «Просвещение» 1987г.
2) В.С Крамор Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, изд. «Просвещение» 1990г.
3) Г.И. Глейзер «История математики в школе 7-8 классов» 1982г.
4) Задачи по математике. Уравнения и неравенства. ВавиловК. И. Мельников И.И. изд. «Наука» 1987г.
5) Алгебра и математический анализ. 10 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд. «Просвещение».
6) А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др. “Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Учебное пособие для студентов пед.институтов по физ.-мат. специальности ”; сост. В. И. Мишин.-М.: Просвещение, 1987г.