при а - уравнение имеет единственное решение х = - в/а;
при а = 0, в 0 - уравнение не имеет решений;
при а = 0, в = 0 - уравнение примет вид 0х = 0, х - любое число.
При изучении темы «Многочлены» учащиеся используют разложение на множители для решения уравнений вида: ах2 +вх = 0;
х2-а2 = 0; х2 + 7х + 6 = 0
(х2 + 6х + х + 6 = 0; х(х + 6) + (х + 6) = 0; (х + 6)(х + 1) = 0 => х = -6 или х = - 1).
В 7-м классе рассматривается еще одно важное понятие «уравнение с двумя переменными» и вводится понятие «система линейных уравнений»
В 8-м классе изучаются квадратные уравнения и уравнения, содержащие переменную в знаменателе.
В учебнике определение квадратного уравнения вводится явно. «Уравнение вида ах2 + вх + с = 0, где а0 называется квадратным уравнением». Желательно к этому определению подойти через конкретные задачи. Формулы корней квадратного уравнения необходимо вывести, используя выделение полного квадрата в трехчлене ах2 + вх + с и сводящее уравнение к двучлену, а не давать учащимся в готовом виде. При этом учащиеся должны твердо усвоить, что дискриминант позволяет узнать: есть ли корни у уравнения, а если есть, то сколько их. Кроме того, необходимо научить учащихся использовать формулу для случая, если в - четное, а также формулу корней приведенного квадратного уравнения.
Учащиеся должны владеть различными способами решения полного квадратного уравнения:
– Способ выделения полного квадрата.
– Через дискриминант по формуле корней.
– По теореме, обратной теореме Виета.
– Графическим способом.
Кроме того, учащиеся должны уметь решать неполные квадратные уравнения.
Для решения уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби, учащимся могут быть предложены два способа:
1 способ основан на использовании равенства дроби нулю:
2 способ опирается на условие равенства дробей с одинаковыми знаменателями:
В 9-м классе решаются дробно-рациональные, биквадратные уравнения. Рассматриваются графические способы решения уравнений с одной переменной, как один из примеров приближенного решения уравнений.
Графический способ решения уравнений состоит в следующем: «Дано уравнение
f(x) = g(x).
Строим в одной системе координат графики
у = f(x) и у = g(x).
Отыскиваем абсциссы точек пересечения».
Возможность применения графического способа решения весьма ограничена, так как ограничен запас графиков функций, которые ученики могут строить, и степень точности нахождения корней. Кроме того, приходится подбирать такие графики, чтобы точки пересечения были в пределах рисунка.
Однако графический способ имеет и определенные преимущества: позволяет рассматривать решения таких уравнений, которые учащиеся на данном этапе не могут решить аналитическим способом. Даже если корни являются числами большими по модулю, то с помощью схематических рисунков удается установить число корней, их знаки, вычленить те отрезки числовой оси, где эти корни могут находиться. Эти исследования полезны для подготовки к изучению функций.
Использование графического способа полезно и в устной работе с учащимися.
Пример. Выяснить, сколько корней имеет уравнение и определить их знаки:
х2 = - 6х; - Зх2 = -10/х; х4 = х + 13; = -Зх и др.
Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического способа решения сюжетных задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, широко применяемым в приложениях математики.
В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование, включающее в себя: 1) построение модели, 2) исследование модели, 3) анализ полученных результатов и перенос их на объект изучения.
В методике обучения математике выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи:
– осмысление текста задачи и анализ ее содержания;
– осуществление поиска решения и составления плана решения;
– реализация плана решения;
– анализ найденного решения, поиск других способов решения.
При работе с сюжетной задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявления величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи («краткой модели») текста задачи.
Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна служить математическая модель ситуации. При решении задачи алгебраическим методом - это уравнение или система уравнений.
Третий этап предполагает исследование математической модели (решение уравнения или системы); перенос результатов исследования математической модели в заданную ситуацию; запись ответа.
На четвертом этапе работы с сюжетной задачей можно предложить другие варианты решения (другое уравнение или систему, арифметический способ решения).
Мы видим, что процесс решения сюжетной задачи - это теоретическое исследование, представляющее собой процесс математического моделирования.
Решение сюжетных задач с помощью уравнений - один из центральных вопросов методики алгебры. Выделим некоторые его аспекты: «Как научить учащихся составлять уравнение по тексту задачи? », «Какие при этом возможны эвристические схемы рассуждения?»; «Как кратко записать задачу?»; «Как использовать графические иллюстрации?»; «Как провести подготовительную работу по решению задач методом уравнений?»; «Нужна ли проверка при решении сюжетных задач?». Эти вопросы исследовали ученые-методисты, учителя (Д. Пойа, Л.М. Фридман, В.П. Радченко и др.)
Предложим некоторые правила, помогающие составлять уравнение по тексту задачи.
Правило Коши: для того, чтобы составить уравнение, надо обозначить неизвестное буквой, например х, и произвести с ним и с данными величинами все вычисления, которые выполняются при проверке правильности решения. Именно так ведется поиск решения сюжетной задачи с помощью анализа Евклида.
Правило Ньютона: для составления уравнения нужно условие задачи перевести с естественного на алгебраический язык.
Правило сравнения: необходимо составить два разных алгебраических выражения для одной и той же величины и поставить между ними знак равенства.
Каждое из этих правил с определенной стороны характеризует процесс составления уравнения по условию задачи. Но применять их ученику, который не умеет составлять уравнения, довольно трудно. Поэтому полезно сообщить ему эти правила на более позднем этапе обучения методу составления уравнений.
3. Методика изучения линии неравенств в курсе алгебры основной школы
Основная учебная цель изучения материала линии неравенств - овладение учащимися на том или ином уровне приемами решения (алгебраического и графического) неравенств как математического аппарата решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний и практики.
Содержание этого материала позволяет продолжить развитие различных познавательных процессов, речи, умения учиться, алгоритмического и обобщенного мышления, элементов творческой деятельности при решении всех основных типов задач алгебраическим методом, развитие пространственного воображения при решении графическим методом.
Гуманитарный потенциал этой линии, как числовой, связан с историей развития алгебры и содержанием текстовых задач: исторических, занимательных, краеведческих и так далее, что дает возможность ставить перед учащимися цели воспитания и развития интереса к математике и учебной деятельности в целом, общей культуры (гуманитарной, экологической), культуры общения, чувства прекрасного. Решение задач практического, жизненного содержания является одним из средств связи математики с жизнью и подготовки учащихся к выбору профессии.
Изучение неравенств в школе можно разделить на следующие этапы:
- пропедевтический (1-6 класс);
- основной (курс алгебры 7-9 классы основной школы);
- завершающий (10-11 классы старшей школы).
Пропедевтический этап (1 - 6 кл.)
С 1-го класса детей знакомят с понятиями «больше» и «меньше» ( 6 больше 5; 7 меньше 8), «увеличить» и «уменьшить», формируют навыки сравнения на основе счета, учат сравнивать выражения. В основном дети проводят сравнение на дидактическом (раздаточном) материале и примерах из жизни.
Во 2 классе детей обучают сравнению величин (длина является критерием сравнения), чисел, сравнению выражения с числом, знакомят с символами «=»; «<»; «>». Появляются числовые неравенства(5<6; 8>7).
В 3 классе дети обучаются навыкам проведения сравнения «выражения с выражением после операции в каждом из них», сравнению выражений(13 -9 * 13 - 8, 16 + 7 * 16 + 8) без выполнения вычислений (то есть идет пропедевтика свойств числовых неравенств и доказательства этих свойств). Много внимания уделяется усвоению учащимися смысла терминов «меньше «на», больше «в»». Учащиеся приобретают навыки «поразрядного» сравнения, навыки «прикидки».
Учащиеся решают задачи типа: «Какой знак нужно поставить вместо * чтобы получить верное неравенство (5*7; 1+9*9)»; «Длина одного отрезка 8 см, второго в 2 раза меньше, чем первого, а третьего на 16 см больше, чем второго. Узнай длину третьего отрезка и вырази ее в дм.»
Математика 5 - 6 класс
В начале курса рассматривается тема: «Меньше или больше», при изучении которой у учащихся закрепляются навыки, приобретенные в начальной школе, и формируются новые навыки.
При счете натуральные числа называют по порядку. Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше и больше, то которое называют позже.
Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.
Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства, применяя знаки < и > (Например, 4<7).
Число 3 меньше, чем 6, и больше, чем 2. Это факт записывается в виде двойного неравенства 2<3<6.
Знаками < и > обозначают также результат сравнения. Если отрезок AB короче CD пишут AB<CD.
Учащиеся решают задачи:
- Какая из точек лежит левее на координатном луче …
- Запишите с помощью двойного неравенства.
- Прочитайте запись...
- Какое число больше.
- Я задумал число, оканчивающееся на 5. Оно больше 210 и меньше 220. Назовите его…
Учащиеся должны в зависимости от конкретного вида чисел применять тот или иной способ сравнения.
1. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675. Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби записана цифра 4, а во второй - цифра 5.
Так как 4<5, то 3,6748 < 3,675.
2. Сравним отрицательные числа -15 и - 23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, т.е. -15 > -23.
3. Сравним обыкновенные дроби 5/8 и 4/7.Для этого приведём их к общему знаменателю:
5/8=35/56;
4/7=32/56
Так как 35>32, то 5/8>4/7.
4.Сравнить углы треугольника.
Учащиеся должны усвоить основные критерии и процедуры сравнения, осмыслить первое обобщение «неравенства являющееся важным средством для проведения операции сравнения».
При изучении темы «Среднее арифметическое» учащиеся используют теорию неравенств для проведения округления с наименьшей погрешностью, нахождения средней скорости движения.
При изучении темы «Построение треугольников», усваивая возможность существования треугольника с заданными сторонами, учащиеся приобретают первичные знания «существования неравенств ограничения». (Треугольник со сторонами 3см, 5см, 8 см - не существует; необходимо, чтобы а + в >с.)
Именно в этих классах идет формирование геометрического определения неравенства. (Тема «Сравнение чисел с помощью координатной прямой»).
Огромную роль в формировании теории неравенств играет усвоение учащимися понятия «Модуль числа». С помощью этого понятия учащиеся будут сравнивать числа, вычислять оценку погрешности, описывать ограничения и существование математических объектов…
В теме "Деление" в упражнении № 609 (С.А. Теляковский) вводятся новые символы «? и ?».
Кроме неравенств со знаками > и <, которые называют строгими, используют нестрогие неравенства, для которых введены знаки ? и ?.
Основной этап (Алгебра 7 - 9 кл.)
7 класс. Теория неравенств находит применение при проведении исследования функций: определения области определения и области значений функций; построения графиков не на естественных, а на ограниченных областях; влияния знаков параметра на расположение графиков в координатной плоскости, выяснения свойств функций.
Учащиеся должны усвоить, что неравенства являются средством перебора логических возможностей решения задач и построения функций.
Изучение неравенств является подготовительным этапом к решению систем неравенств и задач линейного программирования.
8 класс Главный упор делается на тему «Числовые неравенства и их свойства», которые являются базой для: