Материал: Усиление узкополосных сигналов. Останков А.В
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ПРИМЕР РАСЧЕТА СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СИГНАЛА НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМ О СПЕКТРАХ
Пусть в соответствии с заданием на курсовую работу огибающая амплитуд радиосигнала А1(t) описывается аналитическим выражением
4AS1 t/TS1,0 t TS1/4,
A |
|
,T /4 t 3T |
|
/4, |
|
|
||
S1 |
|
S1 |
S1 |
|
/4 t T , |
(П3.1) |
||
A1(t) 4A |
|
(T |
t)/T |
,3T |
||||
|
S1 |
S1 |
S1 |
|
S1 |
S1 |
|
|
0,t [0,TS1], |
|
|
|
|
||||
где AS1, TS1 – пиковая амплитуда и длительность огибающей, которые соответствии с заданием равны AS1 =1 B, TS1 =1 мс. Огибающая амплитуд радиосигнала А1(t), определяемая выражением (П3.1), изображена на рис. П3.1.
А1(t),В
1.0
0.5
0 |
¼TS1 ¾TS1 TS1 t,мс |
0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25
Рис. П3.1. Огибающая амплитуд радиосигнала А1(t)
Для определения комплексной спектральной плотности такого трапецеидального сигнала вместо вычисления прямого преобразования Фурье от функции А1(t) целесообразно воспользоваться теоремами о спектрах.
Действительно, сигнал А1(t) может быть рассмотрен как результат интегрирования (с коэффициентом 4/TS1) показанной на рис. П3.2 совокупности s(t) двух прямоугольных импульсов
68
разной полярности. Тогда в соответствии с теоремой об интегрировании сигнала [1] искомая комплексная спектральная плотность GA1( ) определяется как
|
4G |
( ) |
|
4 |
|
|
|
GA1( ) |
S |
|
|
|
|
GS(0) ( ), |
(П3.2) |
j T |
|
T |
|||||
|
|
S1 |
|
S1 |
|
|
|
гдеGS(0)–площадь интегрируемого сигнала s (t). Из рис. П3.2 видно, что площадь сигнала s(t) равна нулю:GS(0)=0.
s(t),В
1.0s11(t)
|
|
¼TS1 |
¾TS1 |
TS1 t,мс |
|
0 |
0.25 |
0.50 0.75 |
1.00 1.25 |
||
s12(t)
–1.0
Рис. П3.2. Производная огибающей амплитуд
Известно, что комплексная спектральная плотность прямоугольного импульса rect(t/ ) (рис. П3.3) описывается простым выражением, содержащим функцию sinc: sinc( /2) [1].
1 |
rect(t/ ) |
||
|
|
||
|
0 |
|
t |
–½ |
½ |
||
Рис. П3.3. Импульс типа rect
Тогда спектральная плотность импульса s11(t) положительной полярности (см. рис. П3.2) амплитудой AS1 длительности ¼TS1, запаздывающего на время ⅛TS1 относительно на-
69
чала координат, согласно теоремам запаздывания и подобия [1] может быть определена как
GS11( ) AS1 |
|
TS1 |
|
TS1 |
|
|
TS1 |
|
||
|
|
sinc |
|
|
exp |
j |
|
. |
||
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|||
Спектральная плотность импульса отрицательной полярности s12(t) (см. рис. П3.2), смещенного относительно t=0 на величину ⅞TS1, записывается по аналогии как
GS12 |
( ) AS |
TS1 |
|
TS1 |
|
|
j 7 |
TS1 |
|
|
|
sinc |
|
|
exp |
|
. |
||||
4 |
|
8 |
||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||
Спектральная плотность сигнала s (t) есть сумма спектральных плотностей составляющих его импульсов:
GS( ) AS T4S sinc T8S1 exp j T8S1 exp j 7T8S1 ,
которая после несложных преобразований принимает вид
G |
( ) j 3A |
TS1 |
2 |
|
|
TS1 |
|
|
TS1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
sinc |
|
|
|
|
sinc |
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
S |
|
S1 |
|
4 |
|
|
8 |
|
8 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П3.3) |
||||||
|
|
|
TS1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
exp |
j |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основе полученного выражения с учетом формулы (П3.2) искомая комплексная спектральная плотность сигнала А1(t) как функция циклической частоты определяется следующим выражением
GA1 |
(f ) |
3AS1 TS1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
TS1 |
|
|
|
TS1 |
|
(П3.4) |
|
|
sinc |
|
f |
sinc |
|
3 f |
exp( j fT ). |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
S1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Спектральная плотность амплитуд рассматриваемого сигнала как модуль его комплексной спектральной плотности
70
GA1 |
(f ) |
3AS TS |
|
|
f |
TS |
|
3 f |
TS |
|
|||
|
|
sinc |
|
sinc |
|
|
(П3.5) |
||||||
4 |
4 |
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
изображена графически на рис. П3.4. Наиболее важные значения спектральной плотности амплитуд огибающей амплитуд радиосигнала приведены в табл. П3.1.
GA1(f), В/кГц
0.8
0.6
0.4
0.2
f, кГц
0
0 |
0.5 |
1.0 |
1.5 |
2.0 |
2.5 |
3.0 |
Рис. П3.4. Спектральная плотность амплитуд огибающей амплитуд радиосигнала А1(t)
Таблица П3.1–Значенияспектральнойплотности амплитуд огибающей амплитуд радиосигнала А1(t)
f, кГц |
0.00 |
0.50 |
1.00 |
1.33 |
1.84 |
2.67 |
3.09 |
GА1(f), В/кГц |
0.750 |
0.573 |
0.203 |
0.00 |
0.110 |
0.00 |
0.023 |
Спектр фаз огибающей амплитуд радиосигнала А1(t) как аргумент комплексной спектральной плотности описывается
выражением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1( f ) fTS1 |
|
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|
|
(П3.6) |
||
|
|
|
|
|
sinc |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 sign |
sinc |
f |
S1 |
3 f |
S1 |
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где sign(n) |
1,n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1,n 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
АППРОКСИМАЦИЯ ВАХ НЕЛИНЕЙНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИЕЙ
При теоретическом анализе нелинейных радиотехнических цепей (усилителей, модуляторов, детекторов и др.), работающих в режиме большого сигнала (с отсечкой тока), возникает необходимость в аппроксимации ВАХ нелинейного сопротивления (диода, транзистора), на основе которого реализована цепь, кусочно-линейной функцией.
Рассмотрим численную реализацию методики аппроксимации ВАХ нелинейного сопротивления кусочно-линейной функцией с одним изломом:
i 0,u UН
S (u UН), u UН,
где UН – напряжение, соответствующее точке излома, S – крутизна характеристики на возрастающем участке. Задача аппроксимации будет решена, если удастся найти пару значений S, UН, обеспечивающую наилучшее совпадение истинной ВАХ элемента и аппроксимирующей функции. Критерием приближения является минимум среднеквадратической ошибки.
Для численного решения задачи требуется располагать значениями ВАХ нелинейного элемента: множеством значений воздействующего напряжения и соответствующих им значений токов. Такой массив данных может быть получен (в статическом режиме) экспериментальным путем или на основе имитационного моделирования в схемотехническом симуляторе, библиотека компонентов которого содержит модель рассматриваемого элемента.
Итак, пусть имеется массив данных о ВАХ нелинейного элемента: um и im, где m = 0…N, N – объем данных (число выбранных точек ВАХ). Тогда алгоритм решения задачи аппрок-
72
симации, описанный в [10], может быть математически формализован следующим образом:
1) полагая, что напряжение излома UН последовательно принадлежит интервалу от uM–1 до uM (M = 1,2...), выполнить в каждом таком случае линейную аппроксимацию характеристикидлявсех контрольных точек, удовлетворяющих неравенству um uM; оптимальные параметры такой линейной аппроксимации могут быть рассчитаны по приведенным ниже формулам:
um im (1/K) um im
S= |
m M |
m M |
m M |
|
|
2 |
|
2 |
|||
|
um (1/K) um |
||
|
m M |
m M |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
, UH |
|
|
um |
|
im |
, |
|
|
|
||||||
|
K m M |
S m M |
|
|
|||
где K – число учитываемых контрольных точек (удовлетворяющих условию um uM);
2) оставить для дальнейшего рассмотрения лишь те варианты, для которых расчетное значение UН оказалось соответствующим сделанному предположению, и рассчитать для каждого из них величину среднеквадратической ошибки приближения по формуле:
|
[im S (um UH)]2 |
im2 . |
|
um uн |
um uн |
3) из всех рассмотренных в предыдущем пункте вариантов выбрать один – с наименьшим значением итоговой погрешности .
Решим задачу аппроксимации статической проходной ВАХ транзистора 2N3904, включенного по схеме с общим эмиттером. Пусть дополнительно в цепь эмиттера транзистора включеносопротивлениеобратнойсвязи.На рис.П4.1показана схема измеренияпроходнойВАХрассматриваемого транзистора, реализованная в симуляторе Electronics Workbench. Источник V1 обеспечивает подачу на базу входного постоянного напряжения, источник V2 – питание коллекторной цепи. В цепи
73
|
|
–100 V/V |
|
|
|
K |
5 |
|
|
0.01Ohm |
|
|
2N3904 |
|
|
V1 |
100Ohm |
V2 |
|
1.5V |
12V |
|
|
|
|
Рис. П.4.1. Схема измерения проходной ВАХ транзистора в симуляторе Electronics Workbench
коллектора имеется малое по величине сопротивление, напряжение с которого снимается и подается на вход усилителя "K". Коэффициент усиления последнего подобран так, чтобы значение напряжения на его выходе с точностью до размерности совпало со значением тока коллектора. В ноде 5, таким образом, величина напряжения численно равна величине постоянного коллекторного тока.
В целях автоматизации процесса снятия проходной ВАХ достаточно активировать команду "Parameter Sweep..." меню "Analysis". При ее выполнении в соответствии с параметрами, указанными на рис.П4.2,а напряжение источника V1 автоматически изменяется от 0.3 до 1.2 В с шагом 0.001 В; при этом каждый раз производится измерение постоянного напряжения в ноде 5. Результат выполнения команды выводится в окне, показанном на рис. П4.2,б. Для сохранения результатов моделирования достаточно нажать кнопку "Save As" панели окна "Analysis Graphs". Симулятор автоматически формирует файл (в ASCII-кодах) с расширением "txt", содержащий текстовый комментарий и числовые данные в двух столбцах. В первом столбце приводятся значения варьируемой величины (входного напряжения), во втором указываются значения напряжения (в данном случае – выходного тока) в заданной ноде. Создан-
74
ParameterSweep |
|
|
|
Sourse1 |
|
|
Simulate |
Component |
V1 |
|
|
|
Accept |
||
Parameter |
Voltage |
|
|
|
|
||
Analysis |
|
|
Cancel |
|
|
|
|
Start value |
|
0.3 |
V |
End value |
|
1.5 |
V |
Sweep type |
|
Linear |
|
Increment step size |
0.001 |
V |
|
Output node |
|
5 |
|
Sweep for |
|
|
|
DC Operating Point |
Set transient options |
||
Transient Analysis |
|
||
AC Frequency Analysis |
Set AC options |
||
AnalysisGraphs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Parameter |
|
|
|
|
|
5m |
|
|
|
|
4m |
|
|
|
(V) |
3m |
|
|
|
Voltage |
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1m |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
300.0m |
600.0m |
900.0m |
1.2 |
|
|
V1 Voltage (V) |
|
|
а б
Рис. П4.2. Иллюстрация к автоматизации процесса снятия проходной ВАХ транзистора в симуляторе Workbench
ный симулятором файл следует открыть, удалить текстовый комментарий (первые пять и последние три строки файла) и сохранить вновь как текстовый файл с расширением "prn".
На основе представленных выше аналитических соотношений разработана программа в системе компьютерной математики MathCAD (рис. П4.3). Для проведения численной аппроксимации достаточно создать файл с указанной программой, сохранить его в ту же папку, что и текстовый файл с результатами моделирования ВАХ и произвести расчет.
Искомые значения напряжения излома ВАХ (UН) и крутизны наклонного луча(S)выводятся программой на экран как "Unn"и "Sn". Из рис.П4.3 видно, что значения UН,S, обеспечивающие наилучшее совпадение ВАХ транзистора, показанной на рис.П4.2,б, и аппроксимирующей функции, составляют 644 мВ и 8.69 мА/В соответственно. Если постоянное напряжение смещения, обеспечивающее положение рабочей точки на проходной ВАХ транзистора, равно UБ0 =0.5В, а на базу транзис-
75
Matrix: READPRN("Res.prn") u: Matrix 0 i: Matrix 1
N: rows(u) |
|
|
|
j: 0,2..N 3 |
|||||||||||||
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
N 1 |
|
N 1 |
||||||
|
um im |
|
|
um im |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Sj: |
m j |
|
|
|
|
N j m j |
|
m j |
|||||||||
N 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N 1 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(u |
|
2 |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|||||
|
m |
) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
m |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
m j |
|
|
|
|
|
|
N j m j |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
N 1 |
|
|
|
1 |
|
|
N 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Un |
: |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
i |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
j |
|
N j |
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|||||||
|
|
|
m j |
|
|
|
Sj m j |
|
|
||||||||
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j: [im Sj (um Unj)]2 (im)2
m j m 0
n: |
max( ) |
|
||
|
for j 0,2..N 3 |
|||
|
|
|
n j if j |
|
|
|
|
||
|
n |
|
j if |
j |
|
|
|
Sn 8.69 10 3 |
|
Unn 0.644 |
||||
Рис. П4.3. Программа поиска оптимальных параметров аппроксимации ВАХ
тора подано гармоническое колебание амплитудой UБ =0.25 В, то угол отсечки тока будет равен 55 . При таких условиях амплитуда первой гармоники IK1 коллекторного тока составит
8.690.25 1(55 ) 340 мкА. Данный результат на18%лучше результата 450 мкА, полученного непосредственно по ВАХ графическим методом трех ординат.
76
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ СПЕКТРА ОТКЛИКА НЕЛИНЕЙНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Как известно, при воздействии напряжения негармонической формы на нелинейное сопротивление спектр отклика (тока) чрезвычайно богат и содержит помимо гармоник с частотами, кратными частотам воздействия, бесконечное число комбинационных составляющих. Аналитический расчет спектра тока крайне усложняется при обогащении спектрального состава воздействующего напряжения и учетом истинной формы ВАХ сопротивления, которая в пределах рабочего участка не может быть точно описана простыми аппроксимациями (полиномиальной или полигональной). В большинстве практически важных случаев численный расчет является единственно возможным способом изучения спектра тока.
На рис. П5.1 приведена программа для численного расчета спектра тока нелинейного сопротивления, реализованная в системе компьютерной математики MathCAD. Программа позволяет производить расчет при сколь угодно сложном воздействии и ВАХ любой (произвольной) формы. Исходными данными для расчета являются:
1)значения напряжений um и соответствующих им токов im в конечной совокупности точек (m = 0…N) ВАХ нелинейного сопротивления; данные считываются из текстового файла, имеющего структуру, подобную описанной в прил. 4; методика получения массива данных о ВАХ имитационным моделированием в симуляторе Electronics Workbench (на примере транзистора) изложена в прил. 4;
2)аналитическое выражение воздействующего на нели-
нейное сопротивление напряжения u (t), представляющего собой сумму постоянного напряжения смещения и меняющегося
77