Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 534-539

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также:

488	Глава 8. Электродинамика
d3k′ = ω′2dω′dΩ ,	(8.7.16)

ãäå dΩ — телесный угол, в который рассеивается конечный фотон.

Оставшаяся в (8.7.15) дельта-функция служит как раз для того, чтобы исключить дифференциал dω′ в (8.7.16), и мы приходим к диффе-

ренциальному сечению

dσ = (2π)4 \| M\|2	p′0ω′3	dΩ ,	(8.7.17)
	mω

ãäå p′0 = m + ω − ω′, è ω′ определяется формулой (8.7.14).

Обычно z-компоненты спина начального или конечного электрона не измеряются. В таких случаях следует просуммировать по σ′ и усреднить по σ, или иными словами вычислить полусумму по σ è σ′:

dσ(p + k, e → p′ + k′, e) ≡ 21 ådσ(p, σ + k, e → p′, σ′ + k′, e) . (8.7.18)

σ′,σ

Чтобы вычислить эту сумму, воспользуемся стандартной формулой

и аналогичной формулой для суммы по σ′. Согласно этим формулам, для произвольной 4×4 матрицы А имеем:

å

′

, σ′)Au(p, σ)|

2

= å

′

†

′

, σ′))

| u(p

(u(p

, σ′)Au(p, σ))(u(p, σ)βA βu(p

σ,σ′

=å Aβα uα (p, σ)uγ (p, σ)(βA†β)γδ uδ (p′, σ′)uβ (p′, σ′)

σ,σ′

R	F −ip/ + mI				F −ip/ ′ + mI U
= TrSAG				J	(βA†β)G			J V .
		2p	0			2p′	0
T	H			K	H			K W

(8.7.20)

Напомним, что βγμ†β = −γμ, тогда, подставляя А из формулы (8.7.6),

получаем:

8.7. Комптоновское рассеяние	489

å

| M|2 =

e4

64(2p)

6

0

p¢

0

σ,σ′

ww¢p

´

LR

/

[-i(p + k/ ) + m]

/

- /

[-i(p - k/ ¢) + m]

MS

/

Tr

NT

e¢*

p × k

e

p × k¢

R

[-i(p + k/ ) + m]

e¢

[-i(p - k/ ¢)

+ m]

e*

Se*

/

e¢

/

´

/

- /

/

T

p × k

p × k¢

/ * U( / )

e¢ V -ip + m

W(8.7.21)

U O

V(-ip/ ¢ + m)P .

W Q

(Вновь напомним, что e/* означает не (e/ )*, à eμ*gμ, и аналогично для e/¢* .) Мы проводим вычисления в «калибровке», в которой

e × p = e* × p = e¢ × p = e¢* × p = 0 ,

(8.7.22)

например, в кулоновской калибровке в лабораторной системе, где е0 = å′0 = 0 и р = 0. * Тогда

[−ip/ + m]e/[−ip/ + m] = e/[−ip/ + m][−ip/ + m] =

=e/(p/ 2 + m2 ) = e/(pμpμ + m2 ) = 0 ,

èаналогично для e¢* , e/* è e/ ′ . Поэтому формулу (8.7.21) можно силь-

но упростить:

-e4

LRe¢*ke/

ek/ ¢e¢* U

å

| M|2

=

TrMS

/

+

/ /

V(-ip + m)

6

0

64(2p)

p¢

NT p × k

p × k¢ W

/

σ,σ′

ww¢p

Re*ke/

¢

e¢k/

¢e*

U

O

(8.7.23)

´ S

/ /

+

/

V(-ip¢

+ m)P .

T p × k

p × k¢

W

/

Q

* Строго говоря, эта фраза становится понятной только после гл. 9, где показано, что при вычислении матричных элементов процессов с участием реальных электронов и позитронов к вектору поляризации фотона e с 4-импульсом k всегда можно добавить 4-вектор, пропорциональный k: eμ → eμ + kμ. — Ïðèì.

ðåä.

490	Глава 8. Электродинамика

След произведения любого нечетного числа g-матриц обращается в

нуль, так что последнее выражение разбивается на слагаемые нулевого и второго порядка по m:

å| M|2

σ,σ′

=

6

e4

0

F

T

2 +

T

+

T

0 G

1

2

3

64(2p)

ww¢p p¢

H (p × k)

(p × k)(p × k¢)

+

T

-

m2t

-

m2t

-

m2t

-

m2t

4

I

4

1

2

3

J

,

(p

× k¢)

2

(p

× k)(p × k¢)

2

(p × k)

(p × k)(p × k¢)

(p × k¢) K

(8.7.24)

ãäå

n/

/ / /

/

s

1 =

(8.7.25)

T

Tr e¢*kepe/

*ke/ ¢p¢

,

2

=

n/

/ / /

/

s

(8.7.26)

T

Tr e¢*kepe/

¢k/ ¢e*p¢

,

3

=

n/

/

/ s

(8.7.27)

T

Tr ek/ ¢e¢*pe*ke/

¢p¢

,

4

=

n/

/

s

(8.7.28)

T

Tr ek/ ¢e¢*pe¢k/ ¢e*p¢

,

1

=

n/

/ /

/ s

(8.7.29)

t

Tr e¢*kee/

*ke/ ¢

,

2

=

n/

/ /

/

s

(8.7.30)

t

Tr e¢*kee/ ¢k¢e*

,

3

=

n/

/

/ s

(8.7.31)

t

Tr ek/ ¢e¢*e*ke/ ¢

,

n/

/

s

t4

=

Tr ek/ ¢e¢*e¢k/ ¢e*

.

(8.7.32)

В Приложении к этой главе показано, как выразить любой след Trkabcd/ / / / . . .p через сумму произведений скалярных произведе-

ний 4-векторов a, b, c, d, ... В общем случае, вклады от произведений 6 или 8 g-матриц типа tk èëè Tk будут даваться суммой

соответственно 15 или 105 слагаемых, но, к счастью, большинство скалярных произведений равно нулю; в дополнение к соотношениям (8.7.22) имеем k×k = k¢×k¢ = 0. (Кроме того, е×å* = å¢×å¢* = 1.) Чтобы

упростить дальнейшие вычисления, ограничимся случаем линейной поляризации, когда eμ è e¢μ действительны. Опуская звездочки

в (8.7.25), имеем:

T1 = Trke/ ′kepeke/ / / / / / ′p/ ′p .

Òàê êàê eμpμ = 0 è eμeμ = 1, получаем:

8.7. Комптоновское рассеяние	491

epe/ / / = −pee/ / / = −p/ ,

òàê ÷òî

T1 = -Trke/ ′kpke/ / / / ′p/ ′p .

Кроме того, kμkμ = 0 è
/	/	/	/ /	/	/				/
	/			/	+ 2k(p × k) = 2k(p × k) ,
kpk = -kkp					+ 2k(p × k) = 2k(p × k) ,
откуда
		1				′ /	′	/	′
		1	= -2(p × k)Trke/ ke/					/
		T	= -2(p × k)Trke/ ke/					p p .
С помощью формулы (8.А.6) получаем:
T1 = -8(p × k)[2(e′ × k)( e′ × p′) - (k × p′)] .
Удобно совершить подстановки:
e′ × p′ = e′ × (p + k - k′) = e′ × k,
k × p¢ = - 1 (p'-k)2 - 1 m2 = - 1 (p - k¢)2 - 1 m2 = p × k¢ .
2			2		2				2
òàê ÷òî
T1 = -16(p × k)(e¢ × k)2 + 8(p × k) (p × k¢) .										(8.7.33)

Аналогичное (хотя и более длинное) вычисление дает:

T2 = T3 = -8(e × k¢)2 (p × k) + 16(e × e¢)2 (p × k¢)(p × k) + 8(e × e¢)2 (k × k¢)m2

- 8(e × e¢)m2 (k × e¢)(k¢ × e) + 8(e¢ × k)2 (p × k¢)
- 4(k × p)2 + 4(k × k¢)(p × p¢) - 4(k × p¢)(p × k¢) ,					(8.7.34)
′	′	2	+ 8(p	′	(8.7.35)
T4 = 16(p × k )(e × k )			+ 8(p	× k)(p × k ) ,
	t1 = t4 = 0 ,				(8.7.36)
t2 = t3 = -8(e × e′)(k × e′)(k′ × e) + 8(k × k′)(e × e′)2 - 4(k × k′) .					(8.7.37)

492	Глава 8. Электродинамика

Собирая все эти слагаемые в формуле (8.7.24), получаем:

å	\| M\|2 =			e4			L	8(k × k¢)2
							M
		64(2p)	6	0	p¢	0	M	(k × p)(k¢ × p)
σ,σ′		64(2p)		ww¢p	p¢		N	(k × p)(k¢ × p)
σ,σ′

O

+ 32(e × e¢)2 P . (8.7.38)

Q

Это выражение верно в любой лоренцовской системе. В лабораторной системе имеем:

F	1		1 I
k × k¢ = ww¢(cos q - 1) = mww¢G		-		J ,

H w			w¢K

p × k = -mw , p × k¢ = -mw¢ .

Комбинируя формулы (8.7.38) и (8.7.17), приходим к следующему выражению для сечения в лабораторной системе:

1 åds(p, s + k, e ® p¢, s¢ + k¢, e¢) =

2 σ,σ′

	e4w¢2dW	L w		w¢	O	(8.7.39)
=		M	+		- 2 + 4(e × e¢)2 P .
	64p2m2w2			w
		N w¢			Q

Это знаменитая формула, полученная О. Клейном и Й. Нишиной в 1929 году (с помощью старой теории возмущений).

Как обсуждалось в разделе 8.6, если налетающий фотон не находится в состоянии с определенной поляризацией (как это обыч- но и бывает), следует усреднить по двум ортонормированным зна- чениям е. В результате такого усреднения имеем:

1	åeiej	=	1	(dij	$ $
2			2		- kikj ) ,

e

и соответственно дифференциальное сечение принимает вид:

1	åds(p, s + k, e ® p¢, s¢ + k¢, e¢) =	e4w¢2dW				L w	+	w¢
						M
4		64p	2m2	w	2			w
	e,σ,σ′					N w¢

$	2 O
- 2(k × e¢)	P .
	Q

(8.7.40)

(−ip/ + m)αβ

å uα (p, σ)uβ (p, σ) =