Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ãäå òîêè Jnμ являются либо внешними с-числовыми источниками,

либо зависят от других полей (в последнем случае в лагранжиан следует добавить вклад других полей). Простое обобщение результатов раздела 7.5 приводит к гамильтониану

В правую часть следует также добавить слагаемые от любых других полей, входящих в Jnμ . Коэффициент при квадратичном

слагаемом здесь несколько сложнее, чем в первом примере, и равен

но он не зависит от полей, так что множитель (Det А)−1/2 несущест-

вен. С другой стороны, лагранжиан (9.3.9) отличается от исходного: он выражается только через поля A и их производные по времени, но не содержит вовсе временных компонент A0 *. По этой причине лоренцовская инвариантность выражения (9.3.10) далеко не очевидна.

Чтобы исправить это положение, можно вновь ввести вспомогательное поле. Предположим, что мы добавили к гамильтониану слагаемое

DH = - 21 åm2n z d3xA0n - mn−2Ñ × Πn + mn−2J0n 2

n

* Это и неудивительно, поскольку мы имеем дело с теорией со связями (второго рода), и приведенный гамильтониан получен в результате разрешения этих связей, выражающих А0 через независимые поля А и сопряженные им канонические импульсы. — Прим. ред.

и проинтегрировали по An0, а также по Аn è Πn. Результатом этого

может быть только появление не зависящего от полей общего множителя, поскольку DH квадратично по А0 (с независящим от полей

коэффициентом в слагаемом второго порядка по А0) и его стационарное значение обращается в нуль. Однако предположим, что мы интегрируем по Πn до интегрирования по An0. Гамильтониан в фун-

кциональном интеграле (9.2.17) заменяется на

Он все еще квадратичен по Πn с не зависящим от поля

(и даже более простым) коэффициентом при квадратичном слагаемом, так что интеграл по всем Πn можно взять, просто заменив Πn на его значение в стационарной точке функционала ånòd3xΠ × A& n - H - DH:

Πn = A& n + ÑA0n .

Åñëè Πn исключить именно таким способом, то ånòd3xΠ × A& n - H - DH

есть в точности исходный лоренц-инвариантный лагранжиан.

Чтобы учесть возможную необходимость введения вспомогательных полей типа Аn0, будем с этого момента записывать формулу для функционального интеграла после исключения канонически сопряженных импульсов в терминах полей yl, включающих как ка-

нонические поля qn, так и вспомогательные поля cr:

VAC, out TlOA [YA (tA )],OB [YB(tB )], . . .q VAC, in

имея при этом в виду, что лагранжиан L может содержать слагаемые, возникающие от зависящих от полей множителей вида (Det А)−1/2.

9.4.Вывод фейнмановских правил

ñпомощью функциональных интегралов

Теперь мы готовы к тому, чтобы воспользоваться формализмом функциональных интегралов для вывода фейнмановских правил для широкого класса теорий. Нас будут интересовать средние по вакууму от хронологических произведений полевых операторов (и сопряженных им операторов)

из которых (как показано в разделе 6.4) можно получить матричные элементы S-матрицы, отбрасывая пропагаторы внешних линий, связанные с каждым из этих полей, заменяя их на коэффициентные функции, стоящие в качестве множителей перед операторами рождения и уничтожения в соответствующих выражениях для свободных полей, и суммируя по всем индексам этих коэффициентных функций.

Для простейших теорий, гамильтониан которых квадратичен по Π, находим с помощью формулы (9.3.11):

причем L включает теперь любые возможные слагаемые, возникающие от зависящего от поля детерминанта в формуле (9.3.10).

Предположим далее, что лагранжиан равен интегралу от плотности лагранжиана, содержащей квадратичное слагаемое L0,

а затем разлагая I1 по степеням полей. Интегралы, получающиеся в числителе и знаменателе формулы (9.4.2), имеют следующий общий вид:

где множители, содержащие поля ψl1 (x1)ψl2 (x2 ), и т. д. возникают из I1[ψ] и/или из полевых множителей ψlA (xA ) , изначально присутствующих в числителе (9.4.2). Если I0[ψ] имеет вид (9.4.8), инте-

грал (9.4.13) относится к тому же типу, что и интеграл, вычисленный в Приложении к данной главе, с той разницей, что дискретный индекс s заменен парой индексов l, x. Поэтому можно воспользоваться формулами (9.А.12) и (9.А.15), что дает

Это и есть ковариантные правила Фейнмана в координатном пространстве для вычисления числителя в формуле (9.4.2). Мы проводим разложение по взаимодействию I1, затем суммируем по всевозможным спариваниям полей в множителях I1 друг с другом и с полями ψl (xA ) и т. д., причем каждое спаривание дает вклад в виде интегралаAпо пространству−времени от произведения коэффициентных функций полей в I1[ψ] и произведения «пропагаторов» −i , ãäå

l1l2 (x1, x2 ) = (D−1)l1x1,l2x2 . (9.4.15)

(Множитель [Det(iD/2π)]−1/2 в формуле (9.4.14) представляет собой

вклад диаграмм с неограниченным числом одиночных петель, не связанных с другими линиями, но в любом случае этот множитель сокращается в отношении (9.4.2).)

Остается вычислить сами пропагаторы (9.4.15). Мы рассматриваем формулу (9.4.15) как интегральное уравнение