Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 573-577

524	Глава 9. Методы функционального интегрирования

H[Q, P] = 21 å

nm

+ å

z z

d3xd3yA		[Q]P (x)P (y)
	xn,ym	n	m
d3xB	[Q]P (x) + C[Q] ,		(9.3.1)
xn	n

n

где «матрица» А — действительная, симметричная, положительная и несингулярная.Тогда показатель в экспоненте в формуле (9.2.17) квадратичен по р:

X

R

U

|X

3

x

å

p

&

(x, t) − H

q(τ), p(τ)

|

Y dτSY d

(x, t)q

V

Y

|Z

n

|

Z

T

n

W

=− 1 å z d3xd3ydτdτ′Àτxn,τ′ym [q]pn (x, τ)pm (y, τ′)

2 nm

− å z d3xz dτ Bτxn [q]pn (x, τ) − C[q] ,

n

ãäå

Àτxn,τ′ym[q] ≡ Axn,ym[q(τ)]δ(τ − τ′) ,

Bτxn [q] ≡ Bxn [q(τ)] − q& n (x, τ) ,

C [q] ≡ z dτ C[q(τ)] .

(9.3.2)

(9.3.3)

(9.3.4)

(9.3.5)

В общем случае интеграл от экспоненты, в показателе которой стоит квадратичное выражение типа (9.3.2), пропорционален экспоненте, вычисленной в стационарной точке ее показателя. В случае конечного числа действительных переменных ξ s ýòà ôîð-

мула имеет вид

∞

X F

I

R

1

U

|

iå Àsr ξsξr

− iå Bsξs

|

Y GÕ dξs J expS−

− iCV

Y H

s

K

|

2

sr

s

|

Z

T

W

−∞

U (9.3.6)

−1/2

R

1

|

iå

− iå Bsξs

|

= cDet

iÀ 2π

h

expS−

Àsr ξsξr

− iCV ,

|

2 sr

s

|

T

W

δpn (x, τ)

9.3. Лагранжева форма функционального интеграла					525

ãäå		− стационарная точка,
ãäå	ξ	− стационарная точка,
				s = −å(À −1)sr Br .
			ξ	s = −å(À −1)sr Br .	(9.3.7)

r

(Доказательство формулы дано в Приложении к этой главе.) Следовательно, если OA, OB и т. д. в (9.2.17) не зависят от р,

можно вычислить функциональный интеграл по импульсам р в формуле (9.2.17) в случае такого гамильтониана, взяв эти переменные в стационарной точке квадратичного выражения в показателе экспоненты. Однако вариационная производная этого квадратичного выражения равна

δ

∞

τ

{

d

3

&

(

x

τ

)pn

(

x

τ

)

−

H

q(

τ

), p(

τ

+ ε −

слагаемые}

d

xqn

,

)

i

δpn (x, τ)

−∞z

z

δ

=

&

(

x

τ

)

−

H

τ

)

.

qn

,

δpn (x, τ)

q( ), p(

(Слагаемые с iε зависят только от переменных q.) Таким образом, стационарная «точка» pn (x, t), в которой эта производная обращает-

ся в нуль, есть просто значение pn(x,t), задаваемое канонической формулой

L δH q(τ), p(τ) q& n (x, τ) = M

N

O

P . (9.3.8)

Qp= p

Если положить pn(x,t) равным этому значению, показатель экспоненты в (9.2.17) превращается в обычный лагранжиан *

τ

& τ

≡

X

3

F

&

x

τ

x

τ

−

τ

L

q(

), q( )

Y d

x

G å

q

(

,

)

p

(

,

)

H

q(

),

p

(

)

Y

n

Z

H

n

и формулу (9.2.17) можно записать в виде

I

J , (9.3.9)

K

* Точнее, в лагранжево действие. — Прим. ред.

526

Глава 9. Методы функционального интегрирования

VAC,out

l

A

[Q(t

A

)],O

B

[Q(t

B

q

VAC, in

T O

)], . . .

=

X

Õdqn (x, τ)bDet

2iπÀ[q]

g

−1/2

OA [q(tA )],OB

[q(tB )], . . .

| N |2 Y

Z

τ,x,n

L

∞

O

×

M

z

τ

&

τ

+ ε

P

(9.3.10)

expMi

d kL[q(

), q(

)]

i

- слагаемыеpP .

N −∞

Q

(Мы объединили множители 1/2π в интегралах по р с детерминан-

том из формулы (9.3.6).) Это и есть желаемая лагранжева форма функционального интеграла.

При выводе (9.3.10) было необходимо предположить, что операторы OA, OB, ... не зависят от канонических «импульсов». Это условие не такое жесткое, как может показаться. Например, в скалярной теории поля, в которой канонически сопряженный полю Φ импульс есть Π = Φ& , возможно вычислить матричный элемент хронологиче-

ски упорядоченного произведения операторов, один из которых есть Φ& (t) , взяв разность матричных элементов, в которых этот оператор заменен на Φ(τ + dτ) è Φ(τ), поделив ее на dτ и взяв предел dτ → 0.

Эквивалентно,1до тех пор, пока t не совпадает ни с одним из остальных временных аргументов оператора в формуле (9.3.10), можно просто дифференцировать (9.3.10) по времени t.

Единственное оставшееся серьезное осложнение в формуле (9.3.10) связано с детерминантом А [q]. Если А [q] не зависит от полей, то не возникает никаких проблем. Мы уже отмечали, что общие константы не дают вклада в связные части ваккумных средних, так как при их вычислении производится деление на амплитуду перехода вакуум−вакуум, пропорциональную той же константе.

Именно так обстоит дело в теории нескольких взаимодействующих друг с другом скалярных полей Φn без производных и/или взаимо-

действующих с производными, но с внешними токами Jn. Плотность лагранжиана в этом случае имеет вид:


	L				λ	O
L = −å M		1	∂λ Φn∂λ Φn	+ Jn		∂λ Φn P	− V(Φ) .
L = −å M		2	∂λ Φn∂λ Φn	+ Jn		∂λ Φn P	− V(Φ) .
n	N					Q

Очевидное обобщение результатов раздела 7.5, касающихся взаимодействия с производными одного скалярного поля, на случай

9.3. Лагранжева форма функционального интеграла	527

нескольких скалярных полей приводит к гамильтониану

X		L
H = Y d3xå M			1	P2n + 21 (ÑFn )2
H = Y d3xå M			2	P2n + 21 (ÑFn )2
Z	n	N
					1		O	X
+ Jn	× ÑFn			+ Jn0Pn +	1	(Jn	0 )2 P	+ Y d3xV(F) .
+ Jn	× ÑFn			+ Jn0Pn +	2	(Jn	0 )2 P	+ Y d3xV(F) .
							Q	Z

(Здесь скалярные поля Fn выбраны действительными скалярами,

однако можно включить в рассмотрение и комплексные скалярные поля, разделив их на действительную и мнимую части.) В общем случае возникает нетривиальное слагаемое, линейное по Pn, íî êî-

эффициент в квадратичном слагаемом есть константа, равная просто единичной «матрице»

Àxn,x′n′ = d4 (x - x¢)dnn′ .

В данном случае множитель cDet 2ipA [q] h−1/2 â (9.3.10) åñòü

независящая от полей константа, не влияющая на результаты. Однако не всегда все так просто. В качестве второго примера рас-

смотрим так называемую нелинейную s-модель, лагранжиан которой

L = - 21 å¶λ Fn¶λ Fm dnm + Unm(F) - V(F) .

nm

Прямое вычисление приводит к гамильтониану

X	3	L	1	−1		1			O
H = Y d		xM		Pn a1 + U(F)fnm Pm	+		ÑFn	× ÑFma1 + U(F)fnm	+ V(F)P .
H = Y d		xM	2	Pn a1 + U(F)fnm Pm	+	2	ÑFn	× ÑFma1 + U(F)fnm	+ V(F)P .
Z		N							Q

Здесь А - зависящая от полей величина

Ànx,my = 1 + U(F(x)) −nm1 d4 (x - y) .

В подобных случаях детерминант может быть записан в виде вклада в эффективный лагранжиан, если воспользоваться соотношением Det А = exp Tr lnА. Заменяя пространственно-временной континуум дискретной решеткой точек посередине отдельных про- странственно-временных областей очень малого объема W, можно

интерпретировать дельта-функцию в Аnx,my следующим образом: d4(x - y) = W−1dx,y, òàê ÷òî

528	Глава 9. Методы функционального интегрирования

(lnÀ)nx,my = dx,y ln(1 + U(F(x))) - 1 × ln Wnm ,

где логарифм матрицы определяется своим разложением в ряд

	U2		U3
ln(1 + U) = U -		+		- . . .
	2		3

Чтобы вычислить след, заметим, что åx ... = W−1òd4x ... . Тогда

детерминант равен

DetÀ µ exp -W−1 z d4x tr ln 1 + U(F(x)) ,

где символ «tr» означает след в обычном матричном смысле. Коэффициент пропорциональности (возникающий из слагаемого -ln W) íå

зависит от поля и поэтому не представляет интереса.

Можно рассматривать этот детерминант как поправку к эффективному лагранжиану

DL = - 21 iW−1tr ln1 + U(F(x)) .

Множитель W−1 можно представить в виде ультрафиолетово

расходящегося интеграла

W−1 = d4 (x - x) = (2p)−4 z d4p × 1 .

Мы не будем этого показывать, но дополнительные слагаемые в фейнмановских диаграммах для такой теории, связанные с поправкой DL, можно вывести и в рамках канонического формализма, учи-

тывая слагаемые от одновременных коммутаторов в пропагаторе производных по времени скалярного поля 7. Пренебрежение этой поправкой приводит к ложной зависимости S-матрицы от способа определения скалярного поля, и, кроме того, несовместимо с любой симметрией лагранжиана относительно преобразований скалярного поля.

Даже в случае, когда множитель (Det А)−1/2 в формуле (9.3.10)

для функционального интеграла не зависит от полей, лагранжиан в этой формуле может отличаться исходного. Например, рассмотрим теорию нескольких действительных векторных полей с плотностью лагранжиана

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: