Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

В отсутствие внешних полей в силу трансляционной инвариантности величина D с необходимостью есть функция только разности x1 − x2 и может быть записана в виде интеграла Фурье:

Решение уравнения (9.4.16) имеет тогда вид

ãäå D–1 — матрица, обратная к матрице D. Как будет показано, iε-

слагаемые приводят к тому, что такая обратная матрица хорошо определена для всех действительных значений р. Таким образом, задача вычисления пропагатора сведена к обращению конечномерной матрицы.

Рассмотрим сначала массивное скалярное поле. В этом случае D имеет вид (9.4.11). Можно записать его в виде интеграла Фурье

Dx,y = (2π)-4 z d4p eip×(x- y) cp2 + m2 − iεE(p)h ,

так что пропагатор равен

x,y = (2π)-4 z d4p eip×(x- y) cp2 + m2 − iεE(p)h−1 .

Видно, что это выражение совпадает со скалярным пропагатором, полученным ранее операторными методами. (Разница между ε è εE(p) несущественна, так как обе величины положитель-

ны и бесконечно малы.)

В качестве второго примера рассмотрим действительное массивное векторное поле. Невозмущенный лагранжиан равен

Вновь можно записать I0[ψ] в форме (9.4.8) с ядром

= (2π)-4 z d4p eip×(x- y) [ηrsp2 − prps + m2ηrs + iε − слагаемые] .

Мы не будем тратить здесь время на то, чтобы показывать, что «+iε-слагаемые» принимают простой вид −iεE(p)ηρσ. Тогда про-

пагатор векторного поля получается простым обращением матрицы 4×4 в последнем подинтегральном выражении:

(Слагаемые, пропорциональные ε, в числителе опущены. Они важны в

знаменателе, так как определяют, как следует рассматривать подынтегральное выражение вблизи массовой оболочки p2 = − m2.) Приве-

денное выражение совпадает с полученным операторными методами, если не считать того, что отсутствуют нековарантные слагаемые, пропорциональные δ(x0 − y0). Ранее эти нековариантные слагаемые были

нужны для того, чтобы сократить нековариантные добавки в гамильтониане взаимодействия. Теперь же вклады вершин в фейнмановских правилах получаются непосредственно из ковариантного лагранжиана, так что никакого сокращения не требуется.

Столь же просто рассматриваются теории с взаимодействием с производными. Множитель, возникающий от спаривания производной поля ∂μψl(x) с любым другим полем ψm(y) (которое само мо-

жет быть производной), имеет вид

У таких пропагаторов отсутствуют нековариантные части. Например, для действительного скалярного поля спаривание ∂μϕ ñ ∂νϕ приводит в результате к пропагатору в импульсном представлении kμkν/(k2 + m2 − iε). Кроме того, как мы видели в преды-

дущем разделе, вершины в теории скалярного поля, взаимодействие которого с другими полями содержит производные, можно непосредственно извлечь из лагранжиана, причем они по отдельности ковариантны.

9.5. Функциональные интегралы для фермионов

Займемся теперь обобщением формализма функциональных интегралов на теории, содержащие как бозоны, так и фермионы. В принципе, нетрудно действовать чисто формально по аналогии с бозонным случаем, и затем убедиться, что получились «правильные» фейнмановские правила. Мы предпочитаем вывести формализм функциональных интегралов для фермионов непосредственно из принципов квантовой механики, как это уже было сделано для бозонов 9.

Начнем с рассмотрения произвольной квантово-механической системы, описываемой «координатами» Qa и канонически сопряженными «импульсами» Pa, которые теперь удовлетворяют не коммутационным, а антикоммутационным соотношениям

(Эти операторы берутся в шредингеровском представлении, или, иначе говоря, в гейзенберговском представлении в момент времени t = 0.) Позднее мы заменим дискретный индекс a на пространственную координату x и полевой индекс m.

Прежде всего, построим полный базис состояний, на которые действуют операторы Q и P. Заметим, что при любом заданном a

Однако, существуют фермионные операторы (например, поля «духов», которые мы введем в т. II), для которых Pa никак не связаны с сопряженными к Qa операторами. В последующем нам не потребуются никакие особые предположения об операторах, сопряженных к Qa èëè Pa, а также о связи между á0| è |0ñ.

Полный базис в пространстве состояний этой системы состоит из |0ñ и (антисимметричных по a, b, ...) состояний

с любым числом различных Р, действующих на |0ñ. Это означает,

что результат действия на эти состояния любой операторной функции P и Q можно записать как линейную комбинацию того же набора состояний. В частности, если индекс a не совпадает ни с одним из индексов в |b, c, ...ñ, òî

С другой стороны, если a равно одному из индексов в последовательности b, c, ..., то всегда можно переписать это состояние (возможно, изменив его знак) так, что a станет первым из этих индексов, и тогда имеем:

Аналогично можно определить полный дуальный базис, состоящий из á0 | и (антисимметричных по индексам) состояний

Используя соотношения (9.5.4)−(9.5.6) и антикоммутационные соот-

ношения (9.5.1), видим, что скалярные произведения этих состояний равны