Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

554	Глава 9. Методы функционального интегрирования

Знаковый множитель и сумма по спариваниям совпадают с теми, котрые были получены ранее при выводе фейнмановских правил, причем сумма по спариваниям соответствует сумме по способам соединения линий, выходящих из вершин в диаграммах Фейнмана, а множители (D–1)mx,ny играют роль пропагаторов при спаривании qm(x) ñ pn(y). В дираковском формализме для частиц спина 1/2 действие свободных частиц имеет вид

X∞

Z-¥

	R								τ &
τ	\|X	3	x	å	p		(	x	τ &
d	SY d		x		p	m	(	,	)q
	\|Z					m
	T			m

τ − τ τ | m (x, ) H0 q( ), p( ) V

X	(9.5.55)
X
= − Y d4x ψ(x)[γ m∂m + m]ψ(x) ,
Z

в данном случае канонические переменные в обычных обозначениях имеют следующий вид:

q	m	(x) = ψ	m	(x) , p	m	(x) = −[ψ(x)γ 0	]	m	= iψ†	(x) ,	(9.5.56)
	m		m		m			m	m

ãäå m − дираковский индекс, принимающий четыре значения. Срав-

нивая эти выражения с формулой (9.5.50), получаем

0 F

∂

I O

Dmx,ny =

Mγ

+ m − iεJ P

− y)

∂x

K Qmn

X d4k

γ 0 [iγ mk

+ m − iε]

eik×(x- y) .

(9.5.57)

4 d

(2π)

imn

(Хотя мы и опускаем детали, но слагаемое с iε возникает здесь во

многом аналогично случаю скалярного поля в разделе 9.2.) Тогда пропагатор имеет вид

(D	-1)		=	X d4k			[iγ mk		+ m − iε]-1[−γ 0 ]	eik×(x- y) .
				Y				m			(9.5.58)
		mx,ny			(2π)	4 d			imn
				Z

совпадающий с тем, что был найден в рамках операторного формализма. Дополнительный множитель −γ 0 возникает за счет того,

что этот пропагатор представляет собой вакуумное среднее от

Tnψm(x),−[ψ(y)γ 0 ]ns , à íå îò Tlψm(x), ψ n (y)q.

Чтобы привести хотя бы один пример того, что функциональный метод иногда быстрее приводит к решению задачи, чем операторный метод, вычислим зависимость от поля амплитуды перехода вакуум→вакуум в случае дираковского поля, взаимодействующего

только с внешним полем. Возьмем лагранжиан в виде

L = −ψ[γ μ∂μ + m + Γ]ψ ,

(9.5.59)

ãäå Γ(x) − зависящая от x матрица, описывающая взаимодействие

фермиона с внешним полем. Согласно формуле (9.5.49), амплитуда вероятности того, что вакуум останется вакуумом в присутствии этого внешнего поля, есть

	X L	∏ dqm	OL	∏ dpm	O
VAC, out	VAC, in Γ Y M		(x, τ)PM		(x, τ)P

	Y M		PM		P
	Z Nτ,x,m		QNτ,x,m		Q

R	X		U	(9.5.60)
× expS−i Y		d4x pTγ 0	[γ μ∂μ + m + Γ − iε] qV ,
T	Z		W

где коэффициент пропорциональности не зависит от Γ(x). Запишем

эту амплитуду в виде

X L

VAC, out

VAC, in

Y M

(x,

τ)PM

(x,

Y M Õ

Z Nτ,x,m

QNτ,x,m

× expS−iå Y

d4xd4ypm (x)qn (y)K[Γ]mx,ny V ,

mn Z

τ)P

(9.5.61)

ãäå

	F		L		μ ∂			OI
K[Γ]mx, ny	= G	γ 0	M	γ				+ m + Γ(x) − iεPJ
K[Γ]mx, ny	= G	γ 0	M	γ		∂x	μ	+ m + Γ(x) − iεPJ
	H		N			∂x		QK

δ4 (x − y) . (9.5.62)

Чтобы вычислить последнее выражение, заменим переменные интегрирования qn(x) íà

q′ (x) ≡		X	d4 yK[Γ]	mx, ny	q	n	(y) .	(9.5.63)
m	å Y			mx, ny		n		(9.5.63)
	n	Z

556	Глава 9. Методы функционального интегрирования

Получившийся интеграл не зависит от Γ, так что вся зависимость от Γ амплитуды вероятности вакууму остаться вакуумом со-

держится в детерминанте, возникающем от замены переменных согласно формуле (9.5.38):

VAC, out	VAC, in Γ Det K[Γ].	(9.5.64)

Чтобы воспроизвести результаты теории возмущений, представим K(Γ) â âèäå

K[Γ] ≡ D + G[Γ] ,		(9.5.65)
G[Γ]mx,ny	= cγ 0Γ(x)h δ4 (x − y) ,	(9.5.66)
	mn

и разложим правую часть формулы (9.5.64) в ряд по степеням G [Γ]:

VAC, out	VAC, in Γ Det cD[1 + D−1G[Γ]]h


	F	∞		−	n+1		I
= [DetD] expG		å	(		1)	Tr (D	−1G[Γ])n J .	(9.5.67)
= [DetD] expG		å			n	Tr (D	−1G[Γ])n J .	(9.5.67)
	H n=1						K

Это именно то, что следовало ожидать согласно фейнмановским правилам: вклады от внутренних линий и вершин в этой теории равны −iD–1 è −iG [Γ]; след от произведения n множителей −D– 1G [Γ] соответствует петле с n вершинами, соединенными n внутренними линиями; 1/n − обычный комбинаторный множитель, свя-

занный с такими петлями (см раздел 6.1); знаковый мнижитель равен (−1)n+1, à íå (−1)n, так как дополнительный знак «минус» связан

с фермионными петлями; наконец, сумма по n в показателе экспоненты возникает потому, что в амплитуду вероятности вакууму остаться вакуумом вносят вклад диаграммы с любым числом несвязных петель. Не зависящий от Γ множитель Det D менее удобно

выводить из фейнмановских правил; он представляет собой вклад произвольного числа фермионных петель без вершин.

Добавим, что формула типа (9.5.64) позволит получить непертурбативные результаты, используя топологические теоремы о собственных значениях ядер типа K [Γ]. Подробнее этот вопрос будет

рассмотрен в т. II.

9.6. Функциональная формулировка КЭД	557

9.6.Функциональная формулировка квантовой электродинамики

Преимущества функционального подхода к квантовой теории поля раскрываются в полной мере при его применении к калибровочным теориям безмассовых частиц спина единица, подобных квантовой электродинамике. Проделанный в предыдущей главе вывод фейнмановских правил для квантовой электродинамики содержал немало аргументов на уровне «размахивания руками» при доказательстве того, что слагаемые в фотонном пропагаторе Dμν(q), пропорциональные qμ èëè qν, могут быть отброшены, а чисто вре-

мениподобные слагаемые в точности сокращают кулоновское слагаемое в гамильтониане, так что эффективный фотонный пропагатор можно взять в виде hμν/q2. Чтобы дать строгое обоснование

этого результата методами гл. 8, нам потребовался бы сложный анализ фейнмановских диаграмм. Однако, как мы сейчас покажем, функциональный подход приводит к желаемой форме фотонного пропагатора автоматически, без какого-либо обращения к деталям поведения фейнмановских диаграмм.

В главе 8 было показано, что в кулоновской калибровке гамильтониан взаимодействия фотонов с заряженными частицами имеет вид

	X	L			1	(Ñ ´ A)2	O
H[A, Π , . . . ] = HM	+ Y d3xM21		Π 2	+	1		- A × JP	+ VÊóë	. (9.6.1)
H[A, Π , . . . ] = HM	+ Y d3xM21		Π 2	+	2		- A × JP	+ VÊóë	. (9.6.1)
	Z	N					Q

Здесь А — векторный потенциал, подчиняющийся условию кулоновской калибровки

Ñ × À = 0,

(9.6.2)

à Π — вихревая часть отвечающего ему канонического импульса,

удовлетворяющая такому же ограничению

Ñ ´ Π = 0 .

(9.6.3)

Кроме того, НÌ — гамильтониан материи *, а VÊóë — кулоновская энергия

* Материей принято называть все поля, не являющиеся калибровочными полями. Последние являются «переносчиками взаимодействия. — Прим. ред.

558	Глава 9. Методы функционального интегрирования
	VÊóë (t) =	1	X	3 3	J0 (x, t)J0 (y, t)	.
			Y d xd y				(9. 6. 4)
		2	Y d xd y		4p\| x - y\|		(9. 6. 4)
			Z		4p\| x - y\|

Как и для любой другой гамильтоновой системы, средние по вакууму от хронологически упорядоченных произведений операторов можно вычислять как функциональные интегралы *:

X L

TlOAOB . . .q

= Y M∏ dai

(x)∏ dpi (x)∏ dyl (x)P OAOB . . .

VAC

Y M

Z N x,i

x,i

x,l

R X

´ expSi Y

x Mπ × a& −

(Ñ × a)

+ a × J + LM P

- i Y

d t VÊóë V

T Z

L		O L		O
´M∏ daÑ × a(x)fP M∏ daÑ × π(x)fP ,					(9. 6. 5)
M	x	P M	x	P
N		Q N		Q

ãäå yl(x) — исходные поля материи. При записи формулы (9.6.5) в

термионах плотности лагранжиана материи мы предполагаем, что НÌ — локальный оператор, либо линейный по каноническим импульсам материи (как в спинорной электродинамике), либо квадратичный по ним с независящими от полей коэффициентами (как в скалярной электродинамике). В формулу (9.6.5) включены дельтафункции **, чтобы учесть связи (9.6.2) и (9.6.3).

* Заметим, что π(x) есть интерполирующее с-числовое поле для квантового оператора Π , коммутационные соотношения компонент которого друг с другом и с А те же, что и для Π, но в отличие от Π, этот оператор комму-

тирует со всеми каноническими переменными материи.

** Это не безупречно строгое утверждение. Если принять за канонические переменные a1, a2 è π1, π2, и рассматривать a3 è π3 как функционалы от этих

переменных, определяемые уравнениями (9.6.2) и (9.6.3), то следует вставить дельта-функцию

∏ δca3 (x) + ∂3−1a∂1a1(x) + ∂2a2 (x)fhδcπ3 (x) + ∂3−1a∂1π1(x) + ∂2 π2 (x)fh .

Однако она отличается от произведения дельта-функций в формуле (9.6.5) лишь на множитель Det ∂32, который, хотя и бесконечен, но не зависит от

полей и поэтому сокращается в отношениях типа (9.4.1).

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280974

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)