Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

544	Глава 9. Методы функционального интегрирования

множителей, мы взяли произведение дифференциалов в (9.5.29) в порядке, противоположном произведению переменных в (9.5.28).) Действительно, можно было бы сначала определить интеграл по единственному антикоммутирующему с-числу ξ1, а затем обычным спо-

собом определить кратные интегралы путем итерации. Наиболее общая функция антикоммутирующих с-чисел линейна по любому из них:

f(ξ1, ξ2 , . . . ) = b(ξ2 . . . ) + ξ1c(ξ2 . . . )

(òàê êàê ξ12 = 0), и ее интеграл по ξ1 определяется как

z dξ1 f(ξ1, ξ2 , . . . ) = c(ξ2 , . . . ) .

Повторение этого процесса приводит к кратному интегралу, совпадающему с интегралом, определенным формулами (9.5.28) и (9.5.29).

Так определенный интеграл обладает еще рядом свойств, аналогичных свойствам многократных интегралов (от − ∞ äî + ∞) ïî

обычным действительным переменным. Однако есть и существенные отличия.

Очевидно, что интегрирование по Березину линейно в том смысле, что

X F	f	I
Y	∏ dξn	J
Y G		J
Z H	n	K

и, кроме того,

X F	f	I	X F	f	I
[ f(ξ) + g(ξ)] = Y	∏ dξn	J	f(ξ) + Y	∏ dξn	J	g(ξ) ,	(9.5.31)
Y G		J	Y G		J
Z H	n	K	Z H	n	K

X F	f	I
Y	∏ dξn	J
Y G		J
Z H	n	K

[ f(ξ)a(ξ′)] = MY

F	f	I
G	∏ dξn J
H	n	K

f(ξ)Pa(ξ′) , (9.5.32)

ãäå a(ξ′) — любая функция (в том числе, константа) от любых антикоммутирующих с-чисел ξ′m, по которым не производится интегри-

рование. Однако линейность по отношению к левому умножению не столь очевидна. Поскольку предполагается, что ξ′m антикоммутриует со всеми ξn, то при интегрировании по ν переменным имеем

9.5. Функциональные интегралы для фермионов	545

ac(−)	ν ξ′hF	∏ ξn I		=
	G		J
	H	n	K

F		I
G	∏ ξn J a(ξ′) ,
H	n	K

òàê ÷òî

X F	∏ dξn	I	ac(−)	ν ξ′hf(ξ)
Y	∏ dξn		ac(−)	ν ξ′hf(ξ)
Y G		J
Z H	n	K

X F	∏ dξn	I
= a(ξ′)Y	∏ dξn	J	f(ξ) .	(9.5.33)
Y G		J		(9.5.33)
Z H	n	K

Поэтому очень удобно (хотя, строго говоря, и не обязательно) считать, что дифференциалы dξn антикоммутируют со всеми антикоммутирующими переменными (включая ξn):

(dξn )ξ′m + ξ′m(dξn ) = 0 ,

В этом случае (9.5.33) принимает более простой вид

X	F	∏ dξn	I	X F	∏ dξn	I
Y a(ξ′)		∏ dξn	J	f(ξ) = a(ξ′)Y	∏ dξn	J	f(ξ) .
Y	G		J	Y G		J
Z	H	n	K	Z H	n	K

(9.5.34)

(9.5.35)

Другое сходство с обычным интегрированием заключается в

том, что для произвольного антикоммутриующего зависящего от ξ, выполнено равенство

X F	∏ dξn	I	X F	∏ dξn	I
Y	∏ dξn	J	f(ξ + ξ′) = Y	∏ dξn	J	f(ξ) ,
Y G		J	Y G		J
Z H	n	K	Z H	n	K

с-числа ξ′, íå

(9.5.36)

так как сдвиг ξ на константу влияет только на слагаемые в f с числом переменных ξ, меньшим, чем их полное число.

С другой стороны, рассмотрим замену переменных

ξn → ξ′n = å Snmξm ,	(9.5.37)
m

где S — произвольная несингулярная матрица из обычных чисел. Произведение новых переменных равно

546 Глава 9. Методы функционального интегрирования

Õx¢n = å	F	Õ Snmn xmn	I
Õx¢n = å	G	Õ Snmn xmn	J .
n m1m2 ...	H	n	K

Однако ∏n xmn совпадает с произведением ∏n xn (взятым в

первоначальном порядке), если не считать знакового множителя e[m], равного +1 или -1 в зависимости от того, является ли перестановка n ® mn четной или нечетной перестановкой первоначаль-

ного порядка множителей:

Õx¢n	L	å	F	Õ Snmn	I	O
Õx¢n	= M	å	G	Õ Snmn	J e[m]PÕxn = (Det S ) Õxn .
	M		H		K	P
n	Nm1m2 ...		H	n	K	Q n	n

Эта формула применима при любом порядке следования xn, если только мы возьмем x¢n в том же порядке. Отсюда следует, что коэффициент при произведении Õnx¢n в разложении любой функции f(x) ïî x¢ равен в точности коэффициенту при произведении Õnxn,

умноженному на (Det S )–1. Мы записываем это утверждение как

X F	f	dx¢n	I	f = (Det S )	X F	f	dxn	I
Y	Õ	dx¢n	J	f = (Det S )	−1Y	Õ	dxn	J	f .	(9.5.38)
Y G	Õ		J		Y G	Õ		J
Z H	n		K		Z H	n		K

Это обычное правило замены переменных интегрирования, за исключением того, что (Det S ) входит в степени −1, а не +1. Далее мы

используем правило (9.5.38) и свойства линейности (9.5.31), (9.5.32) и (9.5.35) для вычисления интегралов, встречающихся при выводе фейнмановских правил для теорий с фермионами.

Используя это определение интегрирования, можно записать условие полноты как формулу для интеграла по собственным зна- чениям. Как уже отмечалось, любое состояние |fñ можно разложить в ряд по состояниям |0ñ, |añ, |a,bñ, и т. д., а сами эти состояния равны

(с точностью до фазы) коэффициентам при произведениях 1, qa, qaqb, и т. д. в разложении собственного состояняи |qñ операторов Q.

Согласно определению интегрирования, можно извлечь коэффициент при любом произведении qbqcqd... в разложении состояния |qñ, интегрируя произведение |qñ со всеми qa, где a не равно b, c, d, ...

Таким образом, выбирая функцию f(q) как подходящую сумму

9.5. Функциональные интегралы для фермионов	547

таких произведений разных q, можно записать любое состояние |fñ

в виде интеграла

	X F	f	I
f	= Y	∏ dq	a J
	Y G		a J
	Z H	a	K

q f(q) = Y q

F	f	I
G	∏ dqa J f(q) .		(9.5.39)
H	a	K

(Можно переставить |qñ налево от дифференциалов без всяких из-

менений знаков, поскольку в показателе экспоненты в формуле (9.5.17), определяющей |qñ, содержится только четное число ферми-

онных переменных.) Чтобы найти функцию f(q) для заданного вектора состояния |fñ, возьмем скалярное произведение вектора (9.5.39) с некоторым бра-вектором áq′| (ãäå q ′ — любое фиксированное соб-

ственное значение операторов Q). В соответствии с формулами (9.5.35) и (9.5.20) оно равно

		X	F			I F	f	I
q¢	f	= Y		∏(q		- q¢ )	∏ dq		f(q) .
q¢	f	= Y		∏(q		- q¢ )	∏ dq		f(q) .
		Y	G		a	a J G		b J
		Z	H a			K H	b	K

Переставляя каждый множитель (qa - q′a) направо от каждого дифференциала dqb, получаем знаковый множитель (-)N2 º (−)N, ãäå

теперь N равно полному числу переменных qa, òàê ÷òî

		X F	f	I F
q¢	f	= (-)N Y	∏ dq		∏
q¢	f	= (-)N Y	∏ dq		∏
		Y G		b J G
		Z H	b	K H a

(qa - qa¢ )JK f(q) .

Можно переписать функцию f(q) как f(q′ +(q − q′)) и разложить ее по степеням q - q′. Все слагаемые, кроме слагаемого низше-

го порядка, обращаются в нуль при умножении на произведение Õ(qa − q′a), è

F	∏(q			I	F	∏(q			I
G		a	- q¢ ) f(q) =		G		a	- q¢ ) f(q¢) ,		(9.5.40)
			a	J				a	J
H a				K	H a				K

что частично подтверждает наше предыдущее замечание, что для интегралов по q выражение (9.5.20) играет роль дельта-функции.

548	Глава 9. Методы функционального интегрирования
С помощью (9.5.32) имеем
	LX		F	f	I F			I	O
q¢	f = (-)N M	Y		∏ dq		∏(q		- q¢ ) f(q¢)P .
q¢	f = (-)N M			∏ dq		∏(q		- q¢ ) f(q¢)P .
			G		b J G		a	a J	P
	MY		H	b	K H	a		K	P
	NZ			b		a			Q

Коэффициент при слагаемом в подынтегральном выражении, пропорциональном Õqa, равен f(q′), так что в согласии с нашим определением интегрирования áq′|fñ = (−)Nf(q′). Вновь подставляя это

выражение в формулу (9.5.39), получаем соотношение полноты в виде

	X		F	f	I
f	= (-)N Y	q	G	∏ dq	b J	q	f ,
f	= (-)N Y	q		∏ dq		q	f ,
	Y
	Z		H	b	K

или в виде операторного равенства

	X		F	f	I
1	= Y	q	G	∏ -dq	a J	q	.
1	= Y	q		∏ -dq		q	.
	Y
	Z		H	a	K

Точно тем же способом можно показать, что

	X		F	f	I
1	= Y	p	G	∏ dpa	J	p	.
1	= Y	p		∏ dpa		p	.
	Y
	Z		H	a	K

(9.5.41)

(9.5.42)

Наконец-то мы можем вычислить матричные элементы переходов. Как и ранее, определяем зависящие от времени операторы

Qa (t) ≡ exp(iHt)Qa exp(−iHt) ,

(9.5.43)

Pa (t) ≡ exp(iHt)Pa exp(−iHt) ,

(9.5.44)

и их правые и левые собственные состояния

q; t

≡ exp(iHt)

q ,

p; t

≡ exp(iHt)

p ,

(9.5.45)

≡ q

exp(−iHt) ,

≡ p

exp(−iHt) .

(9.5.46)

q; t

p; t

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280974

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)