Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 601-605

9.5. Функциональные интегралы для фермионов	549

Скалярное произведение собственных q-состояний, определенных в бесконечно близкие моменты времени, равно

q′; τ + dτ q; τ = q′ exp(−iHdτ) q .

Вставим теперь единицу в форме (9.5.42) слева от оператора exp(−iHdt). Удобно представить гамильтониан H(P,Q) в форме, ког-

да все операторы Р стоят слева от всех операторов Q, так что для бесконечно малых dt

p exp(−iH(P,Q)dτ) q = p q exp(−iH(p, q)dτ).

(Предполагается, что каждое слагаемое в гамильтониане содержит четное число фермионных операторов, и поэтому можно ставить с-число H(p,q) с любой стороны матричного элемента без какого-либо изменения знака.) Имеем

q¢; t + dt	X	¢
q¢; t + dt	q; t = Y q	¢
	Y
	Z
	X
	= Y q¢
	Y
	Z

F	f	I
p G	Õdpa J p		exp(-iHdt)	q
p G	Õdpa J p		exp(-iHdt)	q
H	a	K

F	f	I
p G	Õdpa J p		q exp(-iH(p, q)dt) .

H	a	K

Пользуясь формулами (9.5.26) и (9.5.27) и замечая, что произведения paqa è paq′a коммутируют со всеми антикоммутирующими

с-числами, находим

q¢; t + dt

q; t =

X F

f

I expLi

(q¢

- q

) - iH(p,

Õ

idp

å

p

Y G

a J

M

a

Y H

a

K

M

a

Z

N

O

q)dtP .(9.5.47)

PQ

Дальнейший вывод производится по той же схеме, что и в разделе 9.1. Для вычисления матричного элемента

áq; t′|OA(P(tA),Q(tA))OB(P(tB),Q(tB))...|q; tñ

от произведения операторов (где t′ > tA > tB > ... > t), разделим временной интервал от t до t′ на большое число очень малых шагов

550	Глава 9. Методы функционального интегрирования

по времени; на каждом шаге используем соотношение полноты (9.5.41); используем формулу (9.5.47), чтобы вычислить получившиеся матричные элементы (где это необходимо, вставляя OA, OB и т. п.); передвинем все дифференциалы налево (это не вносит дополнительных знаков, поскольку на каждом шаге имеется одинаковое количество дифференциалов dp и dq); введем функции qa(t) è pa(t), интерполирующие на каждом шаге значения qa è pa. В результате находим

′

l

A b

A

g

B b

B

B g

q

q ; t

T O

P(t

), Q(t

) , O

P(t

), Q(t

) , . . .

q; t

= (−)N χ

X

F

f

I

N

Y

GÕ

dq

a

(τ)dp (τ)

Y

a

J

(t) =q

Z

(t′)

=q′

H

a

K

q

a

,q

a

× OA bp(tA ), q(tA )g, OB bp(tB), q(tB)g, . . .

L

t′

R

U

O

(9.5.48)

M

X

×

τ

|

pa (

τ

&

(

τ

)

−

Hap(

τ

), q(

τ

|P

expMiY d

S

)qa

)fVP .

M

Y

|å

|

Z

T

a

WP

N

t

Q

Здесь символ Т означает обычное произведение, если моменты времени расположены в первоначально предполагавшемся порядке: tA > tB > ... Однако правая часть равенства полностью симметрична по OA, OB, ... (если не считать отрицательных знаков, возникающих при перестановке антикоммутирующих с-чисел), так что приведенная формула выполняется в произвольные моменты времени (между t и t′), при условии, что Т понимается как операция

хронологического упорядочивания с возможным общим отрицательным знаком, если при таком упорядочивании приходится совершать нечетное число перестановок фермионных операторов.

До этого момента мы удерживали общий фазовый множитель (−i)NχN. Однако в действительности эти фазы дают вклад только в амп-

литуды переходов вакуум-вакуум и не представляют для нас интереса. Переход к квантовой теории поля производится по той же схеме, как и для бозонных полей (см. раздел 9.2). Среднее по вакууму от хронологически упорядоченного произведения операторов

дается формулой, похожей на (9.2.17):

9.5. Функциональные интегралы для фермионов	551

VAC, out

T

O

A b

P(t

A

), Q(t

) ,O

B b

P(t

B

), Q(t

) , . . .

VAC,

in

l

A g

B

g

q

X L

O L

O

µ Y

M Õdqm

(x, t)P M

Õdpm (x, t)P OA

p(tA), q(tA)

Y

M

P M

P

Z Nτ,x,m

Q Nτ,x,m

Q

L

X∞

R

´

O

p(t

), q(t

)

M

iY

|X

3

x

å

p

(

x

&

(

x

, t)

. . . exp

dtSY d

, t)q

B

M

Y

Z

m

(9.5.49)

N Z−∞

|

T

m

-H

q(t), p(t)

UO

+ ie - слагаемыеVP .

WQ

где коэффициент пропорциональности одинаков для всех операторов OA, OB, è ò. ä., à ie-слагаемые возникают из волновой функции

вакуума. Как и ранее, мы заменили каждый дискретный индекс типа a на пространственную координату x и индекс поля m. Мы опустили также тильду над знаком произведения дифференциалов, так как это влияет только на общую фазу в функциональном интеграле.

Главное отличие фермионного случая от бозонного заключается в том, что здесь не нужно интегрировать по р перед интегрированием по q. Действительно, в стандартной модели электрослабых взаимодействий (и в других теориях, вроде старой теории Ферми b-распада) канонические импульсы pm являются вспомогательными полями, не связанными с q& m, а лагранжиан линеен по q& m, так что величина òd3xåmpmq& m - H в формуле (9.5.49) и есть лагранжиан L.

Каждое слагаемое в гамильтониане для фермионного поля с ненулевым квантовым числом (например, поля электронов в квантовой электродинамике) в общем случае содержит равное число переменных р (пропорциональных q†) и q. В частности, слагаемое Н0 в полном гамильтониане, отвечающее свободным частицам, билинейно по р и q, так что

X∞

R

U

Y

|X

3

x

å

p

&

(x, t) - H

q(t), p(t)

|

dtSY d

(x, t)q

+ ie - слагаемыеV

Y

|Z

m

0

|

Z−∞

T

m

W

X

(9.5.50)

= -åY d4xd4y Dmx,nypm (x)qn (y) ,

mn Z

552	Глава 9. Методы функционального интегрирования

где D — некоторая числовая «матрица». Гамильтониан взаимодействия V ≡ Í − Í0 есть сумма произведений равного числа фермион-

ных полей q и p (с коэффициентами, которые могут зависеть от бозонных полей). Поэтому при разложении матричного элемента (9.5.49) по степеням V возникает сумма фермионных интегралов вида

X L

Jn1m1n2m2 ...nNmN (x1, y1, x2 , y2 , . . . , xN , yN ) ≡ YY MM Õdqm

Z Nτ,x,m

L O

× MM Õdpm (x, τ)PP qm1(x1)pn1 (y1) qm2 (x2)pn2 (y2 ). . . qmN

Nτ,x,m Q

O

(x, τ)P

P

Q

(xN)pnN (yN )

F	X	d4xd4y Dmx,nypm (x)qn	I
× expG	−iåY	d4xd4y Dmx,nypm (x)qn	(y)J ,	(9.5.51)
H	mn Z		K

причем каждое такое слагаемое приходится на каждую возможную совокупность вершин в фейнмановской диаграмме, и каждая вершина дает вклад в общий коэффициент при каждом таком слагаемом в виде множителя, который равен коэффициенту при произведении полей в соответствующем слагаемом в операторе взаимодействия, умноженному на мнимую единицу i *.

Для вычисления подобного интеграла рассмотрим сначала производящую функцию всех таких интегралов

X L	Õ dqm		O
J (f, g) ≡ Y M	Õ dqm	(x, τ)dpm	(x, τ)P
Y Mτ,x,m			P
Z N			Q
F	X
× expG −iåYd4x d4 y Dmx,nypm (x) qn (y)
H	mn Z						(9.5.52)
							(9.5.52)
X				X			I
− iåY d4x pm (x) fm (x) − iåY d4 ygn					(y) qn	(y)	J ,
m Z			n	Z			K

* Необходимо также иметь в виду вершины от составных операторов O, отвечающие им коэффициенты не содержат множителя i. — Прим. ред.

9.5. Функциональные интегралы для фермионов	553

ãäå fm(x) è gn(y) − произвольные антикоммутирующие с-числовые

функции. Сделаем сдвиг в переменных интегрирования:

p′ (x) = p

m

(x)

+

å z

d4 yg

n

(y)(D−1 )

ny,mx

,

m

n

q′ (y) = q

n

(y) +

å z

d4x(D

−1 )

ny,mx

f

(x) .

n

m

Пользуясь условием трансляционной инвариантности (9.5.36), находим

F	X	−	(y)fm (x)
J (f, g) = expG iåYd4xd4 y (D		1 )ny,mx gn	(y)fm (x)
H	mn Z

×	X F	Õ		m	n	I
	Y G					J
	Y			dq′	(x, τ)dp′	(x, τ)
			τ,m			K
	Z H x,
		F		X
× expG			−iå Yd4xd4 y Dmx,ny
		H		mn Z

I

pm′ (x)qn′ (y)JK .

I

J

K

(9.5.53)

Интеграл есть константа, пропорциональная Det D (т. е. не зависит от функций f и g), что можно показать с помощью формулы (9.5.38). Для нас более важен первый сомножитель. Разлагая его по степеням произведения gf и сравнивая с прямым разложением выражения (9.5.52), видим, что

Jn m n m ...n		N	m	(x1, y1, x2 , y2 , . . . , xN , yN )
1 1 2	2	N		N
	å		δспаривания		Õ(−iD−1)спаренные mx,ny	(9.5.54)
по спариваниям					по парам

с коэффициентом пропорциональности, не зависящим от x, y, m или n, а также от числа этих переменных. Сумма в выражении (9.5.54) берется по всем способам спаривания p с q, при этом спаривания, отличающиеся только порядком пар, не считаются различными. Иными словами, мы суммируем по N! перестановкам либо р,

либо q. Знаковый множитель δспаривания равен +1 или −1 в зависимос-

ти от четности или нечетности каждой перестановки.

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: