Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

11.1. Контрчлены

Возьмем лагранжиан электронов и фотонов в виде *:

B, ψB è ψB — голые (т. е. неперенормированные) поля фотона

èэлектрона, а −å è mB — голые заряд и масса электрона. Согласно

предыдущей главе, можно ввести перенормированные поля, массу

èзаряд соотношениямиμ

где константы Z2, Z3 è δm подбираются так, чтобы пропагаторы

перенормированных полей имели полюсы в тех же точках и с теми же вычетами, что и пропагаторы свободных полей в отсутствие взаимодействий. Тогда лагранжиан можно записать через перенормированные величины в виде

* В этой главе нам не потребуется переходить от гейзенберговских операторов к операторам в представлении взаимодействия, поэтому мы вернемся к общепринятым обозначениям, когда заглавная буква А и строчная буква ψ

используются для обозначения соответственно полей фотона и заряженной частицы.

640 Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

à L2 есть сумма «контрчленов»:

Оказывается, что все слагаемые в L2 − второго и более высоких

порядков по е, и их как раз хватает для того, чтобы сократить ультрафиолетовые расходимости, возникающие от петлевых диаграмм.

11.2 Поляризация вакуума

Начнем наши вычисления петлевых радиационных поправок с так называемого эффекта поляризации вакуума, т. е. с поправок к пропагатору, отвечающему внутренней фотонной линии. Поляризация вакуума приводит к измеряемым сдвигам энергетических уровней атома водорода и дает важный вклад в значения энергии связи мюонов, находящихся на орбитах вокруг тяжелых ядер. Кроме того, как мы увидим в т. II, вычисление поляризации вакуума является ключевым для определения поведения электродинамики и других калибровочных теорий при высоких энергиях.

Как и в разделе 10.5, определим i(2π)4∏*ρσ(q) как сумму всех

связных диаграмм с двумя внешними фотонными линиями, несущими индексы поляризаций μ è ν и 4-импульс q. В это выражение

не входят фотонные пропагаторы от двух внешних фотонных линий, а звездочка означает, что исключаются диаграммы, которые становятся несвязными после разрезания некоторой внутренней фотонной линии. Точный фотонный пропагатор Δ′μν(q) дается форму-

ëîé (10.5.3):

ãäå μν(q) — пропагатор фотона без радиационных поправок. Наша задача — вычислить главные вклады в ∏*ρσ(q).

В низшем порядке имеется однопетлевой вклад в ∏*, îòâå-

чающий диаграмме рис. 11.1:

642 Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

(Это частный случай более общего класса интегралов, рассмотренных в Приложении к этой главе.) Теперь можно сдвинуть переменную интегрирования в импульсном пространстве *:

p → p + qx ,

так что выражение (11.2.3) принимает вид

(11.2.5) Используя результаты Приложения к гл. 8, можно без труда вы- числить след в подынтегральном выражении:

Tr{[-i(p/ + qx/ ) + m] g ρ [-i(p/ - q/(1 - x)) + m] g σ }

= 4 -(p + qx)ρ (p - q(1 - x))σ + (p + qx) × (p - q(1 - x))hρσ

(11.2.6)

- (p + qx)σ (p - q(1 - x))ρ + m2hρσ .

Следующий шаг носит название виковского поворота 2. Äî òåõ ïîð, ïîêà -q2 < 4m2, величина m2 + q2x(1 - x) положительна при всех x

* Строго говоря, этот шаг верен только для сходящихся интегралов. В принципе, чтобы обосновать сдвиг переменных, следует ввести какую-то схему регуляризации, делающую все интегралы сходящимися. Такой схемой может быть, например, схема размерной регуляризации.

между 0 и 1, так что полюсы подынтегрального выражения в (11.2.5)

находятся в точках p0 = ±p2 + m2 + q2x(1 - x) - ie , ò. å. ÷óòü âûøå

отрицательной действительной оси и чуть ниже положительной действительной оси (см. рис. 11.2). Можно повернуть контур интегрирования по р0 против часовой стрелки, не пересекая при этом ни одного из полюсов, так что вместо интегрирования по р0 вдоль действительной оси от -¥ äî +¥, мы интегрируем вдоль мнимой оси от - i¥ äî +i¥. Иными словами, можно написать p0 = ip4, и теперь интегрировать по действительным значениям р4 îò -¥ äî +¥. (Если бы в знаменателе пропагатора входило ie вместо -ie, следовало бы положить p0 = -ip4, причем p4 опять пробегало бы все действительные значения от -¥ äî +¥. В результате просто изменился бы знак Π1LOOP*ρσ (q).) Теперь формула (11.2.5) принимает вид:

Im p0

Re p0

Рис. 11.2. Виковский поворот контура интегрирования по р0. Маленькие крестики указывают положение полюсов в комплексной плоскости р0, стрелки показывают направление поворота контура интегрирования от действительной к мнимой оси