Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 705-709

11.2. Поляризация вакуума

649

массы, то в Z3 - 1 появятся дополнительные конечные слагаемые, возникающие от произведения полюса в G(2 - d/2) и слагаемого (4- d) ln m в разложении m4−d по степеням (4 - d). Однако и они сокращаются с аналогичными слагаемыми в однопетлевом вкладе в p(q2).

Единственные слагаемые, реально дающие вклад в p(q2) в пределе d ® 4, возникают от произведения полюса в G(2-d/2) и линейных слагаемых в разложении [m2 + q2x(1-x)]d/2–2 è (m2)d/2–2 по степеням d - 4:

d 2−2

−

F

q2x(1

- x)I

dm2 + q2x(1 - x)i

-

(m2 )d 2

2

® bd 2

- 2g lnG

1 +

J .

m

2

H

K

(11.2.21)

В результате приходим к выражению

2

e2

X1

F

q2x(1 - x)I

p(q

) =

Y

x(1 - x) lnG1

+

J dx .

(11.2.22)

2p

2

m

2

Z0

H

K

Физический смысл поляризации вакуума раскрывается, если рассмотреть влияние этого эффекта на рассеяние двух заряженных частиц спина 1/2. Фейнмановские диаграммы на рис. 11.3 дают следующие вклады в матричный элемент рассеяния:

Sa (1,2 ® 1¢,2¢) = (2p)−12/2 d4 (p1′ + p2′ - p1 - p2 ) e1(2p)4 u1′ g μ u1

L	−4 1			O			4
L				O

´ M-i(2p)			2	P	×	e1(2p)	u2′ g μ u2	,
N		q		Q

Sb (1,2 ® 1¢,2¢) = (2p)−12/2 d4 (p1′ + p2′ - p1 - p2 ) e2(2p)4 u1′ g μ u1

L

−4 1

O2

4

2

4

ν

´ M-i(2p)

2

P

×

i(2p) (q

hμν - qμqν )p(q

)

e2(2p)

u2′ g

u2

,

N

q

Q

ãäå å1 è å2 — заряды рассеивающихся частиц, p(q2) вычисляется по

формуле (11.2.22), причем в качестве е следует взять заряд частицы, которой отвечают линии, образующие петлю на рис. 11.3, qμ — передаваемый импульс, q º p1 − p1′ = p2′ − p2. С учетом закона сохранения qμ u1′ g μ u1 = 0 обе диаграммы совместно приводят к выраже-

нию для элемента S-матрицы:

650	Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

à

á

Рис. 11.3. Две диаграммы рассеяния заряженных частиц. Линии со стрелками отвечают заряженным частицам, волнистые линии — фотонам. Диаграмма б является поправкой низшего порядка, учитывающей эффект поляризации вакуума, к древесной диаграмме а

S

(1,2 ® 1¢,2¢) =

−ie1e2

[1

+ p(q2 )]d4 (p

+ p

- p

- p )

4p2q2

a+b

1¢

2¢

1

2

(11.2.23)

´

g m u

×

g

u

.

u

2¢

m

2

1¢

1

В нерелятивистском пределе

1g 0 u1 g - i ds1¢s1

, à

1γ i u1 g 0

(анало-

u

гично для частицы 2). Кроме того, в этом пределе можно пренебречь

q0 по сравнению с |q|. Тогда формула (11.2.23) принимает вид

S

(1,2 ® 1¢,2¢) =

−ie1e2

[1

+ p(q2 )]d4 (p

+ p

- p

- p )d

s¢s1

d

.

a+b

4p2q2

1¢

2¢

1

2

1

s¢2s2

(11.2.24)

Это выражение можно сравнить с борновским приближением для матричного элемента рассеяния на локальном, не зависящем от спина центральном потенциале V(r):

′

) = −2πiδ(E1¢ + E2¢

′

) . (11.2.25)

SÁîðí (12, → 1 ,2

− E1 − E2 )TÁîðí (1,2 → 1 ,2

T

(1,2

® 1¢,2¢) = d

1 1

d

2

2 z

d3x

z

d3x

Vb| x

- x

|g

Áîðí

s¢s

s¢ s

1

2

1

2

(11.2.26)

´ (2p)-12/2 e-ip1′ ×x1 e-ip2' ×x2 eip1 ×x1 eip2 ×x2 .

Полагая x1 = x2 + r, получаем

S

=

−i

d4 (p

+ p

- p

)d

s¢s

d

s¢ s

z

d3r V(r)e-iq×r

Áîðí

4p2

1¢

2¢

1

2

1 1

2

. (11.2.27)

11.2. Поляризация вакуума

651

Сравнение этой формулы с формулой (11.2.23) показывает, что в нерелятивистском пределе диаграммы рис. 11.3 приводят к такому же матричному элементу рассеяния, что и потенциал V(r), такой, что

z d3r V(r)e-iq×r = e1e2 1 + p(q2 ) q2

или, обращая фурье-преобразование,

V(r) = e e	X	3		iq×r L1	+ p(q2 ) O
	Y d		q e					.
				M		2	P		(11.2.28)
1 2 Z
				N	q		Q

В первом порядке по радиационным поправкам * выражение (11.2.28) определяет ту же потенциальную энергию, что и энергия электростатического взаимодействия двух пространственных распределений зарядов e1h(x) è e2h(y) на расстоянии r:

X	3	X	3		η(x)η(y)
V(\| r\| ) = e1e2 Y	d x	Y d		y		,	(11.2.29)
V(\| r\| ) = e1e2 Y	d x	Y d		y	4p\| x - y + r\|	,	(11.2.29)
Z		Z			4p\| x - y + r\|
ãäå
h(r) = d3 (r) +	1		d3q p(q2 ) eiq×r .				(11.2.30)

	2(2p)3 z
	2(2p)3 z

Заметим, что

z d3r h(r) = 1 + 21

p(0) = 1,

(11.2.31)

так что полные заряды частиц 1 и 2, определяемые по (кулоновской) асимптотике потенциала V(r) на больших расстояниях, — это те же константы е1 è å2, которые определяют взаимодействия перенормированного электрического поля.

Ïðè |r| ¹ 0 интеграл (11.2.30) можно вычислить с помощью кон-

турного интегрирования:

* Т. е. по параметру е2. — Ïðèì. ðåä.

652

Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

e2

X1

L

mr

O

F

-mr

I

h(r) = -

Y

x(1 - x)dxM1

+

P expG

J .

8p

3

r

Z0

N

x(1 - x) Q

H

x(1 - x) K

Это выражение везде отрицательно. Однако мы видели, что интеграл от h(r) по всем r равен +1. Поэтому функция h(r) должна содержать слагаемое (1+L)d3(r), которое сингулярно при r = 0, а L

выбрано так, чтобы удовлетворить соотношению (11.2.31):

e2

X d3r X1

L

mr

O

F

-mr

I

L =

Y

x(1 - x)dxM1

+

P expG

J . (11.2.32)

8p

3

Z

r

Z0

N

x(1 - x) Q

H

x(1 - x) K

Соответственно полное выражение для плотности распределения заряда имеет вид:

e2

X1

L

mr O

F

-mr

I

h(r) = (1

+ L)d3

(r) -

x(1

- x)dx 1

+

P

exp

.

3

Y

G

J

M

8p

r

Z0

N

x(1 - x) Q

H

x(1 - x) K

(11.2.33)

Физическая интерпретация этого результата заключается в том, что голый точечный заряд притягивает из вакуума частицы с противоположным зарядом и отталкивает на бесконечность соответствующие античастицы, так что голый заряд частично экранируется. В результате перенормированный заряд становится в 1/(1+L) раз меньше. В качестве проверки заметим, что если обрезать расходящийся интеграл (11.2.32), полагая, что он берется только по области r ³ a, то расходящаяся при a ® 0 часть интеграла равна

L∞	=	e2		ln a−1 .	(11.2.34)
			2
	12p

Следовательно, если отождествить обрезание L в импульсном пространстве * с а−1, то расходящаяся часть в L окажется связанной с расходящейся частью Z3 − 1 соотношением

* Коротко его называют импульсом обрезания. — Прим. ред.

11.2. Поляризация вакуума	653
(Z3 − 1)¥ = −2L¥ ,	(11.2.35)

поскольку в порядке е2 перенормированный заряд (10.4.18) дается выражением

e

= Z1/2e

F

1

+

1

(Z

− 1)I e

(1

+ L)

-1e

.

(11.2.36)

Bl

l

3

G

2

3

J

H

K

Формула (11.2.35) подтверждается ниже.

Поляризация вакуума оказывает заметное влияние на энергети- ческие уровни мюонных атомов. Как будет показано в гл. 14, диаграмма рис. 11.3, б приводит к сдвигу энергии атомного состояния с волновой функцией ψ(r) на величину

E = z d3 r V(r) | ψ(r)|2 ,

(11.2.37)

где V(r) — добавочное к кулоновскому слагаемое в потенциале (11.2.28):

	e e	X	L	π(q2 ) O
V(r) =	1 2	Y d3q eiq×r M				P .	(11.2.38)
V(r) =	3	Y d3q eiq×r M			2	P .	(11.2.38)
	(2π)	Z	N	q		Q

Ïðè r . m−1 эта добавка экспоненциально уменьшается. С другой

стороны, волновая функция электронов в обычных атомах в общем случае сосредоточена в значительно большей области радиусом а . m−1. Например, для орбит электронов вокруг ядра зарядом Ze

в водородоподобном атоме a = 137/(Zm) (здесь m = me). Поэтому сдвиг энергетического уровня будет зависеть только от поведения волновой функции в области r n a. Если орбитальный момент равен l, волновая функция ведет себя как rl при r n a, так что из (11.2.37) находим, что E пропорционально множителю (ma)–(2l+3). Отсюда эффект поляризации вакуума для случая l = 0 много больше, чем для более высоких угловых моментов. При l = 0 волновая функция приблизительно постоянна и равна ψ(0) для r, меньших или порядка m−1, так что формула (11.2.37) принимает вид

E =| ψ(0)|2 z d3r V(r) .

(11.2.39)

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: