Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 699-703

644	Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

и все скалярные произведения вычисляются с использованием евклидовой нормы

a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 ,

при соглашении, что q4 º −iq0. Кроме того, hρσ можно считать либо

кронекеровским дельта-символом с индексами, принимающими зна- чения 1, 2, 3, 4, либо обычным тензором Минковского с индексами, принимающими значения 1, 2, 3, 0 *.

Интеграл (11.2.7) сильно расходится. В конце концов все бесконечности сократятся, но чтобы увидеть это, необходимо использовать на промежуточных стадиях вычисления какой-то способ регуляризации, делающий интегралы сходящимися. Не годится просто обрезать интегралы на некотором максимальном импульсе L, интегрируя по pμ только при p2 < L2, поскольку это эквивалентно введению в электронный пропагатор ступенчатой функции q(L2 - p2),

а тождество Уорда (10.4.25) показывает, что для сохранения калибровочной инвариантности любая модификация электронного пропагатора должна сопровождаться модификацией электрон-фотонной вершины. На самом деле, при обычном L-обрезании радиационные

поправки будут индуцировать массу фотона, что явно нарушает калибровочную инвариантность **.

Практика показала, что самым удобным способом регуляризации расходящихся интегралов, не нарушающим калибровочной инвариантности, является техника размерной регуляризации, предложенная в 1972 году ¢т Хофтом и Вельтманом 3 и основанная на

аналитическом продолжении по размерности пространства–времени от четырех к произвольному числу d. Она состоит в усреднении по

* Первое соглашение относится к так называемому евклидовому развороту (аналог виковского поворота). Именно, P*1ÏÅÒË допускает

аналитическое продолжение по q0 в евклидову область q0 = iq4. По модулю кинематических множителей (см. ниже формулу (11.2.16)) P*1ÏÅÒË (точнее функция p) является аналитической функцией -q2 в комплексной плоскости с разрезом вдоль положительной полуоси -q2 ³ 4m2. В тексте рассматри-вается область -q2 > 4m2. Ïðè -q2 > 4m2 физическому значению функции p отвечает

ååграничное значение сверху на этой полуоси. — Прим. ред.

**Именно, поперечность P*μν, èìåÿ â âèäó, ÷òî Pμν не имеет полюсов

ïðè q2 = 0 (см. гл. 10, раздел 5). — Прим. ред.

11.2. Поляризация вакуума

645

угловым переменным в интегралах типа (11.2.7), что сводится к отбрасыванию всех слагаемых, нечетных по р, и замене слагаемых, содержащих четное число множителей р, по правилу *

pμpν → p2ημν / d ,	(11.2.8)
pμpνpρpσ → (p2 )2 [ημνηρσ + ημρηνσ + ημσ ηνρ ] / d(d + 2) .	(11.2.9)

Далее, после того как подынтегральное выражение с помощью указанной процедуры запишется как функция только р2, следует

заменить элемент объема d4pE íà Ωdκd-1dκ, ãäå κ ≡ p2 , à Ωd —

площадь сферы единичного радиуса в d измерениях:

Ωd = 2πd/2 / Γ(d / 2) .

(11.2.10)

После этого интеграл (11.2.7) становится сходящимся в случае комплексной размерности пространства-времени d. Можно продолжить интеграл от комплексных значений d к d = 4, и тогда бесконечности проявятся как множители (d − 4)-1.

Применяя метод размерной регуляризации к интегралу (11.2.7), получаем:

*ρσ

4e2Ωd X1

X∞

d−1

2

−2

Π1LOOP

(q) =

Y

dx Y

κ

dκ

κ

+ m

+ q

x(1 − x)

L

(2π)4 Z0

Z0

ρσ O

−2κ2

ρσ

ρ

q

σ

x(1 − x) + dκ

2

− q

2

ρσ

2

× M

η + 2q

x(1 − x)iη + m

η

P .

N

d

Q

Интегралы по κ можно вычислить для любого комплексного d (или

для любого действительного d, не равного целому четному числу) **.

* Проще всего вывести эти формулы, заметив, что их вид диктуется ло- ренц-инвариантностью и симметрией по индексам μ, ν, ρ и т. д. Коэффициен-

ты можно найти, требуя, чтобы правая и левая части давали одинаковый результат после свертки с η.

** Строго говоря, этот интеграл определен при 1 < Red < 4, а при прочих d он определен аналитическим продолжением. — Прим. ред.

646	Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

Воспользуемся хорошо известными формулами (в более общем виде они даны в Приложении к этой главе):

X∞

d−1

−2

d

−2

2

1

2

Y

κ

+ ν

dκ =

(ν

) 2

Γ(d 2) Γ(2 − d 2) , (11.2.11)

Z0

2

d

X∞

d+1

−2

κ

2

+ ν

2

dκ =

1

(ν

2

) 2

Γ(1

+ d / 2) Γ(1 − d 2) , (11.2.12)

Y

тогда

Z0

2

*

ρσ

2e2Ω

d

Π1LOOP

(q) =

(2π)4

X1

L

d

−1

Γ(1 + d 2)Γ(1 − d 2)

× Y dxM(1

− 2 / d)ηρσ dm2 + q2x(1 − x)i 2

Y

M

Z0

N

d

+ d2qρqσx(1 − x) − q2ηρσx(1 − x) + m2ηρσ idm2 + q2x(1 − x)i 2 −2

O

× Γ(d 2)Γ(2 − d 2)P .

Q

Два слагаемых в подынтегральном выражении можно объединить, если учесть соотношение

(1 − 2d)Γ(1 + d2)Γ(1 − d2) = −Γ(d / 2)Γ(2 − d2) .

В результате

Π*ρσ

(q) =

4e2Ωd

Γ(d 2)Γ(2 − d

2)(qρqσ

− q2ηρσ )

1LOOP

(2π)4

X1

dx x(1 − x) (m

2

+ q

2

x(1

− x))

d 2

−2

(11.2.13)

× Y

.

Z0

Очень важно то, что найденный вклад в ∏ρσ удовлетворяет соотно-

шению

11.2. Поляризация вакуума	647
qρΠ1*ρσLOOP (q) = 0 ,	(11.2.14)

полученному в разделе 10.5 на основании сохранения и нейтральности электрического тока. Именно ради достижения этого результата мы и применили схему размерной регуляризации. Причина, по которой размерная регуляризация приводит к такому результату, заключается в независимости закона сохранения тока от размерности пространства−времени.

Гамма-функция Γ(2 − d/2) в (11.2.13) неограниченно растет при d → 4. К счастью, как мы видели в разделе 11.1, существует другое слагаемое, возникающее от слагаемого − 14 (Z3 − 1)FμνFμν в лагранжиане взаимодействия, которое необходимо добавить к ∏ρσ(q).

Структура этого слагаемого аналогична (11.2.13):

Π*ρσ (q) = −(Z3 − 1)(q2ηρσ − qρqσ ) ,

L2

так что в порядке е2 суммарная величина ∏* имеет вид

Π*ρσ (q) = (q2 ηρσ − qρqσ )π(q2 ) ,

ãäå

π(q2 ) = −

4e2Ω

d

Γ(d 2)Γ(2

− d 2)

(2π)4

X1

dx x(1 − x) (m

2

+ q

2

x(1

− x))

d 2

−2

− (Z3

− 1) .

× Y

Z0

(11.2.15)

(11.2.16)

(11.2.17)

Как мы видели в разделе 10.5, определение перенормированного электромагнитного поля требует, чтобы π(0) = 0 (äëÿ òîãî,

чтобы вычет в полюсе точного фотонного пропагатора при q2 = 0 был бы таким же, как и для голого пропагатора, если не считать слагаемых, зависящих от калибровки). Поэтому в порядке е2

		e2Ω				d	−2	1

Z3	= 1 −	4	d	Γ(d / 2)Γ(2	− d / 2)(m2 ) 2			z0 x(1	− x) dx,	(11.2.18)
		(2π)	4

так что в этом же порядке

648	Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД
	p(q2 ) = -	4e2Wd		G(d 2)G(2 - d 2) z01 x(1 - x) dx
	p(q2 ) = -	4		G(d 2)G(2 - d 2) z01 x(1 - x) dx
		(2p)			(11.2.19)
	´ Ldm2		+ q2x(1 - x)id 2−2 - (m2 )d 2−2 O.		(11.2.19)
		M		P
		N		Q

Теперь можно снять регуляризацию, разрешив d принять его физическое значение d = 4. Выше отмечено, что однопетлевой вклад содержит бесконечность, возникающую из-за поведения гаммафункции в этом пределе:

G(2 - d / 2) ®	1	- g ,

	- d 2)
(2

ãäå g = 0,5772157 — постоянная Эйлера. Бесконечная часть Z3 − 1 получается, если заменить G(2 − d/2) íà 1/(2 − d/2) è âî âñåõ îñ-

тальных местах положить d = 4:

(Z

- 1)

∞ = -

4e2

× 2p2

1

=

e2

1

.

(11.2.20)

3

6(2p)4

2 - d 2

6p2

d - 4

В т. II мы увидим, что этот результат можно использовать для нахождения главного члена в уравнении ренормгруппы для заряда электрона.

Очевидно, что полюсы при d = 4 в p(q2) сокращаются, так как в этом случае выражения [m2 + q2x(1-x)]d/2–2 è (m2)d/2–2 имеют одинаковый предел, равный единице. По этой же причине слагаемое -g â G(2-d/2) сокращается в полном выражении для p(q2), хотя оно и вносит конечный вклад в Z3 - 1. Есть и другие конечные вклады в Z3 - 1, возникающие от произведения полюса в G(2-d/2) и линейных слагаемых в разложении WdG(d/2) в окрестности d = 4, но и они сокращаются в полном p(q2). В действительности, проводя размерную регуляризацию, можно было бы заменить (2p)–4 íà (2p)–d, à Tr 1 = 4 —

на размерность 2d/2 гамма-матриц в пространстве-времени с произвольной четной размерностью d. Однако все это дало бы вклад только в конечную часть Z3 - 1, íî íå â p(q2). Далее, нельзя считать

å2 независящим от d, поскольку из формулы (11.2.13) вытекает, что квадрат заряда имеет зависящую от d размерность [масса]4−d. Если положить e2 µ m4−d, ãäå m — некая величина размерности

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: