Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 710-714

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также:

654	Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

С учетом формул (11.2.38) и (11.2.22) интеграл от добавки к потенциалу (при e1e2 = −Ze2) имеет вид:

z d3r DV(r) = -Ze2p¢(0) = -	4Za	2
			.	(11.2.40)
		2
15m

Кроме того, для состояний водородоподобного атома с l = 0 и главным квантовым числом n волновая функция в начале координат принимает значение

y(0) =	2	F	ZamI		3/2
		G		J	.	(11.2.41)


	4p H		n K

Поэтому энергетический сдвиг (11.2.39) оказывается равным

DE = -	4Z4a5m	.	(11.2.42)

	15pn3

Например, для 2s состояния атома водорода этот сдвиг равен –1,222 × 10–7 эВ, что соответствует сдвигу частоты DE/2p$, равному

–37,13 МГц. Иногда этот эффект называют эффектом Юлинга 4. Как обсуждалось в гл. 1, эти ничтожные сдвиги энергии оказалось возможным измерить, поскольку в отсутствие разных радиационных поправок чисто дираковская теория предсказывает полное вырождение 2s и 2p состояний атома водорода. В гл. 14 будет показано, что основная часть «лэмбовского сдвига» между 2s и 2p состояниями, равная +1058 МГц, обусловлена другими радиационными поправками, но согласие между теорией и экспериментом достаточно для того, чтобы убедиться в наличии сдвига –37,13 МГц, обязанного поляризации вакуума.

Хотя в обычных атомах поляризация вакуума определяет лишь малую часть радиационных поправок, она становится определяющей в радиационных поправках для мюонных атомов, в которых вместо электрона на орбите находится мюон. Это происходит потому, что по размерным соображениям большинство радиационных поправок приводит к энергетическим сдвигам уровней мюонных атомов, которые пропорциональны mμ, в то время как суммарная энергия поляризации вакуума òd3r DV за счет электронной петли остается пропорциональной me−2, как в формуле (11.2.40), что приво-

11.3. Аномальные магнитные моменты

655

дит к сдвигу энергетического уровня на величину mμ3me−2 =(210)2mμ.

Однако в этом случае радиус мюонной орбиты ненамного больше комптоновской длины волны электрона, так что приближенный результат (11.2.39) дает лишь порядок величины сдвига энергии за счет поляризации вакуума.

* * *

Имея в виду сравнение с последующими вычислениями, заметим, что если обрезать интеграл (11.2.7) на κ = Λ, то вместо (11.2.20) мы

придем к интегралу вида

e2

X

Λ

d−5

e2 μd−4 − Λd−4

(Z

− 1)

∞

= −

Y

κ

dκ =

.

π2

3

6

Z

6

d − 4

μ

ãäå μ − эффективное инфракрасное обрезание порядка массы заря-

женной частицы в петле на рис. 11.1. (Простейший способ определения постоянного множителя в этом выражении состоит в требовании, чтобы его предел при d < 3 и Λ → ∞ совпадал с (11.2.20).) Введя такое обрезание, можно перейти к пределу d → 4, получая при

ýòîì

(Z3 − 1)∞ = −	e2	lnaΛ μf .	(11.2.43)
	6π2

11.3Аномальные магнитные моменты

èзарядовые радиусы

Âкачестве следующего примера вычислим изменение магнитного момента и зарядового радиуса электрона или мюона за счет радиационных поправок низшего порядка. Однопетлевые диаграммы и диаграмма перенормировки фотон-лептонной вершины показаны на рис. 11.4. Как обсуждалось в разделе 10.3, те из этих диаграмм, которые содержат вставки во внешние входящие или выходящие лептонные линии, обращаются в нуль, поскольку лептон находится на массовой поверхности. Диаграмма, содержащая вставку во внешнюю фотонную линию, описывает обсуждавшийся

656	Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

в предыдущем разделе эффект поляризации вакуума. Таким образом, надлежит вычислить единственную однопетлевую диаграмму (последнюю на рис. 11.4):

μ	X		4			ρ		4	L	-i
μ	X		4			ρ		4	L	-i
G1LOOP	(p¢, p) = Y	d		k	eg		(2p)		M
	Z								N(2p)4

-i(p/ ¢ - k/ ) + m	O	g	μ
-i(p/ ¢ - k/ ) + m	O		μ
	P
(p¢ - k)2 + m2 - ie Q
(p¢ - k)2 + m2 - ie Q

ρ (2p)4	L	-i	1	O	(11.3.1)

	M			P ,

	N(2p)4 k2 - ie Q

ãäå ð′ и р — 4-импульсы конечного и начального лептонов, соответ-

ственно. (Вклад от вершины, связывающей внешнюю фотонную линию с внутренними электронными линиями, берется равным gμ, т. к. множитель е(2p)4 был включен в определение Gμ.)

Выписанный интеграл очевидно содержит ультрафиолетовую расходимость типа òd4k/(k2)2. В отличие от поляризации вакуума,

здесь не нужно прибегать к специальным процедурам типа размерной регуляризации, чтобы сохранить требуемую калибровоч-

à

á

â

ã

Рис. 11.4. Однопетлевые диаграммы для фотон-лептонной вершинной функции Γμ. Волнистые линии изображают фотоны, остальные линии —

электроны или мюоны. Диаграммы а и б сокращаются вкладом контрчленов перенормировки лептонного поля, диаграмма в происходит от поляризации вакуума, вычисленного в разделе 11.2, вклад диаграммы д вычисляется в разделе 11.3

11.3. Аномальные магнитные моменты

657

ной инвариантностью структуру, поскольку фотон − нейтральная

частица. Поэтому интеграл можно сделать конечным подходящей модификацией фотонного пропагатора (например, путем включе- ния множителя M2/(k2 + M2) с большой регуляри-зующей массой М), не вводя для сохранения калибровочной инвариантности никаких других изменений. Более того, мы увидим, что аномальный магнитный момент и зарядовые радиусы можно вычислить, вообще не учитывая ультрафиолетовые расходимости. В последующем изложении оставим все интегралы для вершинной функции в их расходящейся форме, понимая при этом, что при необходимости любой расходящийся интеграл можно выразить через регуляризующую массу М.

Начнем с объединения знаменателей, используя описанную в Приложении к этой главе расширенную версию формулы Фейнмана:

1		1	x				−3 .
	= 2z		dxz	dy	Ay + B(x − y) + C(1	− x)		(11.3.2)
ABC
	0		0

Применяя ее к знаменателям в формуле (11.3.1), находим:

1

(p′ − k)2 + m2 − iε

(p − k)2 + m2 − iε

k2 − iε

= 2X1 dx

Xx dy

(p′ − k)2 + m2 − iε

h

y +

(p

− k)2

+ m2 − iε (x

− y)

Y

c

h

Z0

−3

+ ck2 − iεh(1 − x)

X1

Xx

dy

′

y − p(x − y)f

2

x

2

+ q

2

y(x − y) − iε

−3

= 2Y dx Y

ak − p

+ m

,

Z0

(11.3.3)

ãäå q = p − p′ — переданный фотону импульс. После сдвига пере-

менной интегрирования

k → k + p′y + p(x − y)

интеграл (11.3.1) принимает вид

658 Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

μ		2ie2	X1	Xx	X	d4k
Γ1LOOP	(p′, p) =		Y dx	Y dy	Y
		(2π)4				k2 + m2x2 + q2y(x − y) − iε
			Z	Z	Y		3
			0	0	Z

× γ

ρ

−ibp/ ′(1

− y)

/

− p/ (x − y)g

+ m

γ

μ

− k

×

−

ibp/ (1

−

+

− /

−

p/

′

yg

+

γ

(11.3.4)

x

y)

k

m

ρ .

Следующий шаг — виковский поворот. Как объяснено в предыдущем разделе, добавка −iε в знаменателе диктует необходимость

поворота контура интегрирования по k0 в сторону мнимой оси против часовой стрелки, так что интеграл по k0 îò −∞ äî +∞ заменяется интегралом по мнимым значениям от −i∞ äî +i∞, или, эквивалентно, по действительным значениям величины k4 ≡ −ik0 îò −∞ äî +∞.

Воспользуемся также вращательной симметрией знаменателя в (11.3.4), что позволяет отбросить в числителе слагаемые нечетной степени по k, заменить kλkσ íà ηλσk2/4 и заменить элемент объема d4k = idk1dk2dk3dk4 íà 2iπ2κ3dκ, ãäå κ — евклидова длина 4-векто-

ра k. После всех этих действий формула (11.3.4) принимает вид

μ

−4π2e2 X1

Xx

X∞

3

2

ρ

σ

μ

Γ1LOOP

(p′, p)

=

Y dx

Y

dy Y

κ

dκ

{

−κ

γ

γ σ γ ρ / 4

(2π)

4

Z0

+ γ ρ

−ibp/ ′(1 − y) − p/ (x − y) + mg

γ μ

−ibp/ (1 − x + y) − p/ ′yg + m

γ ρ }

×

κ2 + m2x2 + q2y(x − y)

−3

.

(11.3.5)

Нас интересует только матричный элемент`u′Γμu вершинной функ-

ции между дираковскими спинорами, удовлетворяющими соотношениям

u′[ip/ ′ + m] = 0 , [ip/ + m]u = 0 .

Поэтому можно упростить выражение (11.3.5), переместив с помощью соотношений антикоммутации дираковских матриц все множители p/ ′ налево и все множители p/ направо, и заменив их после

этого на im. После прямого, но утомительного вычисления можно привести выражение (11.3.5) к виду

-i(p - k/ ) + m O

(p - k)2 + m2 - ie Q