Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 831-835

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также:

770 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

	dF	-	k − 1		F - (E + eÀ0			+ m)G = 0 ,	(14.1.29)
		-			F - (E + eÀ0			+ m)G = 0 ,	(14.1.29)
	dr		r
где при четности h = (-1)				j m 1
где при четности h = (-1)				2
				2
					k º ±(j +	1	).		(14.1.30)
					k º ±(j +		).		(14.1.30)
				2

Сосредоточимся на случае простого кулоновского поля (14.1.2), когда eА 0 = Za/r. Исследование уравнения Дирака в этом случае хо-

рошо известно3, так что мы для полноты изложения коротко суммируем результаты. Легко видеть, что вблизи начала координат решения ведут себя как rs−1, ãäå s2 = k2 − Z2a2. (Обратим внимание, что k2 ³ 1, так что показатель степени s действителен при Za £ 1.) Решения с s < 0 следует отбросить как несовместимые с

условием нормировки (14.1.18). После этого требование, чтобы волновые функции не стремились к бесконечности при r ® ¥, опреде-

ляет разрешенные собственные значения энергии *:

L

F

Za

I

2 O−1/2

En,j = mM1

+ G

J

P

,

2

P

M

G

(j +

a

J

M

H n - j - +

)

- Z

K

P

N

Q

где n — «главное квантовое число» и

j + ≤ n.

(14.1.31)

(14.1.32)

Примечательно, что эти значения энергии не зависят от четности или l, а зависят только от n и j. Для каждого n и j существуют два решения, отвечающие двум знакам k1или двум возможным четностям, за исключением случая n = j + , когда1 единственной воз1- можностью является k > 0 и четность (-1)j− , òàê ÷òî l = j - .

С учетом неравенства (14.1.32) это сводится к знакомому нерелятивистскому ограничению l £ n - 1.

Для легких атомов с Za n 1 выражение (14.1.31) можно пред-

ставить в виде ряда

* Речь идет о дискретном спектре. — Прим. ред.

14.1. Уравнение Дирака

771

L		Z2α2		Z4α4	F	3		1 I
E = m 1	−		+		G		−		J	+
E = m 1	−	2n2	+	n4	G		−		J	+
M		2n2		n4	H	8		2j + 1K
N

O

. . .P . (14.1.33)

Q

Естественно, что первое слагаемое есть энергия покоя, а второе — энергия связи, согласно нерелятивистскому уравнению Шредингера. Первая релятивистская поправка, зависящая как от n, так и от j, дается третьим слагаемым1 . При n = 1 возможно только одно1 значение полного момента j = , и так1 как в этом случаем n = j + , то и одно значение четности (−1)j− = +1, что соответствует l = 0.

Поэтому для состояний водородоподобных атомов с n = 1 довольно трудно наблюдать эффекты, обусловленные релятивистскими поправками к энергии связи, которые даются формулой (14.1.33), хотя, как будет видно в разделе 14.3, это недавно стало возможным1 . С другой стороны, при n = 2 имеются состояния с j = и обеими

четностямиG (т. е. состояния 2s1/2 è 2p1/2), а также состояние 2p3/2 с j = и отрицательной четностью. Из формулы (14.1.33) определяет-

ся расщепление р−уровней водорода:

E(2p	) − E(2p ) =	α2me	= 4,5283 × 10−5 ýÂ.	(14.1.34)

3/2	1/2	32

Подобное релятивистское расщепление уровней носит название тонкой структуры атомных уровней. С самого начала было известно, что это предсказание находится в хорошем согласии с наблюдаемой тонкой структурой. С другой стороны, из уравнения Дирака вытекает отсутствие разницы в энергиях состояний 2s1/2 è 2p1/2, так что именно здесь уместно поискать вклады других поправок, что и будет рассмотрено в разделе 14.3.

Прежде чем завершить этот раздел, рассмотрим приближенные выражения для волновых функций и матричных элементов в нерелятивистском случае для произвольного электростатического потенциала А 0. (Для кулоновского потенциала это соответствует пределу Zα n 1.) Òàê êàê EN + m g 2m . |eÀ 0|, «малые» компоненты

волновой функции электрона приближенно выражаются через «большие» компоненты:

gN g(σ × Ñ)fN / 2me .

(14.1.35)

772 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

Тогда уравнение (14.1.21) превращается в нерелятивистское уравнение Шредингера

L	Ñ	2	O
M-			- eÀ0 P fN g(EN	- m)fN .	(14.1.36)
	2me
N			Q

Поскольку теперь в уравнении для fN уже нет никакой связи между спиновыми и орбитальными степенями свободы, можно искать полную систему решений этого уравнения в виде:

fN = χNψ N ,

ãäå cN — двухкомпонентный постоянный спинор, а yN(x) — îáû÷-

ное однокомпонентное решение уравнения Шредингера. Однако часто мы используем состояния с определенными значениями полного момента j, для которых fN (при ненулевом орбитальном моменте) представляется суммой таких решений.

В нерелятивистском приближении четырехкомпонентная дираковская волновая функция принимает вид:

а формула (14.1.18) определяет условие нормировки

z d3x (fN† , fM ) g dNM - (v2 )NM ,

e

(14.1.37)

(14.1.38)

При установлении связи матричных элементов во внешнем поле с матричными элементами для свободных частиц полезно заметить, что волновая функция в импульсном представлении, отве- чающая собственному значению энергии N, может быть записана в следующем виде:

uN (p) º (2p)-3/2 z d3p e-ip×xuN (x) g å u(p, s)[fN (p)]s . (14.1.39)

s

14.1. Уравнение Дирака				773
где дираковский спинор для свободной частицы
1			L(1 - p × σ / 2me) cs O
u(p, s) g			M	P ,

	2 N(1 + p × σ / 2me) cs Q
c+ º		F 1I		F0I
		G J , c-		º G J ,
		H0K		H 1K

à fN(p) − фурье-образ двухкомпонентной шредингеровской волно-

вой функции:

fN (p) º (2p)-3/2 z d3p e-ip×x fN (x).1

** *

Âзаключение с целью вычисления вкладов различных возмущений приведем главные члены матричных элементов 16 независимых 4 ´ 4

матриц по электронным состояниям.

(

u

)

g (f† f )

-

1

(Ñf

† × σ σ × Ñf ) ,

u

M

N

(14.1.40)

2

M N

4m

M

N

e

i(

g 0u

) g

(f† f )

+

1

(Ñf†

× σ σ × Ñf ) ,

u

M

N

(14.1.41)

2

M N

4m

M

N

e

1

[(ÑfM†

× σ σ × fN ) - (fM†

× σ σ × ÑfN )],

(uMguN ) g

(14.1.42)

2m

e

(

[g 0

, γ

]u

)

i

[(Ñf† × σ σ × f ) +

(f

†

× σ σ × Ñf )] ,

u

M

N

g

(14.1.43)

me

M

N

M

N

(

[g i , g j ]u

)

g2ie

(f† s

f

) ,

(14. 1. 44)

u

M

N

ijk

M

k N

(

Mg 5γuN ) g - i(fM† σfN ) ,

(14. 1. 45)

u

(

g

g 0u

) g

i

[(Ñf†

× σ f

) -

(f†

σ × Ñf )],

u

M

5

N

(14. 1. 46)

2me

M

N

M

N

(

Mg 5 uN )

i

[(ÑfM† × σ fN ) + (fM† σ × ÑfN )] .

u

g

(14. 1. 47)

2me

774	Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

14.2. Радиационные поправки во внешних полях

Учтем теперь наряду с внешним полем тяжелых заряженных частиц также и квантовое электромагнитное поле и рассмотрим радиационные поправки к результатам предыдущего раздела, обусловленные взаимодействием электронов с квантовым электромагнитным полем. Такие радиационные поправки можно вычислить с помощью обычной фейнмановской диаграммной техники, причем весь вклад внешнего поля будет заключаться в модификации пропагатора поля электронов в присутствии внешнего электромагнитного поля (и в добавлении зависящих от внешнего поля перенормировочных контрчленов из формулы (14.1.1)). Конкретнее, вклад от включения любого числа вершин, соответствующих первому слагаемому в операторе взаимодействия (14.1.1), во внутреннюю электронную линию любой диаграммы заключается в замене голого пропагатора в координатном представлении −iS(x − y) на пропагатор

во внешнем поле

−iSÀ (x, y) ≡ −iS(x − y) + (−i)2 z d4z1S(x − z)eγ μ Àμ (z1)S(z1 − y)

+(−i)3 z d4z1 z d4z2S(x − z1) eγ μ Àμ (z1)S(z1 − z2 ) eγ μ Àμ (z2 )S(z2 − y)

+ . . . ,				(14.2.1)
где, как обычно,
S(x − y) ≡	1	X	−iγ λpλ + m	eip(x− y) .
		Y d4p
	(2π)4	Y d4p	p2 + m2 − iε
	(2π)4	Z	p2 + m2 − iε

(Следует записывать SÀ как функцию x и y, а не x − y, поскольку

внешнее поле нарушает трансляционную инвариантность.) Согласно доказанной в разделе 6.4 теореме, SÀ, определяемый формулой (14.2.1), совпадает с выражением, определяемым формулой

−iSÀ (x, y) = bΦ0 , T{ψ(x), ψ(y)}Φ0 gÀ ,

(14.2.2)

где нижний индекс А справа означает, что вакуумное состояние Φ0 и электронное поле ψ(x) должны быть определены в гейзенберговском

представлении, в котором учитывается только взаимодействие (14.1.1) с внешним полем. Вставляя полный набор промежуточных состояний

L(1 + iσ × Ñ / 2m)fN O

- iσ × Ñ / 2m)fN Q