Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ΦN в (14.2.2), приходим к выражению этого пропагатора через вве-

денные в предыдущем разделе дираковские волновые функции:

−iSÀ (x, y) = θ(x0 − y0 )å uN (x)uN (y) − θ(y0 − x0 )åvM (x)vM (y) .

N M

(14.2.3) Можно получить пропагатор (14.2.2) и как решение неоднород-

ного уравнения Дирака

которое следует из полевых уравнений (14.1.3) и соотношений антикоммутации (14.1.7), или формально из ряда теории возмущений (14.2.1). Кроме того, из формулы (14.2.3) вытекает, что этот пропагатор удовлетворяет следующим граничным условиям: его фурьеразложение содержит при x0 − y0 → ∞ только «положительночастотные слагаемые», пропорциональные exp(−iE(x0 − y0)) c E > 0, à ïðè x0 − y0 → −∞ — только «отрицательночастотные слагаемые», пропорциональные exp(+iE(x0 − y0)) с Е > 0. Даже в случаях, когда

внешнее поле слишком сильно, и использование ряда теории возмущений (14.2.1) недопустимо, можно с помощью неоднородного уравнения Дирака с такими граничными условиями получить численное решение 4 для пропагатора во внешнем поле. Если только пропагатор найден, амплитуды рассеяния во внешнем поле можно вычислить, используя обычные фейнмановские диаграммы. заменив при этом S(x − y) íà SÀ (x,y) (и включив, где необходимо, соответствую-

щие зависящие от А перенормировочные контрчлены). Посмотрим теперь, как использовать ряд теории возмущений

с пропагатором во внешнем поле для вычисления сдвигов уровней энергии связанных состояний. Рассмотрим полный электронный пропагатор S′À (x,y), учитывающий взаимодействие электрона как с

квантовым электромагнитным полем, так и с внешним полем:

ãäå Ψ(x) — электронное поле в гейзенберговском представлении с учетом всех взаимодействий, а Ω0 — вакуумное состояние полного

гамильтониана. В случае независящего от времени внешнего потенциала можно найти полный ортонормированный набор собственных состояний ΩN полного гамильтониана с энергиями Е′N. Вставляя сумму

по этим состояниям в произведение операторов в (14.2.5), находим:

(Сумма включает интегрирование по непрерывному спектру и суммирование по дискретным связанным состояниям. Как и ранее, UN è VN не равны нулю, только если заряд состояния ΩN равен −å èëè

+е, соответственно.) Можно переопределить этот пропагатор, задав его как функцию энергии, а не времени:

В частности, S′À (x,y;E) имеет полюса в точках, отвечающих как

энергии любого связанного состояния электрона, так и взятой с обратным знаком энергии связанного состояния позитрона. (Конечно, у позитронов нет связанных состояний в кулоновском поле обычного положительно заряженного ядра.)

Рассмотрим теперь радиационные поправки низшего порядка к полному пропагатору. В соответствии с фейнмановскими правилами

полный пропагатор в этом порядке равен S′À = SÀ + dSÀ, ãäå ïî-

правка

dSÀ (x, y) = z d3zz d3w SÀ (x, z) å*À (z, w)SÀ (w, y) , (14.2.11)

а величина i å*À есть сумма всех однопетлевых диаграмм с одной

входящей и одной выходящей электронной линией (исключая последние электронные пропагаторы), вычисленная с использованием пропагатора SÀ (x,y) вместо S(x − y) для внутренних электронных

линий, плюс перенормировочные1 контрчлены второго порядка. Используя вместо временных энергетические переменные, имеем:

dSÀ (x, y; E) = z d3zz d3w SÀ (x, z; E) å*À (z, w; E) SÀ (w, y; E) , (14.2.12)

За счет радиационных поправок изменяются волновые функции:

UN = uN + duN, VN = vN + dvN, и энергии связанных состояний: E′N = EN + dEN, так что полный пропагатор равен:

SÀ′ (x, y; E) g SÀ (x, y; E)

(Мы опустили слагаемые ie, поскольку теперь рассматриваются те

значения Е, которые не принадлежат непрерывному спектру состояний рассеяния.) Видно, что сдвиг dEN энергии связанного со-

стояния электрона определяется коэффициентом при слагаемых -uN (x)uN (y) / (EN - E)2 в полном пропагаторе. Чтобы найти этот ко-

эффициент, заметим, что из (14.2.3) вытекает:

Рис. 14.1. Фейнмановские диаграммы низшего порядка для электронной собственноэнергетической функции å*A (x, y) в присутствии внешнего поля.

Двойные прямые линии изображают пропагатор во внешнем поле SA; одиночные прямые линии — входящие и выходящие электронные линии; волнистые линии — виртуальные фотоны; крестиками изображены перенормировочные контрчлены

где перенормировочные константы (Z2 − 1), (Z3 − 1) è δm вычислены

во втором порядке по е. (Знак «минус» во втором слагаемом привыч- но сопровождает вклад замкнутой фермионной петли.)

В случае сильных внешних полей с Zα порядка единицы, необ-

ходимы численные расчеты электронного пропагатора SÀ в конфигурационном пространстве и интегралов в (14.2.17) и (14.2.18).4 Однако для слабых полей можно подставить несколько первых слагаемых ряда (14.2.1) в (14.2.18) и вычислить эти интегралы в замкнутом виде. Удобнее работать в импульсном представлении, определив