14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах |
781 |
||
SÀ (p¢, p) = d(p¢0 - p0 )SÀ (p¢, p; p0 ) , |
(14.2.26) |
||
å*À (p¢, p) = d(p¢0 - p0 ) å*À (p¢, p; p0 ) . |
(14.2.27) |
||
Сдвиг энергии определяется из (14.2.17) и (14.2.13) в виде: |
|||
dEN = -z d3p¢z d3p |
N (p¢) å*À (p¢, p; EN )uN (p) , |
(14.2.28) |
|
u |
|||
ãäå åÀ*(p¢,p; EN) дается формулами (14.2.23), (14.2.24) и (14.2.27). Это
рабочая формула, которую мы используем в следующем разделе для расчета энергетических сдвигов в слабых внешних полях.
14.3 Лэмбовский сдвиг в легких атомах
Рассмотрим радиационные поправки к уровням энергии нерелятивистского электрона в произвольном электростатическом поле, например, в кулоновском поле легкого ядра с Za n 1. В этом преде-
ле естественно рассматривать кулоновское поле как малое возмущение, но, как мы увидим, это приводит к инфракрасной расходимости, связанной с той, которая обсуждалась в разделе 11.3. На самом деле, инфракрасная расходимость фиктивна, поскольку 4- импульсы р,EN è p¢,EN не лежат на массовой поверхности электро-
на, тем не менее, нам нужно быть внимательными.
Обычно задачу решают, разбив интеграл по энергиям виртуального фотона на область низких энергий, где электроны можно рассматривать нерелятивистски, но учитывать вклады всех порядков по внешнему полю, и область высоких энергий, где следует учитывать релятивистские эффекты, но ограничиться только вкладом первого порядка по внешнему полю.
Мы поступим иначе и введем фиктивную массу фотона m, âû-
брав ее много большей, чем типичные кинетические энергии электрона, но много меньшей типичных импульсов электрона. В случае кулоновского поля это сводится к требованию:
(Za)2 me n m n Zame . |
(14.3.1) |
782 |
Глава 14. Связанные состояния во внешних полях |
Запишем фотонный пропагатор в первых двух слагаемых правой части формулы (14.2.24) (включая выражения для контрчленов Z2 − 1 è Z2dm) â âèäå:
1 |
L |
1 |
O |
L |
1 |
1 |
O |
||||||||||||||
= M |
P |
+ M |
- |
P . |
(14.3.2) |
||||||||||||||||
2 |
- ie |
2 |
+ m |
2 |
2 |
- ie |
2 |
+ m |
2 |
||||||||||||
k |
N k |
- ie Q |
N k |
k |
- ie Q |
||||||||||||||||
Сдвиг энергии является, соответственно, суммой двух слагаемых, отвечающих «высоким энергиям» и «низким энергиям». Слагаемое, отвечающее высоким энергиям, вычисляется путем подстановки первого слагаемого в фотонном пропагаторе (14.3.2) в три первых слагаемых правой части (14.2.24) и прибавления результата к двум последним слагаемым в (14.2.24) (отвечающим поляризации вакуума), которые в любом случае не содержат инфракрасной расходимости. Слагаемое, отвечающее низким энергиям, вычисляется подстановкой второго слагаемого из (14.3.2) в три первых слагаемых в (14.2.24). Одним из преимуществ такой процедуры является то, что удается непосредствено воспользоваться результатами релятивистских вы- числений из разделов 11.3 и 11.4, не занимаясь довольно запутанным переходом от массы фотона к инфракрасному обрезанию по энергии. Конечно, в конце вычислений мы должны убедиться, что зависимость от массы фотона m в слагаемых, отвечающих высоким
и низким энергиям, взаимно сокращается и полный сдвиг энергии не зависит от m.
А. Слагаемое, отвечающее высоким энергиям
Поскольку m выбрано значительно бо1льшим, чем энергии свя-
зи в атоме, можно оставить только слагаемые низшего порядка по внешнему полю. Однопетлевая радиационная поправка к атомным уровням энергии в произвольном не зависящем от времени внешнем вектор-потенциале А μ(x) определяется в импульсном представ-
лении выражением (14.2.28), где собственноэнергетическая вставка åÀ (p¢,p) дается формулами (14.2.24) и (14.2.23). Слагаемые нулевого
порядка по внешнему полю просто сокращаются: слагаемое, пропорциональное dm, сокращается с первым слагаемым при А = 0; слагаемое, пропорциональное Z3 - 1, сокращается с третьим слагаемым при А = 0; наконец, слагаемые, пропорциональные Z2 - 1,
обращаются в нуль, поскольку u(p) удовлетворяет уравнению
14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах |
783 |
Дирака. Слагаемое первого порядка по А μ â å À (p¢,p) можно пред-
ставить в виде:
åÀ |
1 |
(p¢, p) |
= -ieÀμ (p¢ - p)Gμ |
(p¢, p) , |
(14.3.3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
μ |
(p¢, p) |
ie2 |
X |
d4k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G1 |
= |
Y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2p)4 |
- ie |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z k2 + m2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L |
-i |
p¢ - |
/ |
+ |
m |
O |
L |
- |
i(p |
- |
/ |
+ |
m |
O |
|||||||||||||||||||||||||||||||
( |
/ |
k) |
e |
k) |
e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
´ M |
P g μ M |
/ |
P + (Z2 |
- 1) g μ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N(p¢ - k)2 + me2 - ie Q |
N(p - k)2 + me2 - ie Q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ie |
2 |
g ν |
1 |
X |
R |
-il/ + m |
O |
L -il/ - ip¢ + ip |
+ m |
O |
U |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|L |
e |
e |
| |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- |
Y d4l |
TrSM |
P g μ |
M |
/ |
/ |
P g ν V |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2p)4 (p - p¢)2 |
- ie |
+ m |
+ p |
¢ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|N l2 |
2 Q |
N (l |
- p)2 + m2 Q |
| |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T |
e |
e |
W |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- |
Z3 |
- 1 |
(p¢ |
- p) |
2 |
hμν - (p¢ - p)μ (p¢ - p) ν |
g |
ν |
. |
(14.3.4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(p¢ - p)2 - ie |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сравнение двух первых слагаемых этого выражения с формулами (11.3.1) и (11.3.8), а двух последних − с формулами (11.3.9), (11.2.3) и (11.2.15) показывает, что G1μ(p′,p) является полной одно-
петлевой вершинной функцией, включающей поляризацию вакуума и все контрчлены, матричные элементы которой на массовой оболочке уже были вычислены в разделе 11.3. Используя представления (14.2.26) и (14.2.25), соответствующий вклад в сдвиг энергии (14.2.28)можно записать в виде
dEN |
высокие |
энергии = iez d3p¢z d3p |
(14.3.5) |
||||
´ e |
N (p¢)G1μ |
(p¢, EN¢ , p, EN )uN (p)j Àμ (p¢ - p) . |
|||||
u |
|||||||
(Вид этой формулы можно было бы угадать, просто заменив gμ в вершине взаимодействия электрона с внешним полем на G1μ.) Как обсуждалось в разделе 14.1, в силу неравенства Za n 1 можно ап-
проксимировать дираковскую волновую функцию uN в (14.3.5) выражением:
uN (p) |
α = å uα (p, s) |
fN (p) |
σ , |
(14.3.6) |
|||
σ |
|||||||