Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ñ Λ00 ≤ −1, то всякое лоренцовское преобразование, которое

может быть получено из единичного преобразования путем непрерывного изменения параметров, должно иметь Det Λ è Λ00

того же знака, что и само единичное преобразование, т. е. должно принадлежать собственной ортохронной группе Лоренца.

Всякое преобразование Лоренца — либо собственное и ортохронное, либо может быть записано как произведение элемента собственной ортохронной группы Лоренца и одного из дискретных преобразований P, T или P T, где P — матрица пространственной инверсии, ненулевые элементы которой равны

а T — матрица обращения времени с ненулевыми элементами

Таким образом, изучение всей группы Лоренца сводится к изуче- нию собственной ортохронной подгруппы, а также пространственной инверсии и отражения времени. Мы рассмотрим пространственную инверсию и отражение времени отдельно в разделе 2.6. До этого будем изучать только однородную или неоднородную собственную ортохронную группу Лоренца.

2.4. Алгебра Пуанкаре

Как мы видели в разделе 2.2, многое о любой группе симметрии, являющейся группой Ли, можно узнать, изучая групповые элементы вблизи единицы. В случае неоднородной группы Лоренца единицей является преобразование Λμν = δμν, aμ = 0, òàê ÷òî

следует изучать преобразования, имеющие вид

с инфинитезимальными параметрами ωμν è εμ. Условие (2.3.5)

можно записать как

ωσρ ≡ ημσωμρ , ωμρ ≡ ημσωσρ .

Здесь использовано соглашение, которое будет далее применяться во всей книге, что опускание и подъем индексов осуще-

ствляются сверткой с ημν èëè ημν:

Удерживая только слагаемые первого порядка по ω â

условии (2.3.5), находим, что это условие сводится к требованию антисимметрии ωμν:

Антисимметричный тензор второго ранга в четырехмерном пространстве имеет (4×3)/2 = 6 независимых компонент, так что с учетом четырех компонент εμ неоднородное преобразование Лорен-

ца определяется 6 + 4 = 10 параметрами.

Так как U(1, 0) переводит всякий луч в себя, этот оператор должен быть пропорционален единичному оператору и может быть сделан равным ему путем выбора фазы *. Для инфинитезимального преобразования Лоренца (2.4.1) оператор U(1 + ω, ε) должен быть суммой единичного оператора 1 и слагаемых, линейных по ωρσ è ερ.

Запишем это в виде

Здесь Jρσ è Pρ — не зависящие от ω è ε операторы, а многоточие соответствует слагаемым более высокого порядка по ω è/èëè ε. Для того, чтобы оператор U(1 + ω, ε) был унитарным, операторы Jρσ è Pρ должны быть эрмитовыми:

* При отсутствии правил суперотбора возможность, что коэффициент пропорциональности зависит от состояния, на которое действует U(1, 0), может быть исключена с помощью тех же рассуждений, которые использовались в разделе 2.2, чтобы исключить возможную зависимость фаз проективных представлений групп симметрии от состояний, на которые эта симметрия действует. Если же действуют правила суперотбора, может оказаться необходимым переопределить U(1, 0), включив фазовые множители, зависящие от сектора, в котором действует этот оператор.

Как будет видно, Р1, Ð2 è Ð3 являются операторами компонент импульса, J23, J31 è J12 — операторами компонент вектора момента импульса, а Р0 — оператором энергии или гамильтонианом.*

Исследуем свойства лоренцовских преобразований операторов Jρσ è Pρ. Рассмотрим произведение

U(Λ, a)U(1 + ω, ε)U−1(Λ, a),

ãäå Λμν è aμ − параметры нового преобразования, не связанные с ω èëè ε. Согласно (2.3.11), произведение U(Λ−1, −Λ−1a)U(Λ, a) равно U(1,0), так что U(Λ−1, −Λ−1a) — оператор, обратный U(Λ, a). Тогда из

(2.3.11) следует, что

U(Λ, a)U(1 + ω, ε)U−1(Λ, a) = U(Λ(1 + ω)Λ−1, Λε − ΛωΛ−1a). (2.4.6)

В первом порядке по ω è ε имеем

U(Λ, a)[21 ωρσ Jρσ − ερPρ )U−1(Λ, a)

(2.4.7)

= 21 (ΛωΛ−1)μν Jμν − (Λε − ΛωΛ−1a)μ Pμ .

Приравнивая коэффициенты при ωρσ è ερ в обоих частях этого

равенства (и пользуясь формулой (2.3.10)), находим:

* Определение генераторов момента импульса (углового момента) диктуется коммутационными соотношениями для Jμν. Однако они не позволяют выбрать между операторами Pμ è –Pμ, так что знак слагаемого ερPρ в (2.4.3) является

предметом соглашения. Совместимость (2.4.3) с обычным определением гамильтониана Р0 показана в разделе 3.1.

Для однородных преобразований Лоренца (aμ = 0) из этих выражений просто следует, что Jμν есть тензор, а Pμ — вектор. Для чистых трансляций (Λμν = δμν) из этих формул следует, что Pρ является трансляционно−инвариантной величиной, а Jρσ — нет. В частности, изменение пространственно−пространственных компонент Jρσ в результате пространственной трансляции соответ-

ствует обычному изменению углового момента за счет переноса начала координат, по отношению к которому вычисляется угловой момент.

Далее, применим правила (2.4.8), (2.4.9) к преобразованию, которое само является бесконечно малым. Иначе говоря, выберем матрицу Λμν = δμν + ωμν, aμ = εμ, где бесконечно малые величины ωμν è εμ не связаны с предыдущими ω è ε. Пользуясь формулой (2.4.3) и сохраняя только слагаемые первого порядка по ωμν è εμ, находим,

что формулы (2.4.8) и (2.4.9) принимают вид:

Они определяют алгебру Ли группы Пуанкаре.

В квантовой механике особую роль играют те операторы, которые сохраняются, т. е. коммутируют с оператором энергии H = P0. Из формул (2.4.13) и (2.4.14) следует, что такими операторами являются 3-вектор импульса

Эти генераторы не сохраняются, и поэтому мы не приписываем физическим состояниям собственных значений K. В трехмерных обозначениях коммутационные соотношения (2.4.12), (2.4.13) и (2.4.14) можно записать в виде:

где i, j, k принимают значения 1, 2, 3, а εijk — полностью антисимметричный тензор с ε123 = +1. Видно, что коммутационные

соотношения (2.4.18) совпадают с коммутационными соотношениями для компонент оператора углового момента.

Чистые трансляции T(1, a) образуют подгруппу неоднородной группы Лоренца с вытекающим из (2.3.8) правилом группового умножения

Оно аддитивно в том же смысле, что и (2.2.24), так что, используя (2.4.3) и повторяя рассуждения, приведшие к (2.2.26),