Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ãäå ni — целые числа, а L3 ≡ V. Тогда все трехмерные дельта−функции

можно записать в виде

ãäå δp′,p — обычный дельта-символ Кронекера, равный единице,

когда индексы совпадают, и нулю, когда они разные. Из условия нормировки (3.1.2) следует, что для используемых нами состояний скалярные произведения в ящике не равны просто суммам произведений кронекеровских дельта-символов, а содержат дополнительный множитель [V/(2π)3]N, где N — число частиц в состоя-

нии. Чтобы вычислить вероятности переходов, нужно использовать состояния с единичной нормой, поэтому введем нормированные в ящике состояния как

ãäå δαβ — произведение кронекеровских дельта-символов для всех

3-импульсов, спинов и индексов сортов частиц плюс слагаемые с переставленными частицами. Соответственно, можно записать S-матрицу в виде

ãäå Sbaÿùèê вычисляется по состояниями (3.4.3).

Конечно, если оставить частицы в ящике навсегда, то каждый возможный переход будет повторяться вновь и вновь. Чтобы вы- числить разумную вероятность перехода, следует заключить систему и в «ящик по времени». Предположим, что взаимодействие включается только на время Т. Отсюда немедленно следует, что дельта-функция, выражающая закон сохранения энергии, заменяется на

Вероятность того, что многочастичная система, находившаяся до включения взаимодействия в состоянии a, окажется после выклю- чения взаимодействия в состоянии b, равна

Это выражение представляет вероятность перехода в одно конкретное состояние b в ящике. Число одночастичных ящичных

состояний в заданном элементе объема импульсного пространства d3p равно Vd3p/(2p)3, т. к. это есть число тех троек целых числе n1, n2, n3, для которых импульс (3.4.1) попадает в элемент объема импульсного пространства d3p в окрестности p. Можно определить интервал конечных состояний db как произведение d3p для каждой

конечной частицы, так что полное число состояний в этом интервале

Отсюда полная вероятность того, что система окажется в интервале db конечных состояний, равна

В этом разделе мы ограничимся рассмотрением таких конечных состояний b, которые не только отличаются (хотя и немного) от начального состояния a, но и удовлетворяют более жесткому

ограничению, заключающемуся в том, что ни одно подмножество частиц в состоянии b (отличное от всего множества) не имеет точно

того же 4-импульса, что и соответствующее подмножество частиц в состоянии a. (На языке, который будет введен в следующей главе,

это на самом деле означает, что мы рассматриваем только связную часть S-матрицы.) Для таких состояний можно определить не содержащий дельта-функций матричный элемент Mβα:

Введение ящика позволяет интерпретировать квадраты дельта- функций в |Sβα|2 ïðè b ¹ a следующим образом:

так что из (3.4.9) имеем дифференциальную вероятность перехода dP(α → β) = (2π)2 (2π)3 VNα −1(T / 2π)| Mβα |2

× δ3V (pβ − pα )δT (Eβ − Eα )dβ .

Если считать V и Т очень большими, произведение дельта− функций можно рассматривать как обычную четырехмерную дельта− функцию δ4(pβ − pα). В этом пределе вероятность перехода пропор-

циональна времени Т, в течение которого включено взаимодействие, причем коэффициент пропорциональности можно интерпретировать как дифференциальную вероятность перехода

Это основная формула, применяемая для интерпретации вычислений элементов S−матрицы в терминах предсказаний для

реальных экспериментов. Ниже в этом разделе мы еще вернемся к интерпретации множителя δ4(pβ − pα)dβ.

Два случая особенно важны.

Nα = 1. В этом случае объем V в формуле (3.4.11) сокращается, и получается вероятность распада одночастичного состояния α в произвольное многочастичное состояние β:

Конечно, эта формула имеет смысл только в случае, если время Т, в течение которого происходит взаимодействие, много меньше среднего времени жизни τα частицы α, поэтому нельзя перейти

к пределу Т ® ¥ â dT(Eα - Eβ). В этой дельта-функции остается неустранимая ширина DE g 1/T l 1/tα, так что формула (3.4.13) применима только в случае, когда полная ширина распада 1/tα много

меньше, чем любая характерная энергия процесса.

Nα = 2. В этом случае вероятность (3.4.11) пропорциональна

1/V, иными словами, плотности какой-то из частиц в том месте, где находится другая. Экспериментаторы предпочитают измерять не вероятность, деленную на плотность, а вероятность, отнесенную к потоку частиц, или сечение. Поток каждой частицы в том месте, где находится другая, определяется как произведение плотности 1/V и относительной скорости uα:

(Общее определение uα дано ниже; пока что ограничимся частным случаем: если одна из частиц покоится, то uα определяется как

скорость другой частицы.) Таким образом, дифференциальное се- чение равно:

Хотя наиболее важны случаи Nα = 1 è Nα = 2, в принципе измеримы и вероятности переходов для Nα ³ 3, причем некоторые

из них играют важную роль в химии, астрофизике и т. п. (Например, в одной из основных реакций с высвобождением энергии на Солнце два протона и электрон превращаются в дейтрон и нейтрино.) В разделе 3.6 приведены примеры использования основной формулы для вероятностей переходов (3.4.11) в случае произвольного числа начальных частиц Nα.

Обсудим теперь вопрос о свойствах лоренцовских преобразований вероятностей и сечений. Это поможет дать более общее определение относительной скорости uα в (3.4.15). Правило лоренцовского преобразования (3.3.1) для S-матрицы усложнено

наличием зависящих от импульса матриц, связанных со спином каждой частицы. Чтобы обойти это усложнение, рассмотрим квадрат модуля (3.3.1) (выделив предварительно лоренц-инвариантную дельта-функцию согласно (3.4.12)) и просуммируем по всем спинам.

Тогда из унитарности матриц Dσ(jσ) (W) (или их аналогов для частиц

нулевой массы) следует, что, если не считать энергетических множителей в (3.3.1), такая сумма лоренц-инвариантна. Иными словами, величина

является скалярной функцией 4-импульсов частиц в состояниях α è β. (Символы произведений ∏αE è ∏βE означают произведение энергий p0 = p2 + m2 всех частиц в состояниях α è β.)

Теперь можно записать просуммированную по спинам вероятность распада (3.4.13) в виде

å dΓ(α → β) = 2πEα−1Rβαδ4(pβ − pα)dβ / ∏β E .

спины

Множитель dβ/∏βE представляет произведение лоренц-инвари-

антных элементов объема (2.5.15) в импульсном пространстве, поэтому он сам лоренц-инвариантен. Также инвариантными являются множители Rβα è δ4(pβ − pα), и остается единственный неинвариантный множитель 1/Eα, ãäå Eα — энергия единственной начальной

частицы. Отсюда можно сделать вывод, что под действием лоренцовских преобразований вероятность распада частицы преобразуется как 1/Eα. Конечно, это обычное релятивистское

сокращение времени — чем быстрее частица, тем медленнее она распадается (с точки зрения неподвижного наблюдателя).

Аналогично, формула (3.4.15) для просуммированного по спинам сечения может быть записана в виде

å dσ(α − β) = (2π)4 uα−1E1−1E2−1Rβαδ4 (pα − pβ )dβ / ∏ E ,

спины β

ãäå Å1 è Å2 — энергии двух частиц в начальном состоянии α. Принято определять сечение (после суммирования по спинам) как лоренц− инвариантную функцию 4-импульсов. Множители Rβα, δ4(pβ − pα) è dβ/∏βE уже лоренц-инвариантны, поэтому такое условие означает, что нужно так определить относительную скорость uα, чтобы в произвольной инерциальной системе отсчета произведение uαE1E2

было скаляром. Ранее отмечалось, что в инерциальной системе