5.2. Причинные скалярные поля |
273 |
Pϕ+ (x)P−1 = η*ϕ+ (P x), |
(5.2.16) |
Pϕ+c† (x)P−1 = ηcϕ+c† (P x), |
(5.2.17) |
где, как и ранее, P x = (–x, x0). Таким образом, действие пространственной инверсии в общем случае переводит скалярное поле ϕ(x) =
ϕ+(x) + ϕ+c†(x) в другое поле ϕP = η*ϕ+ + ηcϕ+c†. Оба поля по отдельности являются причинными, но если допустить, что ϕ è ϕP†
входят в одно взаимодействие, то возникают трудности, так как эти поля в общем случае не коммутируют на пространственноподобных расстояниях. Единственный способ не нарушить лоренц– инвариантность, сохранение четности и эрмитовость взаимодействия заключается в требовании, чтобы ϕP было пропорциональным ϕ, откуда
ηc = η*. |
(5.2.18) |
Итак, внутренняя четность ηηc системы, состоящей из бесспи-
новой частицы и ее античастицуы, равна +1 (другими словами, такая система является четной). Теперь
Pϕ(x)P−1 = η*ϕ(P x). |
(5.2.19) |
Эти результаты применимы и в случае, когда бесспиновая частица совпадает со своей античастицей. В этом случае ηc = η, откуда
следует, что внутренняя четность такой частицы действительна, η = ±1.
Рассмотрение зарядового сопряжения во многом аналогично. Из результатов раздела 4.2 имеем
Ca(p)C−1 = ξ*ac (p), |
(5.2.20) |
Cac† (p)C−1 = ξca† (p), |
(5.2.21) |
ãäå ξ è ξc — фазы, связанные с зарядовым сопряжением одночас-
тичных состояний. Отсюда следует, что
Cϕ+ (x)C−1 = ξ*ϕ+c (x), |
(5.2.22) |
Cϕ+c† (x)C−1 = ξcϕ+† (x). |
(5.2.23) |
274 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
Ïîëå Cϕ(x)C–1 должно быть пропорционально полю ϕ(x), с которым
оно коммутирует на пространственноподобных расстояниях. Оче- видно, для этого необходимо, чтобы
ξc = ξ* . |
(5.2.24) |
Как и в случае обычной четности, внутренняя зарядовая четность ξξc состояния, содержащего бесспиновую частицу и ее античастицу,
является четной. Теперь
Cϕ(x)C−1 = ξ*ϕ† (x). |
(5.2.25) |
Как и выше, эти результаты применимы в случае, когда частица совпадает со своей античастицей, и ξc = ξ. Зарядовая четность должна быть при этом действительна, ξ = ±1.
Обратимся, наконец, к обращению времени. Из результатов раздела 4.2 находим:
Ta(p)T−1 = ζ*a(−p), |
(5.2.26) |
Tac† (p)T−1 = ζcac† (−p). |
(5.2.27) |
Вспоминая, что оператор Т антиунитарен, и вновь меняя переменную интегрирования р на −р, находим:
Tϕ+ (x)T−1 = ζ*ϕ+ (−P x), |
(5.2.28) |
Tϕ+c† (x)T−1 = ζcϕ+c† (−P x). |
(5.2.29) |
Чтобы Tϕ(x)T–1 было простым образом связано с полем ϕ â îáðà-
щенной по времени точке –P x, должно выполняться равенство
ζc = ζ* , |
(5. 2.30) |
и поэтому |
|
Tϕ(x)T−1 = ζ*ϕ(−P x). |
(5.2.31) |
5.3. Причинные векторные поля |
275 |
5.3 Причинные векторные поля
Рассмотрим следующее по простоте поле, преобразующееся как четырехмерный вектор, т. е. по простейшему нетривиальному представлению однородной группы Лоренца. В современной физике элементарных частиц все большую роль играют массивные частицы W± è Z0, которые при низких энергиях описываются
такими полями. Поэтому наше рассмотрение представляет не только педагогический интерес. (Кроме того, хотя мы и рассматриваем массивные частицы, в квантовой электродинамике возможен подход, при котором фотон описывается как массивное векторное поле в пределе очень малой массы.) Сначала будем считать, что векторное поле описывает только один тип частиц (опуская при этом индекс n). Затем мы учтем возможность того, что поле описывает как частицу, так и соответствующую античастицу.
В 4-векторном представлении группы Лоренца строки и столбцы матриц представления D(Λ) помечены индексами μ, ν è ò. ä.,
принимающими четыре значения, причем
D(Λ)μ n ≡ Λμ n . |
(5.3.1) |
Части векторного поля, отвечающие уничтожению и рождению частиц, записываются в виде:
ϕ+m (x) = å(2π)-3/2 z d3p um (p, σ)a(p, σ)eip×x , |
(5.3.2) |
s |
|
ϕ-m (x) = å(2π)-3/2 z d3p vm (p, σ)a(p, σ)e-ip×x . |
(5.3.3) |
s |
Коэффициентные функции uμ(p,σ) è vμ(p,σ) при произвольном им-
пульсе с помощью формул (5.1.21) и (5.1.22) выражаются через эти же функции при нулевом импульсе:
uμ (p, σ) = (m/ p0)1/2 L(p)μ n uν (0, σ), |
(5.3.4) |
vμ (p, σ) = (m/ p0)1/2 L(p)μ n vν (0, σ) |
(5.3.5) |