Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

5.3. Причинные векторные поля								277

Напомним к тому же известную формулу:	(	J(j) 2	=	j(j	+	δ	σσ .	Èç
	(	)σσ		j(j		1)	σσ .

формул (5.3.12)–(5.3.15) вытекает, что существуют две возможности для значений спина частицы, которая описывается векторным полем: либо j = 0, и тогда при p = 0 только u0 è v0 отличны от нуля, либо j = 1 (и j (j + 1) = 2), и при этом при p = 0 отличны от нуля только пространственные компоненты ui è vi.

Рассмотрим эти возможности детальнее.

Ñïèí íóëü

Подходящим выбором нормировки полей можно записать единственные ненулевые компоненты 4-векторов uμ(0) è vμ(0) â îáùå-

принятом виде:

u0 (0) = i(m / 2)1/2 , v0 (0) = −i(m / 2)1/2 .

(Индекс s принимает в этом случае единственное значение нуль и поэтому опущен.) В случае произвольного импульса из формул (5.3.4) и (5.3.5) следует:

uμ (p) = ipμ (2p0 )−1/2 ,	(5.3.16)
vμ (p) = −ipμ (2p0 )−1/2 .	(5.3.17)

Векторные поля уничтожения и рождения в данном случае являются не чем иным, как производными от скалярных полей уничтожения и рождения для рассмотренных выше бесспиновых частиц:

ϕ+μ (x) = ∂μϕ+ (x),

ϕ−μ (x) = ∂μ ϕ− (x).

(5.3.18)

Очевидно, что причинное векторное поле для скалярной частицы есть производная причинного скалярного поля:

ϕμ (x) = ϕ+μ (x) + ϕ−μ (x) = ∂μϕ(x).

(5.3.19)

Таким образом, этот случай можно далее не рассматривать.

278	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Спин единица

Из формул (5.3.6) и (5.3.7) сразу же следует, что при s = 0

векторы ui(0,0) è vi(0,0) направлены вдоль третьей оси. При подходящей нормировке полей можно выбрать эти векторы в виде

		L0O
	(0,0) = vμ	M P
uμ	(0,0) = vμ	(0,0) = (2m)−1/2 M0P	,	(5.3.20)
		M1P		(5.3.20)

M P

N0Q

где 4-компоненты перечислены в порядке 1, 2, 3, 0. Чтобы найти другие компоненты, используем формулы (5.3.6), (5.3.7) и (5.3.9) и вычислим результат действия повышающих и понижающих опера-

торов J1(1) ± iJ2(1) на u и v. Получим:

uμ (0,+1) = -vμ (0,-1) = -

uμ (0,-1) = -vμ (0,+1) = -

			é 1		ù
1		−1/2	ê+ iú
	(2m)		ê	0	ú,
2			ê	0	ú
			ê	0	ú
			ë		û

		L 1 O
1		M−iP
	(2m)	−1/2 M	P .
	(2m)	−1/2 M	P .
2		M 0	P
		M	P
		N 0	Q

С помощью формул (5.3.4) и (5.3.5) находим:

uμ (p, σ) = vμ* (p, σ) = (2p0 )−1/2 eμ (p, σ),

ãäå

eμ (p, σ) ≡ Lμ ν (p)eν (0, σ) ,

é0 ù

eμ (0,0) = êê0 úú

, eμ (0,+1) = -

êê+ i

úú, eμ (0,-1) =

êê− i

úú.

ê1ú

2 ê 0

ê ú

ë û

(5.3.21)

(5.3.22)

(5 3.23)

(5.3.24)

(5.3.25)

5.3. Причинные векторные поля						279

Теперь поля уничтожения и рождения принимают вид
	ås	X	d3p
ϕ+m (x) = ϕ-m† (x) = (2π)-3/2		Y			em (p, σ)a(p, σ)eip×x .	(5.3.26)


		Z		2p0

Конечно, поля ϕ+μ(x) è ϕ+ν(y) коммутируют (или антикоммутируют) для всех x и y. Но это не относится к полям ϕ+μ(x) è ϕ−ν(y).

Коммутатор (для бозонов) или антикоммутатор (для фермионов) этих полей равен

	ϕ+m (x), ϕ-n(y)		X	d3p	eip×(x-y)Πmn
			X	d3p
			= Y			(p) ,	(5.3.27)
		m	= Y	(2π)3 2p0		(p) ,	(5.3.27)
ãäå		m	Z	(2π)3 2p0
ãäå	Πμν (p) ≡ åeμ (p, σ)eν* (p, σ) .
	Πμν (p) ≡ åeμ (p, σ)eν* (p, σ) .						(5.3.28)
			s

Непосредственное вычисление с помощью (5.3.25) показывает, что Πμν(0) является проекционной матрицей на пространство, ортого-

нальное направлению временной оси. Тогда из (5.3.24) следует, что

Πμν(p) есть проекционная матрица на пространство, ортогональное 4-вектору pμ:

Πμν (p) = ημν + pμ pν / m2 .

(5.3.29)

Коммутатор (или антикоммутатор) (5.3.27) можно выразить через функцию +, которую мы определили в предыдущем разделе:

+ (x − y).

(5.3.30)

Важное свойство этого выражения заключается в том, что оно не обращается в нуль при пространственноподобных x − y и четно относительно x − y. Поэтому можно повторить рассуждения преды-

дущего раздела для построения причинного поля. Образуем линейную комбинацию полей уничтожения и рождения

vμ (x) ≡ κϕ+μ (x) + λϕ−μ (x),

280			Глава 5.	Квантовые поля и античастицы

для которой при пространственноподобных x − y
[vm (x), vn (y)]			L	ηmn −	∂m∂n O			(x − y) ,
[vm (x), vn (y)]		m	= κλ[1 m 1]M	ηmn −		P	+	(x − y) ,
		m	M		m2 P		+
			N			Q
				L		∂m∂n O
[vm (x), vn† (y)]	m		= (\| κ\|2 m\| λ\|2 )Mηmn		−		P	+	(x − y).
[vm (x), vn† (y)]			= (\| κ\|2 m\| λ\|2 )Mηmn		−	m2	P		(x − y).
				M		m2	P
				N			Q

Для обращения в нуль обоих выражений при пространственноподобных x − y необходимо и достаточно, чтобы частицы со спином единица были бозонами, и |κ| = |λ|. Подходящим выбором фазы одночастич- ных состояний можно добиться, чтобы κ è λ имели одинаковую фазу, так что κ = λ, а затем устранить общий множитель κ,

переопределив общую нормировку поля. В результате причинное векторное поле массивной частицы со спином единица имеет вид:

vμ (x) = ϕ+μ (x) + ϕ+μ† (x).

(5.3.31)

Заметим, что поле действительно:

vμ (x) = vμ† (x).

(5.3.32)

Однако если частицы, которые описываются этим полем, обладают ненулевым значением какого-то сохраняющегося квантового числа Q, то невозможно построить из такого поля сохраняющее Q взаимодействие. Следует предположить, что существует другой бозон той же массы и спина, обладающий противоположным значением Q, и построить причинное поле как

	vμ (x) = ϕ+μ (x) + ϕ+cμ† (x) ,					(5.3.33)
или, подробнее,
vm (x) = (2π)	-3/2	ås	X	d3p
			Y

					2p0
			Z		2p0	(5.3.34)

× [em (p, σ)a(p, σ)eip×x + em* (p, σ)ac† (p, σ)e-ip×x ],

5.3. Причинные векторные поля	281

где верхний индекс «с» отмечает операторы, рождающие античастицу, которая зарядово сопряжена к частице, уничтожаемой полем ϕ+μ(x). Полученное поле причинно, но более не действительно.

Эта же формула применима и в случае полностью нейтральной частицы со спином единица, совпадающей со своей античастицей, если положить ac(p) = a(p). В любом случае коммутатор векторного поля и сопряженного ему поля равен

vμ	(x), vν† (y)	L	ημν −	∂μ ∂ν O

		= M		m2	P
		N			Q

(x − y),	(5.3.35)

ãäå (x − y) — функция (5.2.13).

Построенные нами для массивной частицы со спином единица действительные и комплексные поля удовлетворяют интересным полевым уравнениям. Во-первых, так как pμ в экспоненте в формуле (5.3.26) удовлетворяет условию p2 = −m2, поле удовле-

творяет такому же, как и для скалярного поля, уравнению Клей- на–Гордона

(9 − m2 )vμ (x) = 0,	(5.3.36)
Кроме того, поскольку из (5.3.24) следует, что
eμ (p, σ)pμ = 0,	(5.3.37)
имеем еще одно уравнение:
∂μvμ (x) = 0.	(5.3.38)

В пределе малой массы уравнения (5.3.36) и (5.3.38) превращаются в уравнения электродинамики для 4-вектора потенциала в так называемой калибровке Лоренца.

Однако никакая теория массивных частиц со спином единица при устремлении массы к нулю не превращается в электродинамику. Причину этого можно увидеть, рассмотрев вероятность образования частицы со спином единица за счет взаимодействия с плотностью гамильтониана H = Jμvμ, ãäå Jμ — произвольный 4-вектор тока.

Возводя матричный элемент в квадрат и суммируя по проекциям

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280974

ϕ+m (x), ϕ-n (y)





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)