322 Глава 5. Квантовые поля и античастицы
Чтобы вычислить u*, используем предыдущий результат:
J(j)* = −CJ(j)C −1 , C |
ss |
(−1)j −σ δ |
s,-s |
. |
Коэффициенты Клебша-Гордана в (5.7.14) действительны, так что
BA |
* |
1 |
$ |
(A) |
$ |
(B) |
|||||||
uba |
(p, s) |
= |
åcexp(-p × J |
(q)h |
-a,-a¢ cexp(p × J |
(q)h-b,-b¢ |
|||||||
2p |
0 |
||||||||||||
a¢b¢ |
|||||||||||||
´ (-1)a¢-a (-1)b¢-b CBA (js; a¢b¢) .
Используем свойство отражения для коэффициентов Клебша-Ãîð-
äàíà14:
CBA(j,−σ;−b,−a′) = CAB(jσ; a′b′) |
(5.7.48) |
и то, что эти коэффициенты равны нулю во всех случаях, кроме a¢ + b¢ = s. Тогда
u-BAb,-a(p,−σ)* = (−1)a+b−σ uabAB(p, σ) . |
(5.7.49) |
Отсюда сопряженное поле (5.7.47) принимает вид (мы делаем замену a ® -a, b ® -b, s ® -s):
yBA† (x) = (2p)-3/2 å z d3p (-1)a+b-s uAB(p, s)
-b,-a ab s
´ (-1)2A (-1)j +s ac (p, s)eip×x + a†(p, s)e-ip×x .
Используя соотношение между знаками (-1)−2A−j = (-1)2B+j, получа-
åì:
(-1)-2A-a-b-j y-BAb,-†a (x) = (2p)-3/2 å z d3p uabAB(p, s) |
||||
s |
(5. 7. 50) |
|||
´ |
ac (p, s)eip×x + (-1)j-s+2B a†(p,-s)e-ip×x |
|||
. |
||||
Для того, чтобы поле CψabAB(x)C−1 коммутировало или антикомму-
тировало со всеми обычными полями на пространственноподобных
5.7. Причинные поля. Общий случай |
323 |
расстояниях, необходимо, чтобы оно было пропорционально ψ -BAb,-†a,
так как это поле сопряжено к единственному причинному полю типа (А, В). Сравнивая (5.7.50) с (5.7.46), видим, что это возможно только в случае, если зарядовые четности связаны соотношением
ξ* = ξc |
(5.7.51) |
|
и тогда |
||
BA† |
(x) . |
(5.7.52) |
CψabAB(x)C-1 = ξ* (−1)-2A-a-b- j ψ -b,-a |
Мы уже обсуждали соотношение (5.7.51) для спинов 0, 1 и 1/2 в разделах 5.2, 5.3 и 5.5, а также рассмотрели некоторые применения этого правила для анализа состояний электрон-позитронных и кваркантикварковых пар.
В частности, для частицы, совпадающей со своей античастицей, в формуле (5.7.52) следует опустить оператор зарядового сопряжения в левой части и множитель ξ* в правой:
BA† |
(x) . |
(5.7.53) |
ψabAB(x) = (−1)-2A-a-b- j ψ -b,-a |
Пример такого условия дейcтвительности уже рассматривался в разделе 5.5. для майорановских частиц.
Перейдем, наконец, к обращению времени. Действие на операторы уничтожения частиц и рождения античастиц имеет вид
Ta(p, σ)T−1 |
= ζ* (−1)j −σ a(−p,−σ), |
(5.7.54) |
||||||
Tañ† (p, σ)T−1 |
= ζñ (−1)j − σ añ† (−p,−σ). |
(5.7.55) |
||||||
Отсюда неприводимое поле (5.7.31) преобразуется по правилу |
||||||||
Tψ AB (x)T-1 |
= (2π)-3/2 |
ås z |
||||||
d3p uAB* (p, σ)(−1)j -s |
||||||||
ab |
ab |
|||||||
× |
ζ*ac (−p,−σ)e-ip×x + ζc (−1)2B ac†(−p,−σ)eip×x |
(5.7.56) |
||||||
. |
||||||||
Чтобы вычислить комлексно сопряженные коэффициентные функции, используем (5.7.14) и стандартную формулу 14
C |
AB |
(j, σ; a, b) = (−1)A+ B− j C |
AB |
(j,−σ;−a,−b), |
(5.7.57) |
324 Глава 5. Квантовые поля и античастицы
Тогда
uabAB* (−p,−σ) = (−1)a+b+σ + A+ B− j u−ABa,−b(p, σ). |
(5.7.58) |
Меняя переменные интегрирования и суммирования в (5.7.56) на -ð è -s, находим, что для того, чтобы поле (А, В) при обращении
времени преобразовывалось в поле, пропорциональное другому (А, В) полю, необходимо выполнение условия
zc = z*, |
(5.7.59) |
и в этом случае
AB |
(x)T |
−1 |
= (−1) |
a+b+ A+ B−2j |
AB |
0 |
). |
(5.7.60) |
Tψab |
ψ−a,−b(x,−x |
* * *
Следует отметить, что время от времени сообщается о разных трудностях в теории частиц со спином ³ 3/2 15. В общем случае они
проявляются при изучении распространения полей с высшими спинами в присутствии с-числового внешнего поля. В зависимости от деталей теории, возникающие трудности включают отсутствие причинности, несовместность уравнений, нефизические массовые состояния и нарушение унитарности. Я не собираюсь подробно анализировать эти проблемы, поскольку мне кажется, что они не имеют отношения к той расчетной схеме, которая описана в данной главе, по следующим причинам.
1. Ïîëÿ yab(x) были построены здесь непосредственно из опе-
раторов уничтожения и рождения физических частиц, так что не может возникать никаких вопросов о несовместимости с уравнениями или о нефизических массовых состояниях. Построенные поля свободны, но включив их в плотность гамильтониана взаимодействия в картине взаимодействия, мы можем использовать теорию возмущений для расчета элементов S-матрицы, автоматически удовлетворяющих принципу кластерного разложения. До тех пор, пока гамильтониан взаимодействия эрмитов, не будет никаких трудностей с унитарностью. В рамках теории возмущений гаранти-
5.7. Причинные поля. Общий случай |
325 |
рована и лоренц-инвариантность, пока мы добавляем в плотность гамильтониана подходящие локальные, пусть и нековариантные слагаемые. Хотя строгое доказательство этого отсутствует, нет оснований сомневаться в том, что это всегда возможно. Таким образом, любые трудности с высшими спинами могут возникать только при попытках выйти за рамки теории возмущений.
2.Как обсуждается в разделе 13.6, решение полевых уравнений в присутствии с-числового фонового поля (именно в подобных задачах были обнаружены все проблемы с высшими спинами) действительно требует выхода за рамки теории возмущений, так как результаты соответствуют суммированию бесконечного подмножества слагаемых в ряде теории возмущений. Это частичное суммирование обосновано, даже в случае слабых внешних полей, только если поля достаточно медленно изменяются, причем малость энергетических знаменателей компенсируется слабостью полей. Но полученные таким способом результаты зависят от всех деталей взаимодействия частицы с большим спином с внешними полями — не только от мультипольных моментов частицы, но и от возможных слагаемых во взаимодействии, которые нелинейны по внешним полям. Проблемы с высшими спинами 15 возникали только для таких частиц больших спинов, у которых произвольно предполагалось очень простое взаимодействие с внешними полями. Никто не доказал, что при учете произвольных взаимодействий проблема сохранится., а как мы увидим в гл. 12, следует ожидать, что частицы с высшими спинами обладают всеми возможными взаимодействиями, которые дозволены принципами симметрии.
3.На самом деле, есть серьезные основания полагать, что
проблемы с высшими спинами исчезнут, если взаимодействие с внешними полями будет достаточно сложным. С одной стороны, нет ни малейших сомнений в существовании частиц с высокими спинами, в том числе, различных стабильных ядер и адронных резонансов. Если и существует какая-то проблема, связанная
ñбольшим значением спина, она может касаться только «точечных» частиц, т. е. тех частиц, которые особенно просто взаимодействуют
ñвнешним полем. Следует не забывать, что требование простоты зависит от сделанного нами выбора того поля, которое представляет частицу с высшим спином. Напомним, что любые типы свободных полей для данной частицы могут быть записаны как результат действия оператора производной на любые другие типы полей,
326 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
так что в картине взаимодействия всякое взаимодействие с внешними полями можно записать с помощью любого желательного нам типа поля. Однако взаимодействия, выглядящие просто в случае использования поля одного типа, могут выглядеть сложно, если выразить их через поля другого типа. По этой причине требование простоты, похоже, не имеет никакого реального содержания.
4.Наконец, как многомерные теории типа Калуцы−Клейна, так
èтеории струн дают примеры самосогласованных теорий массив-
ных заряженных частиц со спином 2, взаимодействующих с фоновым электромагнитным полем 16. (Показано, что согласованность теории зависит от предположения о реалистичных внешних полях, удовлетворяющих полевым уравнениям. Этот момент не учи- тывался в ранних работах.) Если переформулировать такие теории в картине взаимодействия, то частица со спином 2 представляется свободным (1, 1) полем. Однако, как отмечено выше, взаимодействия можно выразить в этой картине с помощью любого поля типа (А, В), содержащего представление группы вращений с j = 2.
5.8. СPT-теорема
Мы видели, что сочетание требований теории относительности и квантовой механики приводит к необходимости существования античастиц. Однако необходимо не только то, что каждая частица имеет свою античастицу (в частном случае истинно нейтральные частицы совпадают со своими античастицами). Существует точное соотношение между свойствами частиц и античастиц, которое может быть сформулировано вÑÐÒвиде утверждения, что при подходящем выборе фазÑÐÒпроизведение всех инверсий сохраняется. Это знаменитая -теорема *.
* Первое доказательство этой теоремы принадлежит Людерсу и Паули 17. Строгое доказательство было дано в рамках аксиоматической теории поля 18. В нем предположения о коммутативности использовались для того, чтобы расширить лоренцовскую инвариантность теории до комплексной группы Лоренца, затем с помощью комплексных преобразований Лоренца доказать свойства вакуумных средних от произведений полей относительно отражений, и, наконец, используя эти свойства,ÑÐÒ вывести существование антиунитарного оператора, индуцирующего -преобразования полей.