Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

В качестве первого шага в доказательстве рассмотрим, как произведение СРТ действует на свободные поля разных типов. Из результатов разделов 5.2, 5.3 и 5.5 для скалярного, векторного и дираковского полей получаем:

(Конечно, фазы ζ, ξ è η зависят от сортов частиц, описываемых

каждым полем.) Мы выбираем фазы так, чтобы для всех частиц

Тогда всякий тензор ϕμ1 ...μn , образованный любой совокупностью

скалярных и векторных полей и их производных, преобразуется как

численный коэффициент, возникающий в этих тензорах, преобразуется в комплексно сопряженный.) Нетрудно показать, что такое же правило преобразования применимо для тензоров, построенных из билинейных комбинаций дираковских полей. Применяя к ним формулу (5.8.3), находим:

(Знак «минус» от антикоммутации β è γ5 компенсируется знаком

«минус» от антикоммутации фермионных операторов.) Если билинейный ковариант есть тензор ранга n, то М равно произведению n по модулю 2 дираковских матриц, так что γ5Mγ5 = (–1)nM, è

поэтому билинейный ковариант удовлетворяет соотношению (5.8.5). Эрмитова скалярная плотность гамильтониана взаимодействия H(x) должна строится из тензоров с четным полным числом

пространственно-временных индексов, поэтому

Более общее (и в чем-то более легкое) доказательство теоремы можно дать для эрмитовых скаляров, построенных из полей ψabAB(x) ,

принадлежащих одному или нескольким общим неприводимым представлениям однородной группы Лоренца. Собирая результаты предыдущего раздела для результатов инверсии таких полей, получаем

(Для дираковского поля множитель (–1)2Â в (5.8.8) сопровожда-

Кроме того, в любой теории СРТ коммутирует ÑÐÒс гамильтонианом свободных частиц Н 0. Таким образом, оператор , который был определен здесь своим действием на операторы свободных частиц, действует на ин- и аут-состояния так, как описано в разделе 3.3. Физические следствия этого принципа симметрии уже обсуждались в разделах 3.3 и 3.6.

5.9. Поля безмассовых частиц

До сих пор мы рассматривали только поля массивных частиц. Для некоторых из них, например, для скалярного или дираковского полей, не возникает никаких проблем при переходе к пределу нулевой массы. С другой стороны, в разделе 5.3. мы видели, что для векторного поля частицы со спином 1 такой переход действительно сопряжен с трудностями: по крайней мере один из векторов поляризаций в таком пределе обращается в бесконечность. Мы увидим ниже, что все неприводимые поля (А,В), которые могут быть построены в случае конечной массы, нельзя построить из операторов

рождения и уничтожения физических безмассовых частиц со спином j ³ 1. Такое любопытное ограничение на типы полей естественно

приведет нас к понятию калибровочной инвариантности.

Как и для массивных частиц, попытаемся записать произвольное свободное поле безмассовой частицы как линейную комбинацию операторов уничтожения a(p,s) частиц с импульсом р и спиральностью s и соответствующих операторов рождения ac†(p,s) äëÿ àíòè-

частиц *:

где теперь p0 º |p|. Операторы рождения преобразуются так же, как

одночастичные состояния в (2.5.42):

ãäå pΛ º Lp, à óãîë q определен формулами (2.5.43). Таким образом,

если мы хотим, чтобы поле преобразовывалось по некоторому представлению D(L) однородной группы Лоренца,

* Мы рассматриваем только один сорт частиц и опускаем соответствующую метку n. Кроме того, κ è λ – постоянные коэффициенты, которые

определяются из требования причинности при некотором подходящем выборе нормировки коэффициентных функций ul è vl.

330 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

мы должны потребовать, чтобы коэффициентные функции u и v удовлетворяли вместо (5.1.19) и (5.1.20) соотношениям

(Вновь pΛ ≡ Λp.) Как и в случае массивных частиц, этим требовани-

ям можно удовлетворить, положив (вместо (5.1.21) и (5.1.22)), что

где k — стандартный импульс, например, (0,0,k), а L (p) — стандартное преобразование Лоренца, переводящее безмассовую частицу из состояния с импульсом k в состояние с импульсом p. Кроме того, вместо (5.1.23) и (5.1.24) коэффициентные функции при стандартном импульсе должны удовлетворять соотношениям

ãäå Wμν — произвольный элемент «малой группы» для 4-импульса k

= (k, |k|), т. е. произвольное преобразование Лоренца, оставляющее этот 4-импульс инвариантным.