Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

376 Глава 6. Фейнмановские правила

и бозонов в формулах (6.3.8) и (6.3.9). Общее правило состоит в том, что при использовании матричных обозначений следует выписывать коэффициентные функции, матрицы констант связи и пропагаторы в порядке, который определяется движением вдоль линий против направления, указанного стрелками. В тех же обозначениях S-матрица для бозон−бозонного рассеяния в этой теории будет

даваться суммой однопетлевых диаграмм, показанных на рис. 6.7:

где многоточие в конце означает слагаемые, получающиеся перестановкой бозонов 1′, 2′ и 2. Знак минус перед всем выражением

справа связан с числом фермионных петель.

Отметим, что после снятия интегрирований с помощью дель- та-функций остается только один интеграл по импульсам, как и должно быть для диаграммы с одной петлей. В гл. 11 мы увидим, как вычисляются подобные интегралы по импульсам.

Приведем еще один конкретный пример. Рассмотрим теорию, в которой дираковское спинорное поле ψ(x) массой М взаимодействует с псевдоскалярным полем ϕ(x) массой m, причем гамильтониан

взаимодействия имеет вид − ig ψγ 5ψ ϕ. (Множитель −i включен для

того, чтобы гамильтониан взаимодействия был эрмитовым при действительных константах связи g.)

Напомним, что для скаляра полином Р(q) равен единице, а для спинора он равен [−iγ μqμ + M] β. Кроме того, множитель u для скаляра с энергией Е равен (2Е)−1/2, а для спинора u есть обычным

образом нормированный дираковский спинор, рассмотренный в разделе 5.5.

Из формул (6.3.8)–(6.3.10) в низшем порядке получаем:

(бозон-бозонное рассеяние), где в последней формуле многоточие означает сумму по перестановкам частиц 2, 1′ è 2′. Множители β â

числителях фермионных пропагаторов были использованы для того, чтобы заменить u† íà`u.

* * *

Еще один полезный топологический результат выражает не- что вроде закона сохранения линий. Представим, что все внутренние и внешние линии рождаются в вершинах и затем уничтожаются парами в центрах каждой внутренней линии и поодиночке на концах каждой внешней линии. (Это не имеет отношения к направлению стрелок на линиях.) Приравнивая число рождающихся и уничтожающихся линий, получаем

ãäå I è Å − числа внутренних и внешних линий, Vi − число вершин разных типов i, а ni − число линий, подсоединенных к каждой

вершине. (Это выполняется и по-отдельности для полей каждого типа.) В частности, если все взаимодействия содержат одинаковое число ni = n полей, то

ãäå V − полное число вершин. В этом случае можно исключить I из

(6.3.4) и (6.3.11) и получить, что для связной (С = 1) диаграммы число вершин дается формулой

Например, для трилинейного взаимодействия диаграммы процесса рассеяния (Е = 4) с L = 0, 1, 2, ... имеют V = 2, 4, 6, ... вершин. В общем случае разложение по степеням констант связи есть разложение по увеличивающемуся числу петель.

«Òîêè» oa(t) зависят от времени так, как полагается в представлении взаимодействия:

но в остальном являются вполне произвольными операторами. S-матрица для любого перехода α → β становится в этом случае функционалом Sab[ε] от с-числовой функции εa(t). Фейнмановские

правила для вычисления этого функционала определяются очевидным обобщением обычных правил Фейнмана. В дополнение к получаемым из V(t) вершинам, следует включить новые вершины: если oa(x) есть произведение na полевых множителей, то всякая вершина oa с координатой x и с na подсоединенными к ней линиями соответствующего типа согласно правилам Фейнмана в координатном представлении дает вклад, равный −iεa(x), умноженный на

содержащиеся в oa(x) числовые факторы. Отсюда следует, что r-ая вариационная производная Sβα[ε] ïî εa(x), εb(y) ... ïðè ε = 0

дается в координатном представлении диаграммами с r дополнительными вершинами, к которым подсоединены соответственно na, nb, ... внутренних линий, а внешние линии отсутствуют. Указанные вершины имеют координаты x, y, ..., по которым не производится интегрирование. Вклад каждой такой вершины равен произведению −i на тот числовой фактор, который содержится в соответствую-

ùåì òîêå oa.

В частности, если все токи представляют собой поля, т. е.

Vε (t) = V(t) + å z d3x εa (x, t)oa (x, t) ,

a

то r-ая вариационная производная Sβα[ε] ïî εl(x), εm(y), ... ïðè ε = 0

изображается в координатном представлении диаграммами, имеющими r дополнительных вершин с координатами x, y, ..., причем к каждой из них подсоединена одна единственная внутренняя линия типа l, m, ... Такие линии можно рассматривать как внешние линии вне массовой оболочки, с той только разницей, что их вклад в матричный элемент равен не коэффициентной функции типа (2π)−3/ 2ul(p,σ)eip•x èëè (2π)−3/2ul*(p,σ)e−ip•x, а пропагатору, умноженному на множитель −i от вершины в конце линии. В импульсном пред-

ставлении фейнмановская диаграмма с частицами на массовой обо-