382 |
Глава 6. Фейнмановские правила |
||||||||||
L |
d |
rS |
O |
∞ |
(-i) |
N+ r |
∞ |
||||
M |
βα [e] |
P |
= å |
z |
dt1 . . . dtN |
||||||
(x1). . . dea |
|||||||||||
M dea |
(xr ) P |
N=0 |
N ! |
||||||||
N |
1 |
r |
Qε =0 |
−∞ |
(6.4.6) |
||||||
´ eFβ , ToV(t1). . . V(tN )oa1 (x1). . . oar (xr )tFα j .
Для определенности положим x10 ³ x20 |
³ . . . ³ x0r |
. Тогда все t, |
|||||||||||||||||
большие x 0, можно обозначить |
τ01 . . . τ0N |
, âñå t между x |
0 è x 0 |
- |
|||||||||||||||
τ11 |
1 |
0 |
1 |
2 |
|||||||||||||||
. . . τ1N , и т. д. Наконец, все t, меньшие x |
0, можно обозначить |
||||||||||||||||||
1 |
. После этого (6.4.6) принимает вид: |
r |
|||||||||||||||||
τ r1 . . . τ rN |
|||||||||||||||||||
r |
|||||||||||||||||||
L |
drSβα [e] |
O |
∞ |
(-i)N+ r |
N ! dN,N0 +N1 +...Nr |
||||||||||||||
M |
P |
= å |
å |
||||||||||||||||
(x1). . . dea |
|||||||||||||||||||
M dea |
(xr ) P |
N=0 |
N ! N N |
...N |
N0 |
! N1 !. . . |
Nr ! |
||||||||||||
N |
1 |
r |
Qε =0 |
0 |
1 |
r |
|||||||||||||
∞ |
x0 |
x0 |
|||||||||||||||||
1 |
r |
||||||||||||||||||
´zx10 dt01 . . . dt0N0 zx20 dt11 |
. . . dt1N1 . . . z−∞ dtr1 |
. . . dtrNr |
|||||||||||||||||
eFβ , ToV(t01). . . V(t0N0 )toa1 (x1)ToV(t11). . . V(t1N1 )toa2 (x2 ). . .
´ . . . oar (xr )ToV(tr1). . . V(trNr )tFα j .
Множитель N!/N0!N1!...Nr! равен числу способов рассортировать N переменных t по r+1 подмножествам, содержащим N0, N1, . . ., Nr
этих переменных. Вместо суммирования по N0, N1, . . .,Nr с учетом условия N0 + N1 + . . . + Nr = N, а затем суммирования по N, можно просто суммировать независимо по N0, N1, . . ., Nr, полагая N в множителе (-i)N равным N0 + N1 + . . . + Nr. Получаем:
L |
drSβα [e] |
O |
||||||||
M |
P |
= (-i)r eFβ , U(¥, x10 )oa1 (x1) |
||||||||
(x1). . . dea |
||||||||||
M dea |
(xr ) P |
|||||||||
N |
1 |
r |
Qε =0 |
(6.4.7) |
||||||
´ U(x10 , x20 )oa2 (x2 )U(x20 , x30 ). . . oar (xr )U(x0r ,-¥)Fα j , |
||||||||||
ãäå |
∞ |
N |
||||||||
U(t¢, t) = å |
(-i) |
ztt′ |
dt1 . . . dtNTlV(t1). . . V(tN )q . |
(6.4.8) |
||||||
N=0 |
N ! |
|||||||||
6.4. Выход с массовой оболочки |
383 |
|||||||
Оператор U(t¢,t) удовлетворяет дифференциальному уравнению |
||||||||
d |
U(t¢, t) = -iV(t¢)U(t¢, t) |
(6.4.9) |
||||||
dt¢ |
||||||||
с очевидным начальным условием |
||||||||
U(t, t) = 1. |
(6.4.10) |
|||||||
Оно имеет решение |
||||||||
U(t¢, t) = exp(iH0t¢) exp(-iH(t¢ - t)) exp(-iH0t) = W−1(t¢)W(t), |
(6.4.11) |
|||||||
ãäå W дается формулой (6.4.5). Подставляя (6.4.11) в (6.4.7) и пользу- |
||||||||
ясь формулой (6.4.4), находим: |
||||||||
L |
drSβα [e] |
O |
||||||
M |
P |
|||||||
M dea |
(x1). . . dea |
(xr ) P |
||||||
N |
1 |
r |
Qε =0 |
(6.4.12) |
||||
= (-i)r eW(¥)Fβ , Oa1 (x1). . . Oar (xr )W(-¥)Fα j .
При получении этой формулы было сделано предположение, что x10 ³ x20 ³ . . . ³ x0r , поэтому произведение операторов справа
можно заменить на хронологически упорядоченное произведение
L |
drSβα [e] |
O |
||||
M |
P |
|||||
M dea |
(x1). . . dea |
(xr ) P |
||||
N |
1 |
r |
Qε =0 |
(6.4.13) |
||
= (-i)r eW(¥)Fβ , T{Oa1 (x1). . . Oar (xr )}W(-¥)Fα j .
Но теперь обе стороны равенства полностью симметричны (или антисиммметричны в случае фермионов) по a и x, так что это соотношение выполняется при любом порядке следования моментов времени x10...xr0. Кроме того, в разделе 3.1 мы видели, что
Yβ± = W(m¥)Fβ . |
(6.4.14) |
(в смысле соотношения (3.1.12)). Таким образом, формула (6.4.13) и есть желаемый результат (6.4.3).
384 Глава 6. Фейнмановские правила
Задачи
1. Рассмотрите теорию действительного скалярного поля ϕ ñî
взаимодействием
V = 3g! z d3xϕ(x)3
(в представлении взаимодействия). Вычислите связный элемент S-матрицы для скаляр−скалярного рассеяния во втором
порядке по g, взяв все интегралы. Используя этот результат, вычислите дифференциальное сечение скаляр−скалярного рас-
сеяния в с. ц. и.
2. Рассмотрите теорию, включающую нейтральное скалярное поле ϕ(x) для бозона В и комплексное дираковское поле ψ(x) äëÿ
фермиона F, взаимодействующих по закону
V = igz d3xψ(x)γ 5ψ(x)ϕ(x).
(в представлении взаимодействия). Нарисуйте все связные фейнмановские диаграммы в порядке g2 и вычислите соответствующие матричные элементы S-матрицы для процессов Fc + B → Fc + B, F + Fc → F + Fc è Fc + F → B + B (здесь Fc —
античастица F). Вычислите все интегралы.
3. Рассмотрите теорию действительного скалярного поля j(x) со взаимодействием
V = 4g! z d3xϕ(x)4.
Вычислите S-матрицу для скаляр−скалярного рассеяния в по-
рядке g и с помощью этого результата найдите дифференциальное сечение. Рассчитайте поправочные слагаемые в S-мат- рице для скаляр−скалярного рассеяния в порядке g2, âçÿâ âñå
интегралы по x и выразив результат в виде интеграла по единственному 4-импульсу.
4. Каков вклад в фейнмановские диаграммы от свертки производной дираковского поля ∂μψl(x) с сопряженным полем ψm†(y)?
Список литературы |
385 |
5. С помощью теоремы из раздела 6.4 найдите выражения для средних по вакууму от гейзенберговских операторов (Ψ0,Φ(x)Ψ0) è (Ψ0,T{Φ(x),Φ(y)}Ψ0) в теории, рассмотренной в задаче 1, в
порядках g и g2, соответственно.
Список литературы
1. Dyson, F.J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 (1949).
2. Формальное утверждение носит название теоремы Вика; см.: Wick, G.C., Phys. Rev., 80, 268 (1950).
3. Я не знаю, кто первым доказал эту теорему. Она была известна в начале 50-х годов ряду теоретиков, включая М. Гелл-Манна и Ф. Лоу.
4. Schwinger, J., Phys. Rev., 82, 914 (1951).
7
Канонический формализм
С конца 1920-х годов, когда квантовая теория поля родилась в работах Борна, Дирака, Ферми, Гейзенберга, Иордана и Паули, ее развитие исторически было настолько тесно связано с канониче- ским формализмом, что и в наши дни считается вполне естественным начинать любое рассмотрение с постулирования лагранжиана и применения к нему правил канонического квантования. Такой подход используется в большинстве книг по квантовой теории поля. Однако исторический прецедент — не самый убедительный довод в пользу этого формализма. Если нам удастся построить квантовую теорию поля, приводящую к физически удовлетворительной S-матрице, то какое нам дело до того, что эту теорию нельзя, может быть, получить квантованием какого-то лагранжиана?
Поставленный вопрос до некоторой степени спорный, так как в разделе 7.1 мы увидим, что все самые известные квантовые теории поля представляют собой канонические системы, которые легко могут быть представлены в лагранжевой форме. Однако никто не доказал, что любая приемлемая квантовая теория поля может быть сформулирована таким образом. Но даже если это так, то сам этот факт не объясняет, почему в качестве отправной точки при построении разных квантовых теорий поля следует предпочитать именно лагранжев формализм.
Преимущество лагранжевого формализма заключается в том, что он позволяет легко удовлетворить требованиям инвариантности относительно преобразований Лоренца и других симметрий: классическая теория с лоренц-инвариантным лагранжианом в результате канонического квантования приводит к лоренц-инвари- антной квантовой теории. Иначе говоря, мы покажем ниже, что