428 Глава 7. Канонический формализм
= |
z |
L |
1 |
π2 |
+ |
1 |
(Ñ × π)2 + 1 |
(Ñ ´ v)2 |
+ |
m2 |
O |
||
H0 |
d3xM |
v2 P , |
(7.5.18) |
||||||||||
2m2 |
|||||||||||||
N |
2 |
2 |
2 |
Q |
L |
−2J0Ñ × π + |
1 |
O |
|||||||
V = z d3xMJ × v - m |
(J0 )2 P . |
(7.5.19) |
||||||||
2m |
2 |
|||||||||
N |
Q |
|||||||||
Тогда v и π связаны соотношением |
||||||||||
v& = |
δH0 (v, π) |
= π - m−2Ñ(Ñ × π) |
(7.5.20) |
|||||||
dπ |
||||||||||
а «полевые уравнения» имеют вид |
||||||||||
π& = - |
δH0 (v, π) |
= +Ñ2v - Ñ(Ñ × v) - m2v . |
(7.5.21) |
|||||||
dv |
||||||||||
Поскольку V0 не является независимой полевой переменной, она не связана преобразованием подобия ни с каким объектом v0 в представлении взаимодействия. Напротив, мы можем ввести величину
v0 º m−2Ñ × π . |
(7.5.22) |
Тогда с помощью формулы (7.5.20) можно записать π â âèäå
π |
= |
v& |
+ Ñ |
(7.5.23) |
v0 . |
Подставляя это выражение в (7.5.22) и (7.5.21), получаем полевые уравнения:
Ñ2v0 + Ñ × v& - m2v0 = 0 ,
Ñ2v - Ñ(Ñ × v) - v&& - Ñv& 0i - m2v = 0 .
Их можно записать в ковариантной форме |
|
9vμ - ¶μ¶νvν - m2vμ = 0 . |
(7.5.24) |
После взятия дивергенции получаем: |
|
¶μvμ = 0, |
(7.5.25) |
7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры |
429 |
следовательно, |
|
(9 − m2 )vμ = 0 . |
(7.5.26) |
Действительное векторное поле, удовлетворяющее уравнениям (7.5.25) и (7.5.26), можно представить в виде фурье−разложения
vm (x) = (2π)-3/2 å z d3p(2p0 )-1/2 nem (p, σ)a(p, σ)eip×x
s
(7.5.27)
+em* (p, σ)a†(p, σ)e-ip×x s ,
ãäå p0 = |
p2 + m2 |
, εμ(p,σ) ïðè σ = +1, 0, −1 — три независимых |
|
вектора, удовлетворяющих условию |
|||
pmeμ (p, σ) = 0 |
(7.5.28) |
||
и нормированных так, что |
|||
åeμ (p, σ)eν* (p, σ) = ημν + pμpν / m2 , |
(7.5.29) |
||
s |
|||
à a(p,σ), a†(p,σ) − операторные коэффициенты. С помощью (7.5.23), (7.5.27) и (7.5.29) можно непостредственно убедиться, что v и π
удовлетворяют правильным коммутационным соотношениям:
[vi (x, t), πj (y, t)] = iδijδ3 (x − y) ,
(7.5.30)
[vi (x, t), vj (y, t)] = [πi (x, t), πj (y, t)] = 0 ,
если операторы a(p,σ) è a†(p,σ) удовлетворяют коммутационным
соотношениям вида
[a(p, σ), a† (p′, σ′)] = δ3 (p′ − p)δs¢s , |
(7.5.31) |
[a(p, σ), a(p′, σ′)] = 0 . |
(7.5.32) |
Мы уже знаем, что векторное поле частиц спина единица должно иметь вид (7.5.27), так что представленный вывод этих результатов
430 Глава 7. Канонический формализм
служит лишь для проверки, что (7.5.18) дает правильный гамильтониан свободных массивных частиц спина единица. Легко проверить также, что (7.5.18) можно записать (с точностью до постоянного слагаемого) в стандартной форме åσ z d3p p0a† (p, s)a(p, s) энергии свободных частиц.
Наконец, пользуясь (7.5.22), можно записать выражение (7.5.19) для гамильтониана взаимодействия в представлении взаимодействия в виде
L |
μ + |
1 |
O |
||
V(t) = z d3xMJμv |
(J0 )2 P . |
(7.5.33) |
|||
2m |
2 |
||||
N |
Q |
Дополнительное неинвариантное слагаемое в (7.5.33) имеет как раз тот вид, который, как мы установили в гл. 6, необходим для сокращения неинвариантного слагаемого в пропагаторе векторного поля.
Дираковское поле, спин 1/2
Для дираковского поля частицы со спином 1/2 попробуем взять лагранжиан в виде
L = - |
(g μ ¶μ + m)Y - H ( |
, Y) , |
|||
Y |
Y |
(7.5.34) |
где Н — действительная функция `Y è Y. Такое выражение не
является действительным, однако действие удовлетворяет этому требованию, так как
Yg μ¶μ Y - (Yg μ¶μ Y)† = Yg μ¶μ Y + (¶μ Y)g μ Y = ¶μ (Yg μ Y) .
Таким образом, полевые уравнения, получаемые из требования стационарности действия относительно вариаций `Y è Y, являются
сопряженными друг к другу. Это и требуется, если мы не хотим иметь слишком большое число уравнений поля. Импульс, канони- чески сопряженный к Y, åñòü
∂L
P = & = -Yg 0 , (7.5.35)
¶Y
поэтому мы не должны рассматривать`Y как поле наравне с Y,
а считать его пропорциональным импульсу, канонически сопряженному к Y.