Материал: Волкова Е.М., Карчик В.Г.. Производственный менеджмент
Предельная ошибка определяется по формуле:
t , |
(3.5) |
где – средняя ошибка выборки; t – коэффициент доверия.
Коэффициент доверия определяется в зависимости от того, с какой доверительной вероятностью требуется гарантировать результаты выбо-
рочного исследования. Для определения t пользуются таблицами нормального распределения. Некоторые наиболее часто встречающиеся значения этого коэффициента приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Наиболее часто встречающиеся значения коэффициента доверия
Доверительная вероятность |
0,683 |
0,954 |
0,997 |
Коэффициент доверия |
1 |
2 |
3 |
Таким образом, границы доверительного интервала могут быть представлены следующим образом:
p w w |
или w w |
p w w , |
(3.6) |
где р – число бракованных изделий в генеральной совокупности.
Если в задаче требуется оценить необходимую численность выборки для оценки доли бракованных изделий при заданных параметрах, алгоритм решения следующий.
Величина ошибки выборки зависит от численности выборочной совокупности п. Задавая допустимую ошибку выборки, вероятность ошибки (через уровень доверительной вероятности), оценивая дисперсию изучаемого признака, можно определить численность выборки.
При повторном отборе необходимая численность выборки определяется по формуле:
n |
t2 2 |
. |
(3.7) |
|
2 |
||||
|
|
|
При бесповторном отборе необходимая численность выборки определяется по формуле:
n |
t2N 2 |
, |
(3.8) |
||
N 2 |
t2 2 |
||||
|
|
|
|||
15
где N – численность генеральной совокупности; t – коэффициент доверия (определяется по табл. 9 в зависимости от заданной доверительной вероят-
ности); 2 – дисперсия доли бракованной продукции по выборке (см. формулу (3.4)); – предельная ошибка выборки.
Решение типового примера. Произведено выборочное наблюдение для определения доли брака. В выборку было взято 800 изделий из общего количества 6 тыс. изделий. В выборке было обнаружено 54 бракованных изделия. Определить размер колебания доли бракованных изделий в генеральной совокупности с вероятностью 0,954.
Определим долю дефектных изделий в выборке:
w 80054 0,0675.
Определим дисперсию доли в выборочной совокупности:
2 w (1 w) 0,0675 (1 0,0675) 0,0629.
w
Рассчитаем среднюю ошибку выборки:
|
|
2 |
|
|
n |
|
0,0629 |
|
800 |
|
|
w |
|
w |
1 |
|
|
|
|
|
(1 |
|
) 0,0032. |
|
800 |
6000 |
|||||||||
|
|
n |
|
|
N |
|
|
|
|||
Рассчитаем предельную ошибку выборки (t = 2):
t 2 0,0032 0,0064 .
Определим границы доверительного интервала:
0,0675 0,0064 p 0,0675 0,0064 ; 0,0611 p 0,0675 0,0739.
Таким образом, доля бракованных изделий в партии изделий с вероятностью 0,954 составляет от 6,11 до 7,39 %.
16
Практическая работа № 4
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА
Одним из разделов производственного менеджмента является планирование производства: производственной программы и необходимых ресурсов, уровня загрузки производственных мощностей и др.
Производственная программа – это совокупность номенклатуры выпускаемой продукции (оказываемых услуг) и соответствующих объемов производства. Критерием оптимальности производственной программы для самостоятельной производственной системы является, как правило, максимизация величины прибыли от продаж. Задача оптимизации производственной программы может быть решена с применением методов математического моделирования, одним из которых является симплекс-метод. Подробно с алгоритмом метода можно ознакомиться в учебнике «Экономико-математические методы и модели» (А. М. Попов, В. Н. Сотников ; под ред. А. М. Попова. М. : Юрайт, 2013).
Задание. Имеется возможность выпуска четырех видов продукции на пяти типах машин (A, B, C, D, E).
1.Сформировать математическое описание задачи.
2.Найти оптимальный план (производственную программу), используя алгоритм симплекс-метода.
3.Выполнить анализ производственной программы, включая номенклатуру и объем выпуска продукции, получаемую при этом прибыль, эффективностьисостояниеиспользованныхресурсов.
Исходные данные приведены в табл. 4.1–4.3. Каждый студент получает свой двузначный вариант. Выбор варианта определяется порядковым номером фамилии студента в журнале группы. В табл. 4.1 приведены данные по затратам времени на выпуск единицы продукции – общие для всех вариантов. В табл. 4.2 приведены данные по прибыли на единицу продукции по вариантам с первой цифрой шифра. В табл. 4.3 приведены данные по фонду машинного времени по вариантам со второй цифрой шифра.
Таблица 4.1
Затраты времени на выпуск единицы продукции (по типам машин и видам продукции), машино-ч/шт.
A |
4 |
2 |
0 |
1 |
B |
2 |
0 |
2 |
1 |
C |
2 |
2 |
2 |
0 |
D |
2 |
2 |
1 |
1 |
E |
0 |
2 |
2 |
2 |
17
Таблица 4.2
Прибыль на единицу продукции (по видам продукции), у. е.
Первая цифра |
Прибыль на единицу |
|||
варианта |
|
|
|
|
1 |
12 |
9 |
10 |
11 |
2 |
10 |
8 |
9 |
12 |
3 |
12 |
6 |
8 |
16 |
4 |
4 |
7 |
6 |
12 |
5 |
10 |
6 |
4 |
5 |
Таблица 4.3
Фонд машинного времени за анализируемый период (по типам машин),машино-ч
Тип машины |
|
|
Вторая цифра варианта |
|
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
A |
800 |
700 |
740 |
770 |
760 |
760 |
740 |
800 |
B |
700 |
800 |
700 |
740 |
770 |
770 |
760 |
760 |
C |
740 |
740 |
800 |
700 |
740 |
740 |
770 |
770 |
D |
770 |
770 |
770 |
800 |
700 |
700 |
800 |
740 |
E |
760 |
760 |
760 |
760 |
800 |
800 |
700 |
700 |
Решение задач по оптимизации производственной программы
Условные обозначения: i – номер машины;
j – номер производимого изделия;
bi – количество ресурсов (машино-часов) машины с номером i.
Найти max F = c1 + c2 + c3 + ...cj + ... + cn при условиях:
a11x1 + a12x2 + a13x3 +... a1jxj + ... + a1nxn < = b1; a21x1 + a22x2 + a23x3 +... a2jxj + ... + a2nxn < = b2
.......................................................................
an1x1 + an2x2 + an3x3 +... anjxj + ... + annxn < = bn; x1 > = 0, x2 > = 0, x3 > = 0,…, xn > = 0.
Алгоритм симплекс-метода состоит из двух этапов. На первом этапе осуществляется построение допустимой производственной программы.
1.Построение канонической формы. Для каждого ограничения вводим x j 0 – дополнительную переменную.
2.Строится базис допустимого плана относительно этих переменных.
3.Рассчитываются симплекс-множители
18
z j ciaij |
(4.1) |
i |
|
и показатели индексной строки z j c j 0; |
|
z j c j . |
(4.2) |
На втором этапе выполняются итеративные процедуры оптимиза-
ции базиса задачи.
4. Выполняется проверка решения на оптимальность. Для задач на максимум целевой функции (прибыли) должно выполняться условие:
z j c j 0. |
4.3) |
Если условие оптимальности не выполняется – переход к п. 5; иначе получен оптимальный и допустимый план.
5. Выбор ключевого столбца. Из показателей индексной строки выбирается значение с наибольшим отклонением от условия оптимальности. Соответствующая переменная на следующей итерации входит в базис задачи. Выбор ключевой строки. Находится минимальное отношение показателей столбцов xi и aij при условии, что aij = 0.
6. Симплекс-преобразования:
|
|
а |
a |
|
ai1 jaij1 |
; |
|
|
(4.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ij |
|
|
ij |
|
ai j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
||
|
|
а |
j |
|
ai1 j |
, |
|
|
|
(4.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i |
|
ai j |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
где |
a* |
– значение элемента в новом базисе; |
а |
j |
– значение элемента клю- |
|||||||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
чевой строки в новом базисе; aij – значение элемента в текущем базисе; аi1 j – значение элемента ключевой строки в текущем базисе; аij1 – значение элемента ключевого столбца в текущем базисе; аi1 j1 – значение ключевого
элемента в текущем базисе. Переход к п. 4.
Решение типового примера. Пусть на производстве имеется возможность выпуска четырех видов изделий, например, g1, g2, g3, g4. Для их производства привлекаются три вида ресурсов: b1, b2, b3. Рассчитаны ко-
19