Материал: Волновое уравнение (96

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Ю.И. Малов, М.М. Сержантова, А.В. Чередниченко

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Методические указания к выполнению типового расчета по курсу «Уравнения математической физики»

Под редакцией Г.П. Стась

М о с к в а Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2 0 0 6

УДК 517.9 ББК 22.161.6

М18

Рецензент Л.К. Мартинсон

Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В.

М18 Волновое уравнение: Метод. указания к выполнению типового расчета по курсу «Уравнения математической физики» / Под ред. Г.П. Стась. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2006. – 47 с.: ил.

Рассмотрено волновое уравнение и некоторые его частные решения в виде плоской, сферической и цилиндрической монохроматических волн. Приведены решения уравнений Лапласа и Пуассона в классе обобщенных функций с использованием функции Грина – функции источника.

Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс «Уравнения математической физики». Может быть полезна студентам старших курсов, изучающим соответствующую дисциплину.

Ил. 4. Библиогр. 5 назв.

УДК 517.9 ББК 22.161.6

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

Предисловие

Данное пособие содержит краткое изложение теории уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа, а именно уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца.

Первая глава посвящена выводу волнового уравнения колебаний струны и электромагнитных колебаний. Вывод уравнения Лапласа приведен во второй главе. Также во второй и третьей главах рассмотрены решения волновых уравнений с помощью функции Грина.

Применение метода функции Грина вызвано необходимостью использования обобщенных функций, а именно дельта-функции и ее свойств [1], при решении различных задач физики, например задач электродинамики [2], в расчетах оптико-электронных систем [3] или при описании установившихся колебаний гибкой мембраны, закрепленной по контуру [4].

1.ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

1.1.Механическая модель волнового процесса. Уравнение колебаний струны

Струной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу, но сопротивляющаяся растяжению. Отсутствие сопротивления изгибу математически выражается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю.

Будем рассматривать плоское движение струны, когда смеще-

его положения равновесия, совпадающего с осью Ox. Величину отклонения (смещения) струны от положения равновесия в точке x в момент времени t обозначим как u(x, t).

3

Рис. 1

Так как струна не сопротивляется изгибу, ее натяжение T (x,t) в момент t направлено по касательной к профилю струны в точке x. Любой участок струны (x1, x2 ) после отклонения от положения

равновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины. Действительно, длина

Следовательно, по закону Гука, натяжение T (x, t) будет оставаться постоянным, не зависящим от x, t : T (x, t) =T0.

Пусть ρ(x) – линейная плотность струны в точке х, так что

ρ(x)∆x – масса элемента ∆x струны M1M2.

Составим уравнение движения струны. На ее элемент M1M2

действуют силы натяжения T2 (x + ∆x,t) =T0 и T1(x, t) =T0 , сумма которых, согласно второму закону Ньютона, равна произведению массы этого элемента на его ускорение. Проектируя это векторное равенство на ось u, получим

4