Материал: Волновое уравнение (96

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Получим уравнение свободных колебаний струны, или одно-

мерное волновое уравнение.

Покажем, что если ϕ(x) – дважды дифференцируемая функция, то уравнению (1.5) удовлетворяет функция u(x, t) = ϕ(x −vt),

или u(x, t) = u(w) = ϕ(w),

w = x − vt.

 

 

 

Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

 

u′

= ϕ′

w′

= −vϕ′

′′

= v

2

′′

1

 

t

w t

 

 

w

utt

 

ϕww,

v 2ϕ′′ww = ϕ′′ww,

′

′

′

 

 

 

2

u

′

,

′′

 

 

′′

 

 

 

= ϕ

 

w

= ϕ

w

 

 

v

x

 

w x

 

 

uxx = ϕww,

что и требовалось доказать.

Рис. 2

Частное решение уравнения колебаний струны имеет вид u(x, t) = ϕ(x −vt).

Дадим геометрическую интерпретацию решения. Пусть в начальный момент времени t = 0 был известен профиль струны. Посмотрим, что будет со струной в следующие моменты времени (рис. 2). Точка М на струне движется со скоростью v вправо, при этом ее отклонение остается во все моменты времени постоянным. Это движение называется также плоской волной, которая также движется со скоростью v. Сам процесс колебаний струны описывается волновым уравнением (1.5).

6

1.2. Волновое уравнение для электромагнитных волн

Электромагнитное поле характеризуется напряженностью E(M , t) электрического и H (M , t) магнитного полей, где M (x, y, z) – точка пространства; t – время. Эти величины удовле-

творяют следующим уравнениям Максвелла для непроводящей среды (σ = 0) при отсутствии объемных электрических зарядов:

div

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0,

rot

 

= −µµ0 ∂H

,

E

E

 

 

 

 

 

 

 

∂t

(1.6)

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

div H

= 0,

 

 

 

 

 

E

 

,

 

rot H

= εε0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂t

 

где ε, µ – диэлектрическая и магнитная проницаемости; ε0 , µ0 –

электрическая и магнитная постоянные в единицах СИ.

Введем векторно-дифференциальный оператор Гамильтона, обозначаемый знаком «набла» :

 

 

 

∂

 

∂

 

∂

 

 

 

 

=

 

,

 

,

 

.

∂x

∂y

 

 

 

 

 

 

∂z

Тогда система уравнений Максвелла перепишется в следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂H

 

E = 0,

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

×E = −µµ0

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H = 0,

×H = εε0

∂t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К последним двум уравнениям применим операцию векторного

умножения на оператор слева и получим систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂H

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×( × E ) = −µµ0 ×

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×( × H ) = εε0 × .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂t

 

 

Воспользуемся формулой

 

векторного

 

анализа

(1.8)

a ×(b ×c ) =

= b (a c ) −c (a b ). Тогда левые части уравнений будут состоять

7

из двух слагаемых, а операцию дифференцирования и взятия век- торного-дифференциального оператора в правой части можно поменять местами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( E ) −

E = −

E = −µµ0

 

( × H ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂t

 

 

(1.9)

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

) −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

(

 

 

 

 

 

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

2H

= −

 

2H

= εε0

 

×

 

 

 

 

 

H

 

 

 

E

 

 

 

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальный оператор

 

 

 

 

=

 

2 =

 

∂2

+

∂2

+

∂2

на-

 

 

 

∂x2

∂y2

∂z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зывают оператором Лапласа и обозначают как 2 ≡ ∆.

Так как первые слагаемые в (1.9) равны нулю, выражение (1.9) сократится до вида

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∆E = −µµ0

 

 

 

 

 

 

εε0

 

 

 

 

 

,

∂t

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

∂H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∆H = εε0

 

 

 

 

−µµ0

 

 

 

 

.

∂t

∂t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

E ,

 

 

 

 

 

 

∆

E

 

= εε0µµ0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.11)

 

 

 

 

 

∂2H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆H = εε0µµ0

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

∂t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Два векторных уравнения (1.11) эквивалентны шести скаляр-

ным уравнениям относительно компонент векторов E и H. Все шесть уравнений имеют одинаковый вид. Обозначим через u(M , t) какую-нибудь компоненту какого-либо вектора. Тогда эта

скалярная величина будет удовлетворять уравнению

∆u(M ,t) = εε0µµ0

∂2u

.

(1.12)

∂t2

 

 

 

8

 

Заметим, что

1

 

= c 3 108 м/ c

–

скорость света. Пусть

 

 

 

 

 

 

 

ε0µ0

 

 

 

 

v =

 

c

. Тогда уравнение (1.12) для u(M ,

t) примет вид

 

εµ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆u(M , t) =

1 ∂2u

.

(1.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 2 ∂t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (1.13) – волновое уравнение для электромагнитных волн. Решение уравнения (1.13) будем называть волной.

Волновое уравнение (1.13) является математической моделью различных физических процессов. Рассмотрим в качестве примера некоторые из них.

1.Пусть точка M (x) принадлежит одномерному пространству

–прямой Ox, тогда однородное волновое уравнение имеет вид

utt′′ (x, t) = v 2u′′xx

(1.14)

и описывает свободные поперечные колебания струны или свободные продольные колебания стержня. Если же на струну или стержень кроме упругих сил действуют внешние возмущающие силы F(x, t), то уравнение колебаний называется неоднородным:

 

 

 

 

 

utt′′ (x, t) = v 2u′′xx + f (x, t),

(1.15)

где

f (x, t) =

v

2F(x, t)

;

ρ(x) – плотность струны или стержня.

 

ρ(x)

 

 

 

 

 

 

Получающееся при этом решение называют вынужденными колебаниями. Если струна или стержень ограничены, то задаются граничные условия на обоих концах, а также начальные условия. Начальные условия задаются, например, в виде начального профиля u(x, 0) и начального импульса ut′(x, 0) в момент t = 0. В

этом случае уравнения (1.14) и (1.15) называют уравнениями ги-

перболического типа.

2.Пусть точка M (x, y) принадлежит двумерному пространству

–плоскости xOy. Тогда однородное волновое уравнение

utt′′ (x, y, t) = v 2 (uxx′′ +u′′yy )

(1.16)

 

9

можно рассматривать как уравнение свободных колебаний плоской мембраны, а неоднородное уравнение

utt′′ (x, y, t) = v 2 (u′′xx +u′′yy ) + f (x, y, t)

(1.17)

рассматривать как уравнение вынужденных колебаний мембраны. При этом начальные условия задают начальное положение мембраны и распределение начальных скоростей на ней, а граничные условия задаются способами закрепления границ мембраны.

Если же струна, стержень или мембрана неограниченны, то в качестве граничных условий задают поведение решения на бесконечности, которое, как правило, на бесконечности должно стремиться к нулю.

3. Пусть точка M (x, y, z) принадлежит трехмерному про-

странству. Тогда волновое уравнение можно рассматривать как уравнение малых колебаний газа, заключенного в сферическую оболочку с соответствующими начальными условиями в момент времени t = 0 и граничными условиями на сфере, или как уравнение электромагнитных колебаний, свободных или вынужденных, по аналогии с изложенным в пп. 1 и 2.

Основная проблема, возникающая при исследовании всех этих уравнений и многих других, – это построение решения. Опустим вопрос построения корректного решения [1] и просто перечислим некоторые методы нахождения решения дифференциальных уравнений в частных производных: метод разделения переменных Фурье, метод нахождения обобщенного решения с помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа, метод функции Грина или источника, приближенные методы, например сеточные, и т. д.

Вданном пособии рассматривается, в основном, метод решения с помощью функции Грина.

Метод разделения переменных можно применять, когда функции, входящие в уравнение, в граничные и начальные условия, могут быть разложены в ряд Фурье по собственным функциям, т. е. функции должны, например, удовлетворять условиям Дирихле и быть периодическими, при этом допускается конечное число точек разрыва у функций с конечными скачками.

Вслучае бесконечного скачка в точке x0 , как, например, в

случае с дельта-функцией, приходится пользоваться интегральным

10

Источник: https://studfile.net/preview/16724467/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога