Материал: Волновое уравнение (96

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

преобразованием Фурье для получения обобщенного решения уравнений Лапласа и Гельмгольца. В этом случае прибегают к нахождению решения с помощью функции Грина.

2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА МЕТОДОМ ФУНКЦИИ ГРИНА

2.1. Вывод уравнения Лапласа

Рассмотрим векторное поле a, определенное в некоторой области Ω, такое, что оно одновременно и потенциальное, т. е.

rot a = 0, и соленоидальное, т. е.	div a = 0. Так как поле	a – по-
тенциальное, существует скаляр	u(M ), M ( x, y, z) Ω,	называе-

мый потенциалом поля a, такой, что a = grad u. Выполнение условий rot a = 0 и div a = 0 приводит к равенству divgrad u = 0 или

u = 0 (∆u = 0).

Дифференциальное уравнение

∆u(M ) = 0, M (x, y, z) Ω

называют уравнением Лапласа.

В декартовых прямоугольных координатах уравнение Лапласа принимает вид

∂2u

= 0;

(2.1)

∂x2

∂y2

∂z

в цилиндрических координатах (r, ϕ, z) , где

x = r cos ϕ,

0 ≤ r < +∞,

y = r sin ϕ,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

z = z,

−∞ < z < +∞,

оно принимает вид

1 ∂

∂u

1 ∂2u

∂2u

∆u =

= 0;

(2.2)

r ∂r

∂ϕ2

∂z2

∂r

в сферических координатах (r, θ, ϕ) , где

x = r sin θcosϕ,

≤ r < +∞,

y = r sin θsin ϕ,

≤ θ ≤ π,

z = r cos θ,

≤ ϕ≤ 2π,

принимает вид

1 ∂

∂u

∂

∂u

∆u =

sin θ

∂r

r2 sin θ ∂θ

∂θ

∂2u

= 0.

(2.3)

r2 sin2 θ ∂ϕ2

Неоднородное уравнение

∆u(M ) = − f (M ),

M (x, y, z) Ω,

(2.4)

где f (M ) – заданная функция, называют уравнением Пуассона.

2.2. Фундаментальное решение уравнения Лапласа

Будем искать решение уравнения Лапласа, обладающее центральной симметрией, когда искомое решение есть функция

u (M ) = u(r), где r = x2 + y2 + z2 – расстояние от точки M ( x, y, z) до начала координат. В этом случае уравнение Лапласа в сферической системе координат запишется как

1	d		2	du
		r			= 0.
r2
	dr			dr

После повторного интегрирования получим

r2	du	= C ;	du =	C1	dr; u = −	C1	+C	.

	dr	1		r2		r	2

Пусть C1 = −1 и C2 = 0. Тогда получаем частное решение: u = 1r .

Это решение уравнения Лапласа называют фундаментальным

			1
решением. При этом ∆				≡ 0,	если r > 0.
решением. При этом ∆				≡ 0,	если r > 0.
		r
Функция u =	1	,	где
Функция u =	r	,	где
	r
	M0M

rM0M = ( x − x0 )2 +( y − y0 )2 +(z − z0 )2 ,

также удовлетворяет уравнению Лапласа, что проверяется непосредственно.

Это решение также называют фундаментальным решением уравнения Лапласа.

2.3. Обобщенное фундаментальное решение

Введем понятие обобщенного фундаментального решения.

Рассмотрим уравнение Пуассона

	∆u(M ) = −4πδ(M , M0 ),	rM0M ≥ 0,	(2.5)
где δ(M , M0 ) – дельта-функция, определяемая соотношением
	f (M0 ), M0 Ω,
∫∫∫ f (M )δ(M , M0 ) dV =		M0 Ω;
Ω	0,	M0 Ω;

f (M ) – непрерывная и ограниченная в области Ω функция. Если f (M ) ≡1, то

	1,	M0 Ω,
∫∫∫δ(M , M0 ) dV =		M0 Ω.
Ω	0,	M0 Ω.

Пусть ΩM0 ,R – шар с центром в точке M0 радиуса R, а ∑M0 ,R

– его сферическая поверхность. Интегрируя уравнение Пуассона по объему ΩM0 ,R , получим

∫∫∫ ∆u(M ) dV = −4π, rM0M ≥ 0.

(2.6)

ΩM0 ,R

Преобразуем интеграл в левой части равенства, используя формулу Остроградского – Гаусса:

∫∫∫ ∆u(M ) dV = ∫∫∫ div(grad u) dV =

ΩM0 ,R

= w∫∫

grad u n dσ =

w∫∫

∂∂un dσ,

∑M0 ,R

где n

– внешняя нормаль к сфере, на которой

∂

и ∂u на

∂r

∂n

сфере принимает постоянное значение: ∂u

= ∂u

≡ const .

∂n

∑

M0 ,R

∂r

r=R

w∫∫

∂u

w∫∫

∂u

4πR2 .

Тогда

∑

∂n dσ = ∂r

=R ∑

dσ =

∂r

r=R

M0 ,R

Следовательно, ∂u

4πR2 = −4π или

∂u

= −

∂r

r=R

∂r

r=R

Это означает, что функция u =

является решением урав-

M0M

нения Пуассона в пространстве rM0M ≥ 0,

т. е.

∆

= −4πδ(M , M

) , r

≥ 0.

В этом случае функцию

M0M

u =

называют

обобщенным

фундаментальным

решением

M0M

уравнения Пуассона (2.5).

Рассмотрим уравнение Лапласа в цилиндрических координатах, когда решение не зависит от координат ϕ и z, а зависит толь-

ко от координаты

т. е. когда в случае

осевой симметрии

u (M ) = u(r) уравнение Лапласа принимает вид

1 d

= 0.

r dr

Интегрируя это

уравнение,

получаем

u (r) = C1 ln r +C2.

При

C = −1 и C = 0 u

(r) = ln

, r > 0. Это решение называют фунда-

ментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

Аналогично получается обобщенное решение u (r) = ln

rM0M ≥ 0,

как решение уравнения Пуассона

M0M

∆u(M ) = −2πδ(M , M0 ),

или

∆ ln

= −2πδ(M , M

≥ 0,

(2.7)

M0M

rM0M

где δ(M ,

M0 ) – двумерная дельта-функция с центром в точке M0.

2.4. Интегральная формула Грина

Рассмотрим

векторное

поле

a = u

v −v

где

u (M ), v (M ) C2 (Ω + ∑). Применим к нему формулу Остроградского – Гаусса:

w∫∫ a n dσ = ∫∫∫ a dV ,

∑Ω

где поверхность ∑ – граница области Ω,

а n – внешняя нормаль

к ней. Заметим, что a n = u

∂v

−v

∂u

a = (u v − v u) =

∂n

= u∆v − v∆u. Подставляя полученные соотношения в формулу

Источник: https://studfile.net/preview/16724467/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога