Материал: Волновое уравнение (96

=

exp(

−

i k r )

d

2

u(r) +

2 du(r) +

2

−

k

u(r)

dr

2

r dr

(∆u(r) + k

2

u(r))

i2k

du(r)

= exp(−i k r )

−

r

−ik ru(r) +u(r)

=

r

dr

(

)

i2k

= exp(−i k r )

∆u(r) + k

2u(r)

−

d (u(r)r )

−ik (u(r)r )

=

r

dr

exp(ik r )

M =M0

δ(M , M0 ) =1 δ(M , M0 ) = δ(r )

и

∆u(r) + k2u(r) = −4π δ(r ).

Это означает, что амплитуда u(M ) =

1

exp(ik rM0M ) –

rM0M

1

∂2u

= ∆u (M , t ) + F (M , t ),

(3.21)

v 2

∂t2

характер

с постоянной

частотой

ν = const,

т. е.

F (M , t ) =

= f (M )exp(−i 2πνt ).

Будем искать решение уравнения (3.21)

в

виде u(M , t) = u (M )exp(−i 2πνt). Подставив F (M , t)

и u(M , t)

в

(3.21), получаем

1

u(M )(−i 2πν)2 exp(−i 2πνt ) =

v 2

= ∆u(M )exp(−i 2πνt ) + f (M )exp(−i 2πνt ).

После сокращения на

exp(−i 2πνt) ≠ 0, учитывая,

что

2πν

=

2π

v

=

= k,

получаем

неоднородное уравнение

Гельмгольца

λ

∆u(M ) + k2u(M ) = − f (M ).

3.8. Интегральное представление решения

уравнения Гельмгольца

Рассмотрим первую формулу Грина для

решений u(M )

и

v(M ) :

∂v

∂u

∫∫∫

(u∆v −v∆u)d

w∫∫

∂n

− v

∂n

ω.

(3.22)

u

dσ =

∑

Ω

Используя

тождество

u∆v − v∆u ≡ u (∆v + k2v )− v (∆u + k 2u),

∂v

∂u

∫∫∫

2

2

w∫∫

∂n

− v

∂n

(u (∆v + k

v )− v (∆u

+ k u))dω,

(3.23)

∑

u

dσ =

Ω

где u(M ) – решение неоднородного уравнения Гельмгольца

∆u + k 2u = − f (M ), M Ω;

(3.24)

v(M ) =

1

exp(i k rM0M )

–

обобщенное

фундаментальное ре-

rM0M

шение уравнения

∆v + k2v = −4π δ(M , M

0

)

r

≥ 0,

M Ω.

(3.25)

M0M

Учитывая (3.24) и выражение для v(M ),

(3.23) переписываем в

виде

∂

exp (i k rM0M )

exp

(i k rM0M ) ∂u

(P)

w∫∫

u (P)

−

dσP =

rM

M

rM

M

∂n

0

∂n

∑

0

exp(i k rM0M )

= ∫∫∫

(−4πδ(M , M0 ))u (M ) + f (M )

dω.

(3.26)

rM0M

Ω

По свойству дельта-функции получаем

∫∫∫(−4πδ(M , M0 ))u (M ) dω = −4πu (M0 ).

(3.27)

Ω

С учетом (3.26) и (3.27),

если P ∑,

M Ω, получим инте-

u (M0 ) =

1

exp(i k rM0M ) ∂u (P)

w∫∫

−

4π

r

∂n

∑

M0M

∂

exp(i k rM0M )

−u (P)

dσP +

rM

M

∂n

0

1

f (M )

exp(i k rM0M )

+

∫∫∫

dω.

(3.28)

4π

rM0M

Ω

Формула Кирхгофа определяет решение u(M ) неоднородного

уравнения Гельмгольца (3.24) в любой точке

M0 ,

если известны

∂u(P)

на границе области Ω, т. е. на ∑.

∂n

Если в пространстве отсутствуют источники, т. е. f (M ) ≡ 0, то

решение уравнения

∆u (M ) + k 2u (M ) = 0,

M Ω,

представляется

выражением

u (M0 ) =

=

1

w∫∫

exp(i k rM0M ) ∂u (P)

−u (P)

∂ exp(i k rM0M )

4π

rM M

∂n

∂n

rM M

dσP , (3.29)

∑

0

0

∂v (P)

∂u (P)

w∫∫

u (P)

− v (P)

dσP −

∂n

∂n

∑

−∫∫∫ f (M )v (M )dω= 0.

(3.30)

Ω

39