Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н
И.Л.Батаронов Е.Н.Провоторова Е.Г.Глушко В.В.Дежин
ВВЕДЕНИЕ
В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Воронеж 2002
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Воронежский государственный технический университет
И.Л.Батаронов Е.Н.Провоторова Е.Г.Глушко В.В.Дежин
ВВЕДЕНИЕ
В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Воронеж 2002
УДК 517.9
Введение в математический анализ: Учеб.пособие / И.Л.Батаронов, Е.Н.Провоторова, Е.Г.Глушко, В.В.Дежин. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2002. 142 с.
В пособии содержатся основные теоретические сведения по разделу «Введение в математический анализ». В каждой главе даны практические задачи, разбитые на три уровня сложности. Издание соответствует рабочей программе дисциплины «Математический анализ» и предназначено для студентов специальностей 075500 «Информационная безопасность» и 075200 «Компьютерная безопасность» дневной формы обучения.
Учебное пособие подготовлено на оптическом носителе в текстовом редакторе МS Word 97 и содержится в файлах «Начало и окончание.doc», «Глава_1_1.doc», «Глава_1_2.doc», «Глава_2.doc», «Глава_3_1.doc», «Глава_3_2.doc», «Глава_4.doc» и «Глава_5.doc».
Ил. 51. Библиогр.: 14 назв.
Рецензенты: кафедра математического анализа Воронежского государственного университета; канд.физ.-мат.наук, проф. М.Г.Завгородний
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н., Глушко Е.Г., Дежин В.В., 2002
Воронежский государственный технический университет, 2002
ВВЕДЕНИЕ
Раздел «Введение в математический анализ» является одним из наиболее важных и сложных при изучении курса математического анализа. Глубокое неформальное понимание таких основных понятий как функция, предел, непрерывность, знание основных теорем о пределах и непрерывных функциях, умение вычислять пределы необходимо для дальнейшего успешного изучения как курса математического анализа так и других математических и специальных дисциплин.
ВI главе пособия содержатся необходимые теоретические сведения по дополнительным главам математического анализа, теории множеств и отображений, рассматриваются понятия бинарных отношений, мощности множеств.
Во II главе вводится понятие предела числовой последовательности, верхнего и нижнего предела, изучаются свойства сходящихся числовых последовательностей, критерии сходимости.
ВIII главе подробно описываются свойства числовых функций, приводятся графики основных элементарных функций, изучаются методы преобразования графиков функций.
IV и V главы посвящены изучению предела и непрерывности функций, свойств непрерывных функций.
Вконце каждой главы приведены задачи для самостоятельного решения. Для удобства организации учебного процесса в группах с различным уровнем математической подготовки задачи приведены в трех уровнях сложности.
Вгруппе «А» содержатся типовые задания облегченного содержания, в группе «Б» более сложные стандартные задачи, в группе «В» предлагаются задачи, требующие глубокого понимания теоретического материала.
Решая задачи из разных групп, студенты могут самостоятельно контролировать уровень усвоения учебного материала.
Пособие может использоваться как студентами для подготовки к практическим занятиям, контрольным работам, экзаменам так и преподавателем при проведении практических занятий, коллоквиумов, экзаменов.
1.ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ
1.1. Множества. Операции над множествами
Понятие множества является одним из основных первичных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Будем считать множество заданным, если известен закон, по которому можно сказать принадлежит некоторый объект данному множеству или нет. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества при-
нято обозначать заглавными буквами алфавита A , B , , а их элементы – малыми a , b , . Если элемент x принадлежит множеству X , то пишут x X , запись x X - означает, что элемент x не принадлежит множе-
ству X .
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Элементы множества записываются в фигурных скобках, внутри которых они перечислены, либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.
Например, A |
1, 2, 3 , A |
x : 0 x 2 . |
|
|
|
|
|
||
Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент множе- |
|||||||||
ства A принадлежит множеству B , обозначается так A |
B . |
|
|
||||||
Множества A и B называются равными, если A |
B и B |
A . |
|
||||||
Объединением A B множеств A и |
B называется множество, |
составленное из тех и |
|||||||
только |
тех |
элементов, |
которые |
принадлежат |
хотя |
бы одному |
из данных множеств: |
||
A B |
x : x |
A или x |
B . |
|
|
|
|
|
|
Пересечением множеств A и B называется множество, составленное из всех тех элемен- |
|||||||||
тов, которые принадлежат как A , так и B : |
A B |
x : x |
A и x |
B . |
|
||||
Совокупность тех элементов из A , которые не содержатся в B , называется разностью |
|||||||||
множеств A и B : A \ B |
x : x |
A и x |
B . |
|
|
|
|
||
Пример. Пусть A |
5, 6, 7,8,9 |
и B |
3, 6, 9 |
. Тогда A B |
3,5, 6, 7,8,9 , A B 6,9 , |
||||
A \ B |
5, 7,8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведением множеств A B называется множество всевозможных пар |
x, y , таких, |
||
что x A, y |
B . |
|
|
Объединением любого (конечного или бесконечного) числа множеств называется множе- |
|||
ство Ai |
x : i : x |
Ai . |
|
Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств называется множе- |
|||
ство Ai |
x : i : x |
Ai . |
|
Операции объединения и пересечения обладают свойствами коммутативности, ассо- |
|||
циативности, дистрибутивности, как арифметические операции над числами, |
но A A A , |
||
A A A , A BC 
A B
A C
.
Для наглядного представления операций над множествами используются диаграммы Эй-
лера-Венна (рис. 1).
|
B |
A |
A |
|
B |
A |
|
B |
A |
B |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
A B |
A B |
|
A B |
A \ B |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Отображение множеств |
|
|
|||||
Определение 1. Отображением f |
множества X в множество Y , называется соответст- |
|||||||||
вие, которое каждому элементу x |
X сопоставляет элемент |
y |
Y . Такое отображение обо- |
|||||||
значается f : X |
Y или y |
f x , x |
X . Элемент y |
называется образом элемента x , элемент |
||||||
x - прообразом элемента y при отображении f . |
|
|
|
|
|
|||||
Определение 2. Если каждому x |
X отображение |
f ставит в соответствие единствен- |
||||||||
ный элемент y |
Y |
и при x1 |
x2 выполняется |
f x1 |
f |
x2 , |
то отображение называется вза- |
|||
имно однозначным. Иными словами, отображение является взаимно однозначным, если каж-
дый y |
Y является образом одного и только одного элемента x |
X . |
|||||||||||||||||||
Пример 1. Пусть |
A - полуокружность без крайних точек, |
B - бесконечная прямая |
|||||||||||||||||||
, |
|
. Тогда между |
A и B существует взаимно однозначное соответствие. Закон отобра- |
||||||||||||||||||
жения следует из рис. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
B |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2. Отображение, ставящее в соответствие |
x |
|
R его квадрат, не является вза- |
||||||||||||||||||
имно однозначным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 3. Пусть отображение |
f : X |
Y взаимно однозначное. Отображением |
|||||||||||||||||||
обратным к отображению f называется отображение |
f |
1 : Y |
|
X , которое каждому эле- |
|||||||||||||||||
менту y |
Y сопоставляет тот элемент x |
X , для которого |
f |
x |
является образом. |
||||||||||||||||
Пример 3. Для отображения |
f x |
|
|
3x |
2 |
множества |
R в себя обратным является |
||||||||||||||
g y |
y |
2 |
или, что все равно g x |
|
x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 4. Пусть имеем отображения |
f : A |
B и g : B |
C . Суперпозицией g f |
||||||||||||||||||
отображений, или сложным отображением |
g f |
x |
называется отображение A C , состоя- |
||||||||||||||||||