Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н

Теорема 4 (вторая теорема Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке

a, b и на концах его принимает значения

f a

A и

f b

B , то для любого числа C , за-

ключенного между A и B :

A

C

B , найдется такая точка c

a, b

,что

f

c

C .

Теоремы 3 и 4 называют теоремами о промежуточных значениях. Они могут быть ис-

пользованы для приближенного вычисления корней уравнений. Пусть надо решить уравнение

f x

0 . Если найден отрезок

a, b

, на котором

f a

и f

b

имеют разные знаки, то мож-

но утверждать, что на этом отрезке уравнение имеет хотя бы один корень; если при этом

функция строго монотонна, то этот корень единственный. Далее отрезок делят пополам и вы-

бирают половину, на концах которой функция имеет разные знаки и т.д. Так получают значе-

ние корня уравнения f

x

0 с любой наперед заданной точностью.

5.4. Равномерная непрерывность

Пусть функция

f

x

непрерывна на некотором промежутке

X . В определении 2 не-

прерывности функции в точке величина

зависит не только от

,

но и от a . Причем, чем

круче график функции в окрестности точки a , тем меньше

(рис. 51). Отказ от зависимости

от точки a

X приводит к понятию равномерной непрерывности.

y

2

)

x

(

f

=

y

2

a- a a+

a-

a

a+ x

Рис. 51

Определение.

Функция

f

x

называется равномерно-непрерывной на промежутке X ,

если для любого

0 найдется такое

0 , что для любых двух точек x , x

X , удовле-

творяющих неравенству

x

x

, выполняется неравенство f

x

f x

.

Иными

словами,

равномерная

непрерывность

означает

выполнение

неравенства

f x

f

x

независимо от положения точек

x и

x

на промежутке

X , лишь бы раз-

ность

x

x

была достаточно малой.

Для равномерно-непрерывной функции величина

зависит только от

и является об-

щей для всего промежутка X .

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на отрезке

a, b , то она равномерно не-

прерывна на этом отрезке.

Отметим, что эта теорема неверна для интервала или полуинтервала.

Пример. Функция

f

x

sin

1

непрерывна на интервале

0, 1 , однако она не является

x

равномерно-непрерывной на этом интервале. В самом деле, если x

1 ,

x

1

, то

n

n

n

2

2

n

f

xn

sin

n

0 ,

f

xn

sin

2

n

1 ,

n

1, 2, .

2

Так как

lim xn

lim xn 0 , то

n

n

lim

xn xn

0 .

(*)

n

Если 0

1, то, каково бы ни было

0 , из условия (*) следует, что всегда найдется такое

n0 , для которого

xn

xn

,

xn

0, 1

, xn

0, 1

, а

0

0

0

0

f

xn

f xn

1

0

.

0

0

Это и означает, что функция

f

x

sin

1

не является равномерно непрерывной на интервале

x

0, 1 .

1)

f x

91 2 x , x1

0 , x2

2 ;

2)

f x

41 3 x , x1

1, x2

3;

3)

f x

121 x , x1

0 , x2 2 ;

4)

f x

31 4 x , x1

2 , x2

4 ;

5)

f x

81 5 x , x1

3 , x2

5 ;

6)

f x

101 7 x , x1

5 , x2

7 ;

7)

f x

141 6 x , x1

4 , x2

6 ;

8)

f x

151 8 x , x1

6 , x2

8 ;

9)

f x

111 4 x , x1

4 , x2

2 ;

10)

f x

131 5 x ,

x1

5 ,

x2

3.

x

4,

x

1,

x

2,

x

1,

1)

f

x

x2

2,

1

x

1,

2) f

x

x2

1,

1

x

1,

2x,

x

1;

x

3,

x

1;

x,

x

0,

cos x,

x

0,

3)

f x

x 1 2 , 0 x 2,

4) f x

x2

1, 0 x 1,

x

3,

x

2;

x,

x

1;

x,

x

0,

x,

x

0,

5)

f

x

x2 ,

0

x

2,

6) f

x

sin x,

0 x

,

x 1,

x

2;

x

2,

x

;

x

1

,

x

1,

x

2

,

x

0,

7)

f x

x 1 2 ,

1 x 0, 8) f x

tg x, 0 x

4 ,

x,

x

0;

2,

x

4;

2x,

x

0,

2x,

x

0,

9) f x

x2 1, 0

x 1,

10) f x

x, 0

x

4,

2,

x

1;

1,

x

4;

1)

f

x

1

;

2)

f

x

x3

x

;

x2

x

1

2

x

3)

f x

2

1

x

;

4)

f x

cos x

;

4 x2

x

2

x3

x2

x

5)

f

x

;

6)

f

x

;

2

x

1

sin x

cos x

7)

f

x

x2

5x

6

;

8)

f

x

x2

1

;

x2

4

x3

8

f

x

x3

1

f

x

ln 1

x

9)

;

10)

.

x2

1

x

x

1

21 x 2

1

x ;

1)

f

;

2) f x

2

x

21

x 2

1

3)

f x

1

;

4) f x

1

;

1 x 2

1

1 x

2

1 e

5)

f

x

1

;

6) f

x

1

;

1

21 x

2

arctg 1 x

1

x2

7) f x

;

8) f x

ln

;

1 ex 1 x

x 1 x 3

1

1

1

9)

f x

;

10)

f x

x

x

1

.

1

ex

1 x

1

1

x

1

x

x3 3x 1 0, x

1, 0 .

3sin3 x 5sin x 1 0, x 0,

.

2

7) Для функции f

x

x

1

имеем

f

5

4

,

f 7

2

. Следует ли отсюда

x2

2x

24

9

5

существование такого c , что 5

c

7 и

f c 0 ?

8) Для функции f

x

x2

4,

0

x

2

имеем

f

0

4 ,

f 2

10 , f 4 6 .

4 2

x

6,

2

x

4

Существует ли значение c

такое, что

f

c

1 и

f

c

7 ?

9) Будет ли функция f

x

x5

3x

1 в какой-либо точке отрезка

1, 2

принимать зна-

чение, равное нулю?

x2

1,

1

x

0

10) Принимает ли функция

f

x

0,

x

0

наименьшее и наибольшее зна-

x2

1, 0

x

1

нулю, лишь в единственной точке интервала

a, b , не принимать на

a, b

значений разных

знаков?

6) Множество значений функции, определенной на отрезке

a, b , есть отрезок. Можно

ли утверждать, что функция непрерывна на a, b ?

7) Может ли функция, непрерывная на множестве X , принимать на этом множестве

только два различных значения, если: а) X - отрезок; б) X

1, 2

4, 5

; в)

X

0, 1 3 ?

8) Существует ли непрерывная функция, отображающая отрезок

a, b

на всю число-

вую прямую?

9) Существует ли непрерывная функция, отображающая отрезок

a, b

на интервал

c, d

?

10) Существует ли непрерывная функция, отображающая отрезок

a, b

на множество

X

0, 1 3, 4 ?

Группа В

1.

Функция

f x

не

определена в точке

x

0 .

Постройте функцию

F x

f

x , x

0,

так, чтобы функция была непрерывной при x

0 .

A,

x

0

1) f

x

1

x 1 x ;

2)

f

x

x arctg

1

;

x

3) f

x

23x

1

;

4)

f

x

ln 1 3x

;

3x

x

5) f

x

5 1

2x

1

;

6)

f

x

arcsin x

;

sin x

2 tg x

arctg

x2

4

7)

f x

4 x 2

;

8) f x

;

arcsin 2x

1 cos x

3

1

x2

1

9)

1 x 1

;

10) f x

.

f x

tg x

ln 1

x2

1)

f

x

sign

sin x

;

2)

f

x

x

1

;

x

3)

f

x

x

x

;

4)

f

x

sign

cos

1

;

x

5)

f

x

1

sign

sin

;

6)

f

x

x

x

;

x2

x

7)

f

x

x sin

x ;

8)

f

x

1

x2

;

9)

f

x

1

sin x ;

10)

f

x

sec

2

1

.

x

x

ции.

1)

f

x

1

, 0

x

1;

2) f

x

sin x2 ,

x

;

x

3)

f x

x

; 1 x 1;

4)

f x

ln x , 0 x 1;

4 x2

5)

f

x

sin x

, 0

x

;

6)

f

x

ex cos

1

, 0 x

1;

x

x

f

x

arctg x ,

7)

x

;

8)

f x

x , 1

x

;

9)

f

x

x sin x , 0

x

; 10)

f

x

x

sin x ,

x

.