Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Группа Б

1. Вычислить пределы функций.

16x2

1 3x2

4x4

1 3x

lim

;

lim

;

lim

4x2

;

lim

3x4

;

2x2

lim

;

lim

3 x

;

4x 1

9x 2

5 2x 1

3 x2 3

2x x x3 4

lim

x 1

;

lim

;

6 3x4

4x5

2x3

lim

3 x6

;

10)

lim

2. Вычислить пределы функций.

lim

2) lim

tg x

tg a

sin2 x

x 0

a ln x

ln a


x	4 2x8		x3
				.
x2
		9x	5
		9x	5

3)	lim			1 x sin x					1	.	4)	lim				sin x	cos x		.
3)	lim				x	2				.	4)	lim							.
	x	0		e	x	2	1					x		4 ln tg x
				e			1
			sin 2x				2sin x								esin 2x		esin x
5)	lim									.	6)	lim								.
5)	lim			x ln cos5x						.	6)	lim				tg x				.
	x	0		x ln cos5x								x	0			tg x
7)	lim		sin bx				sin ax			.	8)	lim			log3 x		1	.
7)	lim									.	8)	lim						.
	x	0 ln tg					4		ax			x	3			tg x
9)	lim			ex		e		.			10)	lim		ln x h ln x h 2ln x							.
9)	lim							.			10)	lim						sin h2			.
	x	1 sin x2					1					h	0					sin h2

3. Вычислить пределы функций.

											3

1)	lim 1		ln 1		x3				x2 arcsin x .					2)	lim 2
	x	0													x	0
											3

3)	lim 1		x sin2 x					ln 1				x3 .		4)	lim 2
	x	0													x	0
								1
5)	lim 2		3sin2 x			ln cosx .								6)	lim 1
	x	0													x	0
											1
7)	lim 1		sin	2	x			ln 1				tg2 3x	.	8)	lim 2
7)	lim 1		sin		2								.	8)	lim 2
	x	0			2										x	0
												x


					3					sin4 3 x .
9)	lim 1		ln 1		3		x			sin4 3 x .				10)	lim 2
	x	0													x	0

2 3arctg2 x sin x

esin x ctgπx .

ln cos xtg2 x .

ex2 1-cos x .

cosec2 x 5arcsin x3 x

4. Вычислить пределы функций.

e3x 1

sin 4x

cos2

4 x

lim

2 .

lim

ln 1

tg4x

lim

x 2 .

lim

x 3 .

ex3

8x 3

ln 1 x2

lim

x .

lim

8 .

	7) lim	arcsin x
	7) lim	x
	x 0	x

9)lim arctg3x

x0 x

x 1

x 5

									e x 1

.	8)	lim		tg		x			x .
.	8)	lim		tg		x			x .
		x	0	4
				22x	1	1

.	10)	lim					x	1 .
.	10)	lim		x			x	1 .
		x	0	x

Группа В

1. Построить графики функций.

xtg2n

lim

;

lim

0 ;

22n

x2n

tg2n

lim

n 1

, x

0 ;

lim

0 ;

1 arctg xn ;

lim

, x

0 ;

lim

enx

lim

n x 1

;

lim

;

enx

lim

, x

0 ;

10)

lim

0 .

x t

2. Найти односторонние пределы.

lim

;

lim

;

x 3 0

x 3

x 2 0 4 x2

x 1 x ;

3) lim

lim

7 2

x ;

lim

;

x lim

;

0 1

cos x

0 2x

lim arctg

;

lim

;

1 0

lim

;

10)

lim

x 1 0

x 1

x 3 0 x2

3. Определить порядок малости

относительно x при x 0 .

cos x

;

3 x2

x3 ;

tg x

sin x ;

sin

;

3sin3 x

x4 ;

3 1

3 x

1 ;

x 3 x

1 2x 1 x ;

cos x ;

10)

x .

5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5.1. Непрерывность функции в точке

Определение 1. Функция

называется непрерывной в точке x

a , если она опреде-

лена в точке a

и ее окрестности и

lim f

. Это равенство можно переписать в сле-

дующем виде lim f

lim x

. Это означает, что под знаком непрерывной функции мож-

но переходить к пределу.

Пример 1. Докажем, что функция

n x непрерывна в любой точке a 0 .

Решение. Так как lim n x

n a

, то функция n x

непрерывна в точке a .

Определение 2. Функция

называется непрерывной в точке x

a , если для любого

0 существует такое

, что для всех

x ,

удовлетворяющих неравенству

выполняется неравенство

Пример 2. Докажем, что функция

sin x

непрерывна в любой точке a

R .

Решение.

Известно,

что для любого x

;

выполняется неравенство

sin x

Возьмем теперь произвольное

0 . Нам надо найти такое

, чтобы из неравенства

следовало

неравенство

sin x

sin a

Но

sin x

sin a

cos

Так

как

sin

cos

1, а

sin

то

sin x

sin a

. Значит, если выбрать

то из

следует, что

sin x

sin a

. Но это и означает непрерывность функции sin x в

точке x

a .

Определение 3. Функция

называется непрерывной в точке x

a , если для любой

окрестности U

точки

существует окрестность U

точки

такая,

что

f x

f a

для всех x

a .

Определение 4. Функция

называется непрерывной в точке x

a , если для любой

последовательности

значений аргумента,

сходящейся к a ,

последовательность соответ-

ствующих значений функции

сходится к значению

a .

Приращением

аргумента

точке

называется

разность

x0 ,

разность

f x

f x0

называется приращением функции.

Определение 5. Функция

называется непрерывной в точке x

a ,

если бесконечно

малому приращению

аргумента в точке a

соответствует бесконечно малое приращение

функции

, lim

0 .

Пример 3. Докажем непрерывность функции

f x

во всех точках a

0 .

Решение. Имеем f

. Так как

lim

0 ,

x a

то функция непрерывна.

Определение 6. Функция

называется непрерывной в точке

x a

справа (слева),

если правый (левый)

предел этой функции в точке a

равен значению функции в этой точке.

Символически это записывается так

, f

a .

Теорема 1. Для того, чтобы функция была непрерывна в точке a , необходимо и доста-

точно, чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева. В этом случае

lim

a 0

lim

f x

f a .

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва

функции.

Теорема 2.

Пусть функции

g x

непрерывны в точке x

a . Тогда функции

x , f

x g

x , f

g x

также непрерывны в точке a

(частное - при условии

0 ).

Теорема 3. Пусть функция

непрерывна в точке a , а функция u

непре-

рывна в точке b

. Тогда сложная функция u

F x

также непрерывна в точ-

ке a .

Теоремы 2 и 3 дают лишь достаточные условия непрерывности суммы, произведения,

частного функций и сложной функции.

Приведем также следующие важные свойства функций, непрерывных в точке.

Теорема 4. Если функция

непрерывна в точке x

a , то она ограничена в некото-

рой окрестности этой точки.

Теорема 5. Если функция

непрерывна в точке x

a и f

0 ( f

0 ), то су-

ществует окрестность точки a , в которой

0 ( f x

0 ).

Кратко эту теорему можно сформулировать так: функция, непрерывная в точке x

a , в

достаточно малой окрестности этой точки имеет тот же знак, что и f

a .

Обратим внимание, что из непрерывности функции в точке a не следует непрерывность

этой функции в достаточно малой окрестности точки a . Например, функция

рациональное число

иррациональное число

непрерывна в точке x

0 и разрывна во всех точках отличных от нуля.

Определение 7. Функция

называется непрерывной на множестве D , если она не-

прерывна в каждой точке x

D .

Так, в примере 1 функция непрерывна на множестве точек x

0, , в примере 2 функ-

ция непрерывна на множестве

R ,

в примере 3

функция непрерывна на множестве точек

, 0

0, .

Теорема 6. Пусть функция

x непрерывна и строго монотонна на промежутке

X и

y ,

тогда обратная функция x

y также непрерывна и монотонна на промежутке

Y .

Теорема 7. Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях аргу-

мента x , для которых они определены.

Следствие. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она

определена.

5.2. Классификация точек разрыва функции

Существуют следующие типы точек разрыва.

Устранимый разрыв. Точка a

называется точкой устранимого разрыва функции

x ,

если предел функции в этой точке существует, но в точке x		a функция либо не определена,
либо ее значение f a не равно пределу в этой точке (рис. 50,а).
а)	б)	в)
	Рис. 50

Пример 1. Функция sin x x в точке x 0 , как известно, имеет предел равный единице.

Однако в самой точке эта функция не определена, этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней, тогда функция будет непрерывной на всей числовой оси.

Разрыв первого рода. Точка a называется точкой разрыва 1-го рода функции f x , если

в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы (рис.

50,б).

Пример 2. Для функции		f	x =sign x точка x 0 является точкой разрыва первого рода,
так как f 0 0	1 , а f 0	0	1 .

Разрыв второго рода. Точка a называется точкой разрыва 2-го рода функции f x , ес-

ли в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен (рис. 50,в).

Пример 3. Для функции f		x	1 x точка x 0 является точкой разрыва 2-го рода, по-
скольку lim	.
x 0
Пример 4. Для функции sin		1	точка x 0 является точкой разрыва 2-го рода, так как ни
Пример 4. Для функции sin		x	точка x 0 является точкой разрыва 2-го рода, так как ни
		x

левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

5.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение. Функция f x называется непрерывной на отрезке a, b , если она не-

прерывна в каждой внутренней точке отрезка, в точке a справа, а в точке b слева.

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то

она ограничена на этом отрезке.
Для интервала теорема 1 не имеет места. Так, например, функция f x	1	непрерывна
	x	непрерывна
	x
на 0, 1 , но не ограничена на этом интервале.

Разрывная функция, определенная в любой точке отрезка, может не быть ограниченной на этом отрезке, например,

f x	1 x, если 0	x 1 .
	0, если x	0

Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений: M sup f x ,

m inf f x .

Теорема 2 не решает вопрос о числе точек, в которых непрерывная на отрезке функция имеет наибольшее (наименьшее) значение, она утверждает о существовании по крайней мере

одной	такой точки. Так, функция f x sin x на	отрезке				0, 4				имеет sup f x 1 и
inf f x	1 и достигает их соответственно в точках		,	5	и	3	,	7	.
		2		2		2		2

Если функция непрерывна на интервале или разрывна на отрезке, то теорема 2 не верна. Приведите примеры.

Теорема 3 (первая теорема Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке a, b и на концах его принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка

c a, b , в которой f x обращается в нуль: f c 0 .

Источник: https://studfile.net/preview/16566008/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "
"Логистическая технология JIT"