Документ: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н, страницы 11-15

Рассмотрим конечное множество M , содержащее n

элементов, и подсчитаем, сколько

у него будет подмножеств. Имеется пустое подмножество

, кроме того, имеются:

- Cn1 n одноэлементных подмножеств,

- Cn2

n!

двухэлементных подмножеств,

2! n

2 !

…………………………………………………….

- Ck

n!

k -элементных подмножеств,

n

k ! n

k !

…………………………………………………….

- Cn 1

n!

n n 1-элементных подмножеств,

n

1 ! 1!

- само множество

M . Итого у множества M имеется C0

C1

Cn 1

Cn

2n подмножеств.

n

Если теперь M - бесконечное множество мощности

, то по аналогии со случаем ко-

нечного множества мощность множества всех его подмножеств обозначают 2 .

На основании теоремы 3 можно показать, что множество всех вещественных функций на

отрезке 0, 1

имеет мощность большую чем C , а именно 2C , и более того,

множеств с наи-

большей мощностью не существует.

1.5.Действительные числа. Свойства

Вматематическом анализе наиболее часто используются следующие числовые множе-

ства:

- N 1, 2, 3, , n, - множество натуральных чисел;

-	Z	0,			1,	2, ,	n, - множество целых чисел;
-	Q		m	, m		Z, n	N - множество рациональных чисел;

			n
-	R - множество действительных чисел;
-	I	x : x			R, x Q - множество иррациональных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

N Z Q R .

В школьном курсе математики действительные числа определяют как множество рациональных и множество иррациональных чисел, рациональные числа представляются в виде периодических десятичных дробей, а иррациональные в виде непериодических бесконечных десятичных дробей. Точное определение действительного числа было дано только в 19 веке Р.Дедекиндом, К.Вейерштрассом и Г.Кантором, причем различными способами. Так Дедекинд вводил действительные числа как разбиение множества рациональных чисел на два непустых подмножества. Кантор определял действительные числа с помощью сходящихся последовательностей рациональных чисел. Вейерштрасс рассматривал для этой цели системы стягивающихся отрезков. Для математического анализа существенное значение имеет не способ введения и записи, а свойства множества действительных чисел. Перечислим эти свойства.

Свойства сложения.
1. Для любых чисел	a, b	R определено единственное число			a	b	R ,	называемое
суммой чисел a и b .
2. Для любых чисел	a, b	R имеет место соотношение	a	b	b	a	(коммутатив-
ность).
3. Для любых чисел a, b, c		R имеет место соотношение a		b	c		a	b c (ассо-
циативность).
4. Существует число 0	R такое, что a 0 a для всех a		R . Число 0 носит название
нуль.
5. Для любого числа a	R существует число b R такое, что a				b	0 .

Свойства умножения.

6. Для любых чисел a, b

R определено единственное число a b

R , называемое про-

изведением чисел a и b .

7. Для любых чисел a, b

R имеет место соотношение a b b a (коммутативность).

8. Для любых чисел a, b, c

R имеет место соотношение a

b c

a b

c

(ассоциа-

тивность).

9. Существует число 1

R такое, что 1 a a для всех a

R . Число 1 носит название

единица.

10. Для любого числа a

R существует число b

R такое, что a b

1.

11. Для любых чисел a, b, c

R имеет место соотношение a

b c

a c

b c (дист-

рибутивность).

Следствия из свойств сложения и умножения.

1) Для любых чисел a, b

R имеется ровно одно число x

R такое, что a

x

b . Чис-

ло x называется разностью чисел b и a и обозначается b

a . При этом 0

a

a .

2) Для любого числа a

R имеем a

a ,

0

0 .

3) Для любых чисел a, b, c, d

R имеем:

b

a

d

c эквивалентно a

d

b

c ,

b

d

a

c

b

a

d

c ,

b

c

a

d

b

a

d

c .

4)

Из a b 0 следует, что либо a

0 , либо b

0 .

5)

Для любых чисел a, b R ,

где a

0 существует единственное число

x

R такое,

что a

x

b . Число x называется частным от деления b на a и обозначается

b

или b a .

a

6)

Для любого числа a

R \

0

имеем

1

a .

1 a

7)

Для

любых

чисел

a, b, c, d

R \

0

равенство

b

d

эквивалентно

тому, что

a

c

a d

b c ; кроме того,

b

d

b d

,

b a

b c

.

a

c

a c

d c

a

d

8)

Для

любых

чисел

a, b

R

и

любого

c

R \ 0

выполняется

соотношение

a

b

a

b

.

c

9) Для любого числа a R справедливо равенство a		1	a .
10) Для любых чисел a, b R выполняется равенство		a b	a b .
11) 1	1 1.

Свойства порядка.
12.	Множество R - определено отношением строгого порядка: для любых двух различ-
ных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений a									b , или b a .
13.	Для любых чисел a, b, c				R таких, что		a	b и	b	c , справедливо соотношение
a c (транзитивность).
14. Для любых чисел a, b, c				R таких, что a			b , справедливо соотношение a c b c .
15.	Для любых чисел a, b, c				R таких, что		a	b и	c	0 , справедливо соотношение
a c b c .
Следствия из свойств порядка.
1)	Если a	b . то	a b .
2)	Если a	b и c	d , то a		c b	d .
3)	Если a	b и c	d , ( b	0 и c		0 ), то a c		b d .

4)1>0.

5)Если a 0 , то 1a 0 .

16.Множество R - плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится хотя бы одно действительное число.

17.Множество R - непрерывное. Пусть множество R разбито на два непустых множества A и B таких, что каждое действительное число содержится только в одном множестве и

для каждой пары чисел a A и b B выполнено неравенство a b . Тогда существует единственное число c , удовлетворяющее неравенству a c b .

Свойство непрерывности множества действительных чисел позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством R и множеством точек на прямой. На прямой выберем точку O - начала отсчета, укажем направление отсчета и единицу измерения, тем самым полностью определив числовую ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. Каждой точке M соответствует координата точки – число x равное по величине

длине отрезка OM со знаком "

" , если точка находится справа от начала отсчета и со знаком

" ", если слева.

Пример 1. Доказать, что

2 - иррациональное число.

Доказательство. Если бы существовало рациональное число r

2 , то его можно было бы

записать в виде несократимой дроби r

m

, причем должно было бы выполняться равенство

n

m 2

2 , т.е. m 2

2n 2 , но

тогда

m

должно быть четным

числом m 2k , а потому

n

2k 2 2n2 , т.е. 2k 2

n 2 .

Отсюда следует,

что и число n

четно. Но тогда дробь

m

вопреки предположению со-

n

кратима. Таким образом, пришли к выводу, что 2 - иррациональное число.

Пример 2. Если

A - множество площадей многоугольников, вписанных в окружность

радиуса r , а B - множество площадей многоугольников, описанных вокруг той же окружности, то эти числовые множества разделяются единственным числом – площадью круга радиуса r .

В современном математическом анализе чаще используют аксиоматический подход к определению действительного числа, предложенный немецким ученым Д.Гильбертом.

Определение 1. Множество элементов, обладающих свойствами 1-17 и содержащее более чем один элемент, называется множеством действительных чисел, а все его элементы – действительными числами.

Это определение однозначно задает множество действительных чисел.

Расширенная область

R действительных чисел или, говорят, расширенная числовая

прямая состоит из всех действительных чисел R и двух символов или точек

и .

Возьмем два числа a,b

R , такие, что a

b . Отметим их точками на числовой прямой.

Если a x

b , то множество

x : a

x

b

обозначают a, b и называют интервалом

(или открытым промежутком).

Множество

x :

a

x

b

обозначают

a,b

и называют отрезком (или замкнутым

промежутком).

Множества

x :

a

x

b

и

x : a

x

b обозначают соответственно

a, b и a, b и

называют полуинтервалами (или полуоткрытыми промежутками).

Множества x : a x

и x :

x b обозначают соответственно a,

и

, b и назы-

вают лучами.

Множества x : a x

и x :

x b обозначают соответственно a,

и

, b и назы-

вают открытыми лучами.

Луч и открытый луч называют также бесконечными промежутками.

Числовая прямая, интервал, отрезок, полуинтервал, луч и открытый луч объединяются общим термином

числовой промежуток (числовой интервал).

В математическом анализе многие важные утверждения доказываются на основании следующего принципа вложенных отрезков.

Определение 2. Система числовых отрезков

a1, b1 , a2 , b2 , …, an , bn , …, ai				R , bi	R ,	i 1, 2,
называется системой вложенных отрезков, если
a1	a2 an	bn	b2		b1 ,
т.е., если
a1, b1	a2 , b2	an , bn		(рис.5).

a1 a2

ai

an

bn

bi

b2 b1

Рис. 5

Теорема.1. Всякая система вложенных числовых отрезков имеет непустое пересечение.

Теорема 2. Для всякой системы вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Напомним понятие модуля действительного числа и его свойства.

Определение 3. Модулем действительного числа a называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условию

a

a при a 0, a при a 0.

Для любых a, b R справедливы следующие свойства абсолютных величин

1.

a

0 ,

a

,

a

a ;

2. если

a

0 , то это эквивалентно тому, что a 0 ;

3.

a b

a

b

,

a

b 0 ;

b

a

b

a

b

4.

(неравенство треугольника);

5.

a

b

a

b

.

1.6.Ограниченные числовые множества. Точные грани числовых множеств

Определение 1. Числовое множество E называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M R ( M R ) такое, что для всех x E выполняется неравенство x M ( x M).

Определение 2. Числовое множество, которое ограничено и сверху и снизу, называется ограниченным. Примерами ограниченных числовых множеств являются отрезок, интервал, полуоткрытый промежуток.

Число M ( M ) называется верхней (нижней) границей множества E .

Определение 3. Наименьшая из верхних границ непустого ограниченного сверху множества E называет-

ся точной верхней гранью этого множества и обозначается		sup E	sup x (supremum).
			x E
Теорема 1. Непустое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань, притом единствен-
ную.
Теорема 2. Для того чтобы число	было точной верхней гранью непустого числового множества E , не-
обходимо и достаточно, чтобы:
1) для всех x E выполнялось неравенство x		;

2) для любого действительного числа	0 нашлось такое x		E , что x	.
Определение 4. Наибольшая из нижних границ непустого ограниченного снизу множества E называется
точной нижней гранью этого множества и обозначается		inf E	inf x (infimum).
			x E

Теорема 3. Непустое множество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань, притом единствен-

ную.

Теорема 4. Для того чтобы число было точной нижней гранью непустого числового множества E , не-

обходимо и достаточно, чтобы:
1)	для всех x E выполнялось неравенство x			;
2)	для любого действительного числа		0 нашлось такое x		E , что x	.
Пример 1. Пусть a R , b		R и a	b , тогда
	sup a, b	sup a, b	b	и inf a, b	inf a, b	a .

Этот пример показывает, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

Пример 2. Пусть X

x :

x

n

,

n

N . Докажем, что sup X

1 , inf X

1

.

n

2

3

Решение. Для любого натурального числа

n

имеем

n

1, а потому 1 – одна из

n

2

верхних

граней

для

X .

Предположим

теперь,

что

c

1. Тогда

найдется такое m , что

c

1

.

С

другой

стороны,

1

n

2

,

а

потому

при n

2 10m

имеем

10m

n

2

n

2

1

n

2

1

. Из этого неравенства следует,

что

n

1

c . Мы

n 2

n

2

2 10m

n

2

10m

нашли, таким образом, элемент

n

X , такой, что

n

c .

Итак,

для множества

X и

n

2

n

2

числа 1 выполнены оба сформулированных выше утверждения, и потому sup X

1 . Само чис-

ло 1 не принадлежит X .

Далее, имеем

n

2

1

2

. Отсюда видно,

что при увеличении n

раз-

n 2

n

2

n

2

ность 1

2

увеличивается. Значит, наименьшее значение разности достигается при n

1, и

n

2

это значение равно

1

. Таким образом,

1

-

наименьший элемент множества

X , а потому

3

inf X

1

.

3

1.7. Открытые и замкнутые множества

на числовой оси

Определение 1. Для любого

0

-окрестностью точки a

R называется множество

U

a

x : a

x

a

.

В случае a

U

a

x : x

1

,

, а в случае a

U

a

x : x

,

1 .

Определение 2. Проколотой

-окрестностью точки a

R называется множество, по-

лучающееся удалением точки a из ее

-окрестности:

x : x a , a a, a

U a U a \ a

.

Определение 3. Точка a называется внутренней точкой множества A ,

если существует

-окрестность U

a

целиком принадлежащая A .

Определение 4. Точка a

называется граничной точкой множества

A , если в каждой ее

окрестности существуют точки как принадлежащие множеству A ,

так и не принадлежащие

множеству A .

Определение 5. Точка a называется точкой прикосновения множества A , если в каждой

ее окрестности существует хотя бы одна точка, принадлежащая множеству A .

Если точка прикосновения является одной из бесконечностей

,

или

, то она

называется бесконечно удаленной точкой прикосновения.

Очевидно, что все элементы числового множества являются его точками прикосновения. Точками самого множества не исчерпываются, вообще говоря, все его точки прикосновения: могут существовать точки прикосновения и не принадлежащие ему. Например, точки x a и x b являются точками прикосновения интервала a, b и не содержатся в нем.

Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н

Смотрите также: