Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н

Определение

1.

Функция

x

называется

бесконечно

малой

при

x

a ,

если

lim

x

0 .

x a

Определение

2.

Функция

f

x

называется

бесконечно

большой

при

x

a ,

если

M

0

0 такое, что

x X ,

удовлетворяющего условию

x

a

, выполняется нера-

венство

f

x

M . Пишут lim f

x

.

x

a

Теорема 1. Для того, чтобы функция f x имела предел при x

a , равный A , необхо-

димо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде f

x

A

x , где

x

- бес-

конечно малая при x

a .

нечно малой функцией.

Теорема 4. Если функция

f x

- бесконечно большая, то функция 1 f x

является бес-

конечно малой. Если функция

x

- бесконечно малая и

x

0 ,

то функция 1 x явля-

ется бесконечно большой.

4.3. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если

f

x

C - постоянная,

x

X , то

lim f

x

C .

x

a

Теорема 2. Если

f

x

C ,

x

X

и существует конечный или определенного знака

бесконечный предел lim f

x

, то

lim f

x

C .

x a

x

a

Теорема 3. Если существуют конечные пределы lim f

x

и

lim g x ,

то существуют

x a

x a

и конечные пределы

lim

f

x

g

x

lim f x

lim g

x

,

,

R ;

x a

x

a

x a

lim f

x

g

x

lim f

x lim g

x

;

x

a

x

a

x a

f

x

lim f

x

а если lim g x 0 , то

lim

x

a

.

g

x

lim g

x

x a

x

a

x

a

Пример 1. Вычислить предел

lim

x2

1

.

x

1

x 1

Решение. Так как lim

x2

1

0 и lim

x 1

0 , то этот предел является неопределен-

x

1

x

1

ций. Воспользуемся тем, что при рассмотрении предела функции в точке x

1 ее аргумент не

принимает значения, равного 1. Поэтому lim

x2

1

lim

x

1

x

1

lim x

1 2 .

x 1 x

1

x 1

x

1

x 1

lim

2 y

1

Применив второй замечательный предел, преобразуем данный предел к виду

e

y 0 y 2

3 y 1 1

.

2 3

1 3

2

y 1

2 3

y

1

1 3

1

2 y

y

1

y

1

1

lim

lim

3

e

y 0 y 2

y 1 1

e

y 0

y 2

e

.

Теорема 2 (о пределе промежуточной переменной). Пусть функции

f x

, g x , h x

определены в некоторой окрестности точки a ,

кроме,

быть может, самой точки a

и удовле-

творяют неравенствам

g

x

f

x

h

x .

Если при этом

lim g

x

lim h x

A , тогда и

x

a

x

a

lim f x

A .

x

a

С помощью теоремы о пределе промежуточной переменной доказывается существование

первого замечательного предела

lim

sin x

1.

x

0

x

Теорема 3 (критерий Коши). Функция f

x

, x

X ,

имеет в точке a конечный предел

тогда и только тогда, когда для любого числа

0 существует такое число

0 , что для

всех точек x

X ,

x

X , удовлетворяющих неравенствам

x

a

,

x

a

, выполняет-

ся неравенство

f

x

f

x

.

Теорема 4. Пусть функция f

x

задана на множестве X , функция g y

- на множест-

ве Y и f

X

Y . Если существуют конечные или бесконечные пределы

lim f

x

A ,

lim g

y

B ,

x

a

y

b

то

при

x

a

существует

предел

(конечный или

бесконечный)

композиции функций

g

f x

, причем

lim g

f

x

lim g

y .

x

a

y

b

4.5. Сравнение бесконечно малых функций

Если функции

x

и

x

бесконечно малы при x

a ,

то lim

x

(неопределен-

x

x

a

ность вида

0

)

может равняться либо нулю, либо бесконечности,

либо какому-нибудь числу,

0

отличному от нуля; наконец, он может не существовать.

Если lim

x

0 ,

то при x

a функция

x

быстрее стремится к нулю,

чем

x .

x

x

a

Говорят, что - бесконечно малая более высокого порядка, чем

. Пишут

o

.

Если

lim

x

, то

-

бесконечно малая более низкого порядка, чем

.

Пишут

x

x

a

o

.

Если

lim

x

C

0 , то

и

- бесконечно малые одного порядка, чем

. Пишут

x

x

a

O

и

O

.

Особенно важен частный случай, когда lim

x

1 . В этом случае

и

называются

x

x a

эквивалентными бесконечно малыми (при x

a ). Пишут

.

Если lim

x

не существует, то

и

называют несравнимыми бесконечно малыми.

x

x

a

Функция

x a

при

x

a

называется

бесконечно малой

первого

порядка.

Если

lim

x

C

0 , то бесконечно малую

называют бесконечно малой порядка k .

a k

x a

x

Пример 1. Вычислить предел

lim

1

cos x

.

x

0

x2

Решение.

Так

как

1

cos x

2sin

2 x

,

а

из

первого

замечательного

предела следует

2