Материал: Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха

Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РФ (МИИТ)

Институт управления и информационных технологий

Кафедра «Прикладная математика-1»

Курсовая работа по дисциплине

«Функциональному анализу»

на тему:

«Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха»

Выполнила: студентка группы УПМ-311

Гафарова Сабина

Проверил: проф. Гапошкин В.Ф.

Москва 2015

СОДЕРЖАНИЕ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.Выпуклые множества

2.Выпуклый функционал

3. Функционал Минковского

4. Теорема Хана-Банаха

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Выпуклые множества

Пусть X-линейное вещественное пространство.

Определение 1.1. Множество C  X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками x⁽¹⁾ и x⁽²⁾ оно содержит и весь отрезок. (т.е. ρ(x⁽¹⁾, x⁽²⁾))

На рисунке изображены 2 множества на плоскости R² C-выпуклое, а С₁-нет.

Совокупность всех выпуклых множеств из линейного пространства X обозначается - CONV(X)

Рассмотрим множество С, такое, что С - множество точек, а x - любая фиксированная точка этого пространства. Расстояние от x до С обозначим ρ(x, С). Тогда ρ(x, С) - есть точная нижняя грань расстояний от х до всевозможных точек С. (если C  Е^m, Е^m - m-мерное Евклидовое пространство). Итак, получаем:

Множество ρ(x,y) всегда ограничено снизу, для любого y∊С, ρ(x,y)=0.

Лемма: Пусть С - замкнутое множество из рефлексивного банахового пространства X и пусть для любых x₁, x₂ ∈ C существует число α = α(x₁, x₂) ∈[0, 1], вообще говоря, зависящее от x₁ и x₂, и такое, что:

Тогда множество С - выпукло.

Доказательство: 1) Допустим, противное, т.е. множество C невыпукло. Тогда найдутся точки x₁, x₂ ∈ C, x₁ ≠ x₂ и число α₀ ∈[0, 1] такие, что:

Положим

Эти множества замкнуты (т.к. пересечение замкнутых множеств), причем x₀∉D_i, i=1,2, поскольку x₀∉C. Кроме того, они очевидно ограничены.

) Далее, из свойств рефлексивного банахова пространства вытекает, что существуют элементы z₁ ∈ D₁ и z₂ ∈ D₂ такие, что:

Из построения D₁ и D₂ следует, что, в частности, z_i ∈ C, i = 1, 2.

) При этом на полуинтервалах (z₁, x₀] и [x₀, z₂) нет точек из C (в соответствие с (**)). Так что: (z₁,x₀)∩C=ᴓ ; (x₀,z₂)∩C=ᴓ

Таким образом, z₁, z₂ ∈ C, но внутри отрезка [z₁, z₂] нет ни одной точки из C, что противоречит условию (*). Следовательно, множество C выпукло.

Определение 1.2. Пересечение всевозможных выпуклых множеств С, содержит данное множество М, называется выпуклой оболочкой множества М и обозначается:

Определение 1.3. Пусть x¹,…,xⁿ - элементы пространства X. Тогда вектор  - называется линейной оболочкой или выпуклой комбинацией x¹,…,xⁿ, если в (1.2) соответственно:

а)  - любые действительные числа.

б)

c)

d)

Другими словами, для выпуклого множества С, в частности, имеем:

Где векторы x¹,x²,…,xⁿ∊X.

Рассмотрим теперь произвольное множество M ⊂ X.

Свойство 1.1. Выпуклая оболочка множества М состоит из всех выпуклых комбинаций элементов из М.

Доказательство: Рассмотрим выпуклую оболочку М.

 - множество всех выпуклых комбинаций точек из М. Покажем, что М⊂М.

Пусть  Тогда для ƛ∊[0;1] выпуклая комбинация точек y¹ и y²

, а эта последняя сумма из (***) является выпуклой комбинацией точек ;  поскольку имеет место цепочка равенств:

 итак, М⊂М и М - выпукло. Следовательно, co M⊂ M.

С другой стороны, если y⊂М, то y является выпуклой комбинацией точек из М, и поэтому М=co M.

Свойство 1.1. Множество М выпукло тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей выпуклой оболочкой.

Значит, всякая точка из co М может быть представлена в виде выпуклой комбинации некоторого конечного числа точек (которое может быть достаточно большим).

2. Выпуклый функционал

Определение 2.1. Выпуклым функционалом называется функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством.

Функционал f, не принимающий значений, равных -∞ на выпуклом множестве M, будет выпуклым на M тогда и только тогда, когда выполняется:

При обратном знаке неравенства функционал f называется вогнутым.

Примерами выпуклых функционалов является:

♦ норма;

♦ полунорма;

♦ линейный функционал;

♦ функционал Минковского выпуклого и симметричного множества;

Пусть функционалы f и g - определены на множестве М. f,g - выпуклые функционалы. Введем число α, такое что α > 0. Операции:

Сложение:

Умножение:

Взятие верхней грани:

Инфимальная конволюция:

Выпуклый функционал, ограниченный сверху в окрестности некоторой точки х, является непрерывным в этой точке. Если выпуклый функционал конечен в некоторой точке х, то он имеет производную по любому направлению (конечную или бесконечную) в этой точке. Замкнутые выпуклые функционалы (т. е. функционалы с выпуклыми и замкнутыми надграфиками) в локально выпуклых линейных топологических пространствах допускают двойственное описание: они являются верхними гранями аффинных функций, их не превосходящих. Такая двойственность позволяет связать с каждым выпуклым функционалом двойственный объект, сопряженный функционал:

Функционал - f заданный на выпуклом множестве М, называется строго выпуклым, если неравенство (*) перейдет в строгий вид, при этом x ≠ y, α∊(0;1).

Свойства строго выпуклых функционалов.

Строго выпуклый функционал имеет не более одной точки локального минимум в М и ни одной точки локального максимума. Точки глобального максимума строго выпуклого функционала, определенного на выпуклом компакте, лежат на границе этого компакта. Глобальный минимум функционала f имеет в стационарной точке (если она существует).

3. Функционал Минковского

В функциональном анализе, функционал Минковского использует линейную структуру пространства для введения топологии на нём.

Для любого векторного пространства X (вещественного или комплексного) и его подмножества М определим функционал Минковского.

(предполагается, что 0∊M и множество {r>0| x∊ rM} непустое).

• Если M - выпукло и симметрично, то:

• Если M - сбалансированное множество, то есть αM⊂M для ∀α, |α|<1.

Свойство 3.1. Функционал Минковского неотрицателен и сублинейнен.

Свойство 3.2. Справедливы следующие включения:

Свойство 3.3. Если X - линейное топологическое пространство, то μ(x|A) - непрервна в точке 0 тогда и только тогда, когда 0∊inf A.

Доказательство:

.1. Если μ(x|A) или μ(y|A) < +∞, по определению точной нижней грани ∀ε>0,∃t и ∃s такие, что:

В силу выпуклости A:

Поскольку , то в силу (*):

так как ε >0   и  - суббадитивны.

Для α >0, имеем:

  - положительно однородный.

Таким образом  - является сублинейным. Не отрицательность функционала Минковского следует из определения.

3.2. Если x ∊ A, то очевидно  Поэтому включение очевидно. Пусть теперь x таково, что μ(x|A)<1. Тогда ∃t ∊ (0;1), такое, что . Так как 0 ∊ A и A выпукло, то

так что и первое включение в (**) также выполнено.

3.3. Пусть X - линейное топологическое пространство. Тогда μ(x|A) непрерывен в 0 в том и только в том случае, когда:

Рассмотрим окрестность U₁:U(ε)=εU₁. Тогда ввиду положительной однородности μ(x|A) из предыдущего неравенства, будем иметь:

. Следовательно, из 3.2. будем иметь U₁⊂ A, а U - окрестность нуля.

Свойство 3.4. пусть X^*- множество линейных функционалов на X. Для того, чтобы функционал x^*∊ X^* на линейном топологическом пространстве X был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы существовала сублинейная функция, непрерывная в нуле. p(x), мажорирующая x^*:

Доказательство:

1)      Необходимость устанавливается непосредственно, если положить p(x)=|<x^*,x>|.

)        Достаточность. Пусть (***) - верна, где p(x) сублинейная и непрерывная функция в нуле. Тогда ∀ε>0, ∃U_ε  0 такая, что:

Поскольку 0∊U_ε и 0=(-0)∊(-U_ε), то ∃ окрестность нуля W такая, что 0 ∊W⊂ ⊂ U_ε∩(-U_ε). Если x ∊W, то x ∊ U_ε и (-x) ∊W, т.е. функционал x^*непрерывен в нуле. Остается заметить, что линейный функционал, непрерывный в одной точке, непрерывен на X.

4. Теорема Хана-Банаха

Теорема 4.1. Пусть L - действительное линейное пространство и L₀ - некоторое подпространство L. f₀ - некоторый линейный функционал и пусть он задан на L₀. Линейный функционал f - определен на всем пространстве L. f - продолжение функционала, если f(x)=f₀(x), ∀x ∊ L₀.

Теорема 4.2. Пусть p - однородный выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве L, и пусть L₀ - линейное пространство в L. Если f₀ - линейный функционал на L₀, подчиненный функционалу p(x) на L₀ т.е. если на L₀ f₀(x)≤ p(x), то f₀.может быть продолжен до линейного функционала f на L, подчиненного p(x) на всем L.

Доказательство: Покажем, что если L₀≠ L, то функционал f₀ можно продолжить с L₀ на некоторое большое подпространство L’ с сохранением условия f₀(x)≤ p(x). Действительно, пусть z - произвольный элемент из L, z ∉ L₀ и L’ - подпространство, порожденное L₀ и z. Кждый элемент из L’ имеет вид: .