Материал: Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха

Если f’ - искомое продолжение функционала f₀ на L’, то или, если положить  .

Теперь выбираем c так, чтобы сохранить на L’ условие подчинения f₀(x)≤ p(x), т.е. ∀x ∊ L₀ и ∀t (A - действительное) выполнялось: f₀(x)+tc≤ p(x+tz). При t > 0 оно равносильно: , или , а при t > 0:  или .

Покажем, что всегда ∃c, удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть  и  - произвольные элементы из L_0, тогда:

Это вытекает из неравенства:

Положим . Из (*)  , т.к.  и  - произвольные. Выбрав c такое, что , определим  на  формулой . Этот функционал удовлетворяет условиям , ∀x ∊ L₀.

Итак, мы показали, что  - определен на некотором подпространстве L₀⊂ L и удовлетворяет на L₀ условию подчинения. Значит  - можно продлить (с сохранением условия) на некоторое большое подпространство .

Если в L можно выбрать счетную систему элементов x₁,x₂,…,x_n,…, порождающую все L, то функционал на L строим по индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространств:

 - минимальное линейное подпространство L, содержащие  и . Так как каждый элемент x ∊ L. В общем случае, когда счётного множества порождающего L не существует по Лемме Цорна.

Теоремы отделимости.

Пусть X - линейное топологическое пространство, X^* - сопряженное к нему.

Определение 4.1. Говорят, что функционал x^* ∈ X^* разделяет множества A и B, A ⊂ X, B ⊂ X, если существует γ ∈ R, такое что

и строго разделяет A и B, если существует такое γ, что:

Геометрически неравенство (**) означает, что гиперплоскость

отделяет множества A и B друг от друга в том смысле, что A лежит в одном полупространстве

а B - в другом

Неравенство же (***) означает, что при этом γ можно выбрать таким образом, чтобы A и B лежали внутри соответствующих полупространств и не имели общих точек с H(x^*, γ).

Теорема 4.3.( об отделимости)

Пусть A и B - выпуклые непустые подмножества пространства X, int A ≠ ∅ и, кроме того,

(♦) int A ∩ B = ∅.

Тогда существует нетривиальный функционал x^* ∈ X^*, разделяющий A и B.

Доказательство:

а) Поскольку int A ≠ ∅ и B ≠ ∅ то существуют a₀ ∈ int A и b₀ ∈ B. Тогда множество

является непустым выпуклым множеством, содержащим 0.

Покажем, что это множество открыто. Действительно, пусть x ∈ C. Тогда x = a - a₀ − b + b₀, a ∈ int A, b ∈ B. Поэтому существует окрестность U = U(a) точки a такая, что U ⊂ int A. Тогда x ∈ V = U - a₀ − b + b₀ ⊂ C.) Кроме того, точка c = b₀−a₀ ∉ C. Действительно, в противном случае существовали бы точки a ∈ int A и b ∈ B, для которых b₀ − a₀= a − a₀− b + b₀ ∈ C.

Отсюда a − b = 0 или a = b ∈ (int A) ∩ B, что противоречит (♦).) Обозначим через p(x) функцию Минковского множества C. Тогда p(x) - сублинейная и непрерывная в точке 0 функция. Кроме того, p(x) ≤ 1 для любого x ∈ C.) На подпространстве

определим функционал l(·) по правилу:

Покажем, что l(·) - линейный функционал. Действительно,

Покажем теперь, что функционал l(·) мажорируется функцией Минковского p(·) множества C.

Если α > 0, то <l, αc> = αp(c) = p(αc). Если же α ≤ 0, то, поскольку p(c) ≥ 0 <l, αc> = αp(c) ≤ 0 ≤ p(αc).

Таким образом, <l, x> ≤ p(x) ∀x ∈ L. Тогда по теореме Хана- Банаха l(·) можно продолжить до линейного функционала Λ ⊂ X:

.

.

Поскольку p(·) непрерывна в нуле, то из () следует непрерывность функционала Λ (из <x^*, x> ≤ p(x) ∀ x ∈ X.) и Λ ⊂ X^*.) Для любого a ∈ int A и для любого b ∈ B имеем: <Λ, a - b> = <Λ, a - a₀ − b + b₀> + <Λ, a₀ - b₀> (),() ≤ ≤ p(a - a₀ − b + b₀) − <l, a₀ - b₀> () ≤ 1 − p(b₀− a₀), поскольку (a - a₀ − b + b₀) ∈ C. Итак, для любого a ∈ int A и для любого b ∈ B.

) Покажем теперь, что для любого t из полуинтервала (0, 1] точка  c не может принадлежать C. В самом деле, если бы такое включение имело место, то, поскольку 0 ∈ C и C выпукло, мы бы получили: . Что невозможно, поэтому:

Тогда из () следует, что для любых a ∈ int A и b ∈ B      < Λ, a-b> ≤ 1- p(≤ 0. Поскольку в полученном неравенстве:    , a ∈ int A, b ∈ B переменные a и b независимы, то:

. Учитывая, что:

. получаем требуемое.

Кроме того, из () и ():

. так что Λ ≠ 0. Таким образом, Λ нетривиален и разделяет A и B.

Теорема 4.4.( об отделимости)

Пусть X - локально выпуклое топологическое пространство, A - непустое замкнутое выпуклое подмножество X, и существует точка z ∈ X, не принадлежащая A. Тогда множество A и точка z строго разделимы.

Доказательство:

Поскольку z ∉ A и A замкнуто, то существует окрестность U = U(z) точки z такая, что A ∩ U = ∅. Ввиду локальной выпуклости X эту окрестность можно считать выпуклой. Тогда (по теореме 4.3) отделимости существует ненулевой функционал x^*, разделяющий A и U. Другими словами:

Остается заметить, что: , поскольку нижняя грань ненулевого линейного функционала не может достигаться во внутренней точке выпуклого множества.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Исходя из изложенного теоретического курса (в 1 части), мною были решены следующие задачи:

Пример 1. В пространстве R² с элементами  на подпространстве

 задан линейный функционал . Доказать, что существует единственное продолжение f на все R² с сохранением нормы и найти это продолжение.

Решение:

По теореме Хана-Банаха для всякого ограниченного линейного функционала f, заданного на подпространстве L, существует его продолжение на все X с сохранением нормы. В пространстве R² линейный ограниченный функционал имеет вид , тогда на подпространстве L, где , имеем . Поскольку мы строим продолжение с сохранением нормы, то

.  (по теореме Рисса). Вычислим . Покажем, что в R² задана, Евклидова норма, тогда на подпространстве L:

, а

т.е.; Итак ; Систем имеет единственное решение:

 Значит и продолжение единственно: .

Пример 2. Доказать выпуклость множества

Решение:

Пусть , то есть  и . Тогда  имеем:

.

Значит , т.е. множество выпукло.

Пример 3. Записать уравнение гиперплоскости, к множеству  в точке .

Решение:

Функция  из  - строго выпукла, т.к. , а значит множество выпукло. Следовательно опорной к плоскости является касательная плоскость  множества  в точке  . → . По условию  подставим и получим:

.

Пример 4. Определить, будет ли выпукла на множестве . Функция .

Решение:

Проверим выпуклость множества . Функция  - выпукла на  по свойству выпуклых функций множество  - выпукло.

Составим матрицу ;  на подпространстве:  тогда функция будет выпуклой.

выпуклый множество функционал векторный

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.      «Выпуклый анализ» - 1973. В. М. Тихомиров.

.        «Элементы теории функций и функционального анализа» - А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин

3.      «Основы функционального анализа. 3-е изд.» - 2000. Кутателадзе С.С.

.        «Функциональный анализ в упражнениях.» - Грибанов Ю.

.        «Теоремы и задачи функционального анализа.» - Кириллов, Гвишиани.

.        «Функциональный анализ.» - 2004. Л.В.Канторович, Г.П. Акилов