Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем пособии в сжатой форме излагаются основные понятия теории функций комплексного переменного. Понятие комплексного числа возникло в первую очередь в результате потребностей автоматизации вычислений. Даже простейшие алгебраические операции над действительными числами выводят за пределы области действительных чисел. Как известно, не всякое алгебраическое уравнение может быть разрешено в действительных числах. Тем самым надо или отказаться от автоматического применения установленных методов решения и каждый раз проводить подробное исследование возможности их применения, или расширить область действительных чисел с тем, чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнимы. Таким расширением области действительных чисел являются комплексные числа. Замечательным свойством комплексных чисел является тот факт, что основные математические операции над комплексными числами не выводят из области комплексных чисел.

Введение комплексных чисел и функций комплексной переменной удобно также при интегрировании элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д., где часто приходится выходить в область комплексных чисел. Комплексная форма записи оказывается удобной и при математической формулировке многих физических положений (например, в электро- и радиотехнике, электродинамике и т.

д.).

Один из основных классов функций комплексной переменной — аналитические функции — находится в тесной связи с решениями уравнения Лапласа, к которому приводятся многие задачи механики и физики. Поэтому методы теории функций комплексной переменной нашли весьма широкое и эффективное применение при решении большого круга задач гидро- и аэродинамики, теории упругости, электродинамики и других естественных наук.

3

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1.1. Комплексные числа

Комплексным числом z называется упорядоченная пара

( y, x) , т.е. важны не только значения чисел х и у,

составляющих пару, но и порядок, в котором эти числа расположены.

Комплексные числа имеют простой геометрический смысл. Возьмем на плоскости прямоугольную декартову

частью числа z и обозначается x = Re z ; вторая компонента у

называется мнимой частью числа z и обозначается у = Im z. (Термины "действительная" и "мнимая" часть напоминают о непростом развитии теории комплексных чисел; теперь нам очевидно, что первая координата точки z не более "вещественна", чем вторая.) Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью и обозначается через . Два комплексных числа z1 = (x1 ,y1 ) и z 2 = (x 2 ,y 2 ) считаются равными, если x1 = x2 ,

4

y1 = y2 (т.е. если соответствующие точки z1 и z 2 на плоскости

совпадают).

Комплексные числа z = (x,0) изображаются точками на оси ОХ, как и действительные числа. Поэтому ось ОХ

точками на оси OY. Эта ось (в дань исторической традиции)

называется мнимой осью, а числа z = (0, y) — чисто мнимыми.

Комплексное число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается через i : i = (0,1) (рис. 1.2).

Иногда удобно представлять комплексное число z = (x,у)

в виде вектора Oz с координатами (х,у), исходящего из начала координат (т.е. в виде радиус-вектора точки z). Длина этого вектора называется модулем числа z

и обозначается через z . Таким образом, z равен расстоянию от точки z до начала

координат. По теореме Пифагора (см.

рис. 1.1)

вектором Oz , отсчитанный против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа z и обозначается через Arg z. Для числа z = 0 значение Arg z не определено. Очевидно (см. рис. 1.1), что

Рис. 1.3

откуда

5