Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

Arg(z1z2 ) = Argz1 + Argz2.

(2.6)

Эти формулы означают, что вектор z1z2

получается из вектора

z1 поворотом на угол ϕ2

и умножением его длины на

 

z2

 

.

 

 

Например,

умножение числа z на i

дает вектор,

который

получается

из вектора z

поворотом

на угол π / 2

против

часовой стрелки, так как i =π / 2 ,

 

i

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формул (2.6) следует, что аналогичными свойствами обладает произведение любого конечного числа комплексных чисел. Например,

z1z2 z3 = (z1z2 ) z3 = z1z2 z3 = z1 z2 z3 ; Arg(z1z2 z3 ) = Arg((z1z2 ) z3 ) = Arg(z1z2 ) + Arg z3 =

= Arg z1 + Arg z2 + Arg z3.

В частности,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = rn ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn

 

 

=

 

z z … z

 

=

 

z

 

Arg(zn ) = nArg z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n раз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn

= rn (cos

nϕ +i sin nϕ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.7)

Перейдем

теперь

к

делению

чисел

z1 , z2 , заданных в

тригонометрической

 

 

форме.

 

 

Заметим,

что

если

z2 = r2 (cos ϕ2 +i sin

ϕ2 ) ,

 

то

 

 

 

= r2 (cos

 

(−ϕ2 ) +i sin

(−ϕ2 )).

 

 

 

z2

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

 

 

z1

 

 

 

 

 

=

r1r2 (cos (ϕ1 −ϕ2 ) +i sin

(ϕ1 −ϕ2 ))

,

 

 

 

 

=

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

z

2

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(cos (ϕ −ϕ

2

) +i sin (ϕ −ϕ

2

)).

 

 

(2.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

r2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, модуль частного комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

11

 

 

z

 

=

z1

 

,

Arg

z

= Arg z − Arg z

,

если z

 

≠ 0 .

 

 

1

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

z2

 

 

 

 

z2

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности, если z1 =1 =1 (cos

0 +i sin

0) ,

 

 

z2 = zn = rn (cos

nϕ +i sin

nϕ) , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z−n =

1

 

(cos (−nϕ) +i sin

(−nϕ))

 

(2.9)

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим по определению z0

=1 при

z ≠ 0 . Тогда, в силу

формул

(2.7)

 

и

(2.9),

для

любого

 

целого

 

числа m

(положительного, отрицательного или равного нулю) справедливо равенство, называемое формулой Муавра:

 

 

 

 

 

 

zm = rm (cos mϕ +i sin

 

mϕ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.4. Найти (

2 −

6i)4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 1) Изобразим число

 

2 −

6i

(см. рис.

1.6) и

запишем его в тригонометрической форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

r =

 

z

 

=

( 2)2 +(− 6)2 =

2 +6 =

8;

cos ϕ =

x

 

=

 

2

=

1 ,

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

ϕ = ±π +2πk, k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

.

Поскольку

угол

 

ϕ

лежит

в IV

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

четверти (см. рис. 1.6), то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ = −

π

+2πk.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно

взять

главное

 

значение

аргумента

 

 

 

 

 

ϕ = −π . Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. z

=

 

 

 

π

+i sin

 

π

 

 

 

 

 

 

8 cos

−

3

 

−

.

 

Рис. 1.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2) По формуле Муавра (2.10) найдем z4 :

12

 

4

 

 

4

 

 

 

4π

 

 

4π

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

2π

z

 

= (

8)

 

cos

 

−

 

+i sin

 

−

 

 

= 64

cos

 

 

+i sin

 

=

 

 

3

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

64

 

−

 

+

 

 

 

i

= 32(−1

+

3i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(мы воспользовались тем, что

−

4π

+2π =

2π ).

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корнем

степени n

 

(n —

 

натуральное число)

из

комплексного числа z называется такое комплексное число ω ,

n-я степень которого равна z, т.е.

ωn = z . Корень n-й степени

из z обозначается n z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть z = r(cosϕ +i sinϕ) . Комплексное

число

ω = n z

будем

искать

в

виде

 

ω = ρ(cosθ +i sinθ) .

Так

как, по

определению,

ωn

= z , то

 

ωn

 

=

 

z

 

,

Arg ωn = Arg z . Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

ρn = r,

 

nθ =ϕ +2πk, k .

 

(2.11)

Поскольку r

и ρ — неотрицательные числа, то равенство

ρn = r

дает

ρ = n r ,

 

причем

берется арифметическое

(неотрицательное) значение корня. Второе равенство в (2.11) дает

θ =

ϕ +2πk , k = 0, ±1, ±2,…

 

 

 

Таким образом,

n

 

 

 

 

 

 

 

ϕ +2πk

 

ϕ +2πk

 

 

ω = n z = n

 

+i sin

,

(2.12)

r cos

n

n

 

 

 

 

 

 

 

где k = 0, ±1, ±2,… Подставляя в (2.12) значения

k = 0, ±1, ±2,…

…, n −1, получим n различных значений корня n-й степени — числа ω0 ,ω1,…,ωn−1. Для каждого из них ωk = n r ; поэтому соответствующие им точки расположены на окружности

радиуса n r с центром в начале координат (рис. 1.7). Аргументы

13

Рис. 1.7

θk = ϕ +n2πk = ϕn + 2nπ k

чисел ωk возрастают на 2πn при увеличении k на единицу.

При k = n получим θn = ϕ

+2π =θ0 +2π. Значит, точки

ωn и

 

 

 

n

 

 

ω0 совпадут. При

k = n +1, n +2,…мы снова будем получать

точки ω1,ω2 . Аналогично,

 

 

при

 

k = −1, −2,…

 

 

соответствующие

точки

 

 

будут совпадать с какими-

 

 

то из точек ω0 ,ω1,…,ωn−1.

 

 

Мы

приходим

к

 

 

следующему

выводу. Для

 

 

каждого

комплексного

 

 

числа

z ≠ 0

имеется ровно

 

 

n различных корней п-й степени из z. Все эти корни находятся по формуле (2.12)

при k = 0,1, 2,…, n −1. Соответствующие точки расположены

в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Формула (2.12) также называется формулой Муавра.

Пример 2.5. Найти все значения 4

z при z = 32(−1+ 3 i) .

Решение. Найдем модуль и аргумент числа z:

r =

322 ((−1)2 +( 3)2 ) = 32 2 = 64,

cos ϕ =

−32

= − 1 ;

ϕ = ±

2π

+2πk,

k .

 

64

2

 

3

 

 

Так как Re z < 0, Im z > 0, то

угол

ϕ

лежит

во II четверти.

Поэтому ϕ = 23π +2πk. В (2.12) можно взять любое значение

14

аргумента

ϕ ,

 

в частности

ϕ =

2π

.

Подставляя

найденные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значения r и ϕ в формулу (2.12), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

+2πk

 

 

 

 

 

 

 

2π

+2πk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4 32(−1+ 3i) = 4 64

cos

 

 

 

 

 

 

+i sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

 

 

 

 

 

 

 

π

+

πk

+i sin

 

π

+

πk

 

 

 

 

 

 

 

 

2 cos

 

 

 

2

 

 

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(мы

воспользовались

равенством

 

 

 

 

 

 

4 64 =

 

8 = 2

2 ).

Подставляя

значения

 

k = 0,1, 2,3 ,

 

найдем

 

четыре

 

различные

значения 4

z :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

= 2

2

 

cos

π

+i sin

π

= 2

2

 

 

 

 

3

 

+i

1

 

=

6 +

 

2i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω1 = 2

 

 

 

2π

+i sin

 

2π

=

 

 

 

 

 

 

−

 

1

 

+i

 

3

 

= −

2 +

6i;

2

cos

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω2

= 2

2

 

 

7π

+i sin

 

7π

= −

 

6 −

 

2i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω = 2

2

 

cos

5π

+i sin

 

5π

=

2

2

 

1

 

−i

 

3

=

 

2 − 6i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остальные значения k новых точек уже не дадут. Заметим, что, извлекая корень 4-й степени из числа z = 32(−1+ 3i) , мы решали задачу, обратную той, которая разбиралась в примере 2.4, и корень ω3 = 2 − 6i оказался равным тому числу, которое возводилось в 4-ю степень. Но, кроме числа ω3 , будет

еще 3 различных значения

4 z

соответствующие точки

ω0 , ω1, ω2 , ω3

расположены

в

вершинах правильного

15

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)