Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Удобно ввести главное значение аргумента числа z - значение аргумента, удовлетворяющее неравенству −π <ϕ ≤π . Главное

значение аргумента числа z обозначается через arg z.

В дальнейшем вектор Oz мы часто будем обозначать просто z.

1.2. Действия над комплексными числами

1. Сумма, разность комплексных чисел и умножение комплексного числа на действительное число определяются точно так же, как действия над соответствующими векторами.

z = z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 )

Разностью комплексных чисел называется комплексное число z = z1 − z2 = (x1 − x2 , y1 − y2 ) .

Таким образом, при сложении и вычитании комплексных чисел соответственно складываются или вычитаются их действительные и мнимые части. Из рис. 1.3 видно, что модуль

z1 − z2 равен расстоянию между точками z1 и z 2 .

Произведением комплексного числа z = (x,у) на действительное число λ называется комплексное число λ z = ( λ х, λ у).

Так как (см. рис. 1.3) сторона Oz треугольника Ozz1 не

больше суммы двух других его сторон, то справедливо так называемое неравенство треугольника:

6

z1 + z2 ≤ z1 + z2 ;

равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы z1

декартовой формой комплексного числа z. Сделав подстановку по формулам (1.2), придем к выражению

7

аргумента ϕ = 23 π . Поэтому число z в тригонометрической форме имеет вид

Можно использовать и другие значения Arg z:

2. Рассмотрим теперь операцию умножения комплексных

z1 = x1 +iy1 и z2 = x2 +iy2 , записанных в алгебраической форме,

определяется следующим образом. Следует раскрыть скобки по обычным алгебраическим правилам и упростить

полученное выражение, пользуясь равенством i2 = −1:

лучше не запоминать эту формулу, а выполнять указанные выше действия непосредственно.

Пример 2.2. Найти произведение чисел z1 = 2 −3i и z2 = −4 +i .

Решение.

z1z2 = (2 −3i)(−4 +i) = −2 4 +3 4 i +2 i −3 i2 =

= −8 +12i + 2i +3 = −5 +14i .

Из определения суммы и произведения комплексных чисел следует, что эти операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над действительными числами:

8

z1 + z2 = z2 + z1; z1z2 = z2 z1;

z1 (z2 + z3 ) = z1z2 + z1z3; z1 (z2 z3 ) = (z1z2 )z3.

Отсюда следует, в частности, что при действиях над комплексными числами применимы все формулы сокращенного умножения. Например:

(z1 + z2 )2 = z12 +2z1z2 + z22 , (z1 + z2 )(z1 − z2 ) = z12 − z22 ,

Два комплексных числа, у которых действительные части

3. Деление комплексных чисел, так же как и для действительных чисел, определяется как действие, обратное умножению. Делить можно только на комплексные числа, отличные от нуля. Чтобы найти частное z1 / z2 комплексных

чисел, заданных в алгебраической форме, следует домножить

числитель и знаменатель дроби на z2 и воспользоваться равенством (2.4):

9

После этого нужно выполнить умножение в числителе и разделить действительную и мнимую части получившегося числа на знаменатель:

Как и в случае умножения, мы рекомендуем не запоминать эту формулу, а усвоить правило нахождения частного.

(заметим, что мы выполнили действие, обратное умножению из примера 2.2).

4. Рассмотрим теперь умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Пусть

+i(sin ϕ1 cos ϕ2 +cos ϕ1 sin ϕ2 )) = r1r2 (cos (ϕ1 +ϕ2 ) +i sin (ϕ1 +ϕ2 )). (2.5)

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

z1z2 = z1 z2 ,

10