Реферат: Закон сохранения момента количества движения в физике магнитных явлений

К сожалению (повторим еще раз), события происходили не в логически удобной последовательности. Эйнштейн и де Гааз, по-видимому, из-за ошибки в расчете, получили значение гиромагнитного отношения, равное , т.е. не обнаружили расхождения с теорией тех лет. Более того, их статья так и называется "Экспериментальное доказательство молекулярных токов Ампера". Подчеркнем: Эйнштейн прекрасно понимал, что гипотеза Ампера противоречит классической физике. Именно поэтому и был задуман эксперимент по наблюдению гиромагнитного эффекта. Он должен был подтвердить (и, по мнению авторов, подтвердил) существование молекулярных токов. Гиромагнитное отношение впоследствии неоднократно измерялось. Оно оказалось вдвое больше, чем следует из формулы приведенной выше.

Штерн и Герлах поставили свой опыт в 1922 г., когда о существовании у электрона спина уже подозревали. Подозрение возникло при анализе атомных спектров - главного источника сведений о структуре атомов в те годы.

Но что же такое спин? И какое отношение он имеет к физике магнитных явлений?

У квантовой частицы, кроме момента количества движения, обязанного ее движению в пространстве (его называют орбитальным моментом количества движения, хотя ни о какой орбите, как мы помним, говорить нельзя), может существовать момент количества движения, присущий самой частице. Этот момент называют собственным (внутренним) моментом, или спином. Слово спин (spin) по-английски означает веретено, но представление о частице с отличным от нуля спином, как о шарике или волчке конечного радиуса, вращающегося вокруг своей оси, ни в какой мере, даже самой грубой, не соответствует действительности. Прежде всего, потому, что вообще элементарной частице (например, электрону) не удается приписать конечный радиус. Многочисленные попытки оказывались неудачными, так как входили в противоречие с требованиями теории относительности. То, что спин не есть результат пространственного вращения частицы, наиболее отчетливо видно из следующего: значения проекции собственного момента количества движения частиц могут быть не только целыми (см. (1) и (2)), но и полуцелыми.

Для электрона: s = 1 /2;  = ± 1 /2; 2s + 1 = 2.

Протоны, нейтроны и нейтрино тоже имеют спин, равный . У фотона спин равен единице, а у всех -мезонов (их три: нейтральный  и два заряженных,  и  с зарядами ± е) спин равен нулю.

Как мы видим, существование собственного момента расширило возможные значения момента количества движения: спин может принимать целые (s = 0, 1, 2 и т.д.) и полуцелые (s = 1/2, 3/2, 5/2 и т.д.) значения. Нулевой спин причисляют к целым спинам.

Частицы с нулевым и целым спином называют бозонами (по имени индийского физика Бозе), а частицы с полуцелым спином - фермионами (по имени Ферми). Почему все частицы делят на два класса, мы поймем позже.

Спин элементарной частицы - присущее ей внутреннее свойство, как заряд и масса. Электрон или протон не могут расстаться со своим спином, как не могут потерять часть своего заряда или массы. Именно в этом и проявляется элементарность электрона, протона, нейтрона и других частиц, которые принято считать элементарными. Их элементарность не препятствует взаимным превращениям. Но это совсем другая тема.

Дирак построил теорию электрона, т.е. сформулировал уравнение, которому должна удовлетворять волновая функция электрона. Это уравнение (его так и называют - уравнением Дирака) учитывает не только волновые свойства электрона, но и требования теории относительности. Квантовую механику, согласующуюся с требованиями теории относительности, называют релятивистской квантовой механикой. При ее создании не знали частиц со спином, отличным от 1/2. Дираку казалось, что равенство спина половине - логическое следствие релятивистской квантовой теории. После открытия частиц со спином, отличным от 1/2, было понято, что уравнение Дирака - не единственное возможное уравнение. Волновые функции частиц с  подчиняются уравнениям, отличающимся от уравнения Дирака, которое безукоризненно описывает свойства электрона - частицы со спином 1/2.

Логическим следствием релятивистской квантовой механики заряженной частицы с зарядом е, массой m_e и спином 1/2 оказалось существование у такой частицы магнитного момента, имеющего две проекции, равные . Сравните это выражение с формулой (3)! Видно, что для собственного спинового момента количества движения гиромагнитное отношение равно , т.е. вдвое больше, чем для орбитального момента. Классическое (орбитальное) гиромагнитное отношение в единицах  мы будем обозначать , а спиновое .

Подчеркнем: = 2 в единицах  при любом значении s (даже целом!). Букву g без индекса мы оставим для полного гиромагнитного отношения, учитывающего и орбитальный и спиновый моменты. Его называют -фактором, или фактором Ланде.

Как мы уже говорили, существование у электрона спина действительно объясняет и опыт Штерна-Герлаха, и опыт Эйнштейна - де Гааза. В обоих случаях проявился не орбитальный, а собственный момент количества движения электронов.

Таблица I

В небольшой таблице (табл. I) мы собрали сведения о спинах и магнитных моментах трех наиболее важных частиц - частиц, из которых построены все окружающие нас тела и мы сами.

То обстоятельство, что нейтрон, хотя он и нейтральный, обладает магнитным моментом, а магнитный момент протона в 2,8 раза больше, чем предсказывает формула Дирака, нашло свое объяснение в современной теории элементарных частиц.

В телах число электронов равно числу протонов, а собственный магнитный момент электрона во много раз больше магнитного момента протона. Ясно, что именно электроны играют главную роль в магнитных свойствах тел различной природы. Правда, удается не только обнаружить и измерить магнитные моменты атомных ядер (хорошо известны магнитные моменты практически всех атомных ядер), но и исследовать магнитные свойства веществ, обусловленные существованием ядерных магнитных моментов. Часть физики магнитных явлений, занятая исследованиями магнитных свойств ядерных частиц, называется ядерным магнетизмом. О ядерном магнетизме мы, к сожалению, почти ничего не расскажем.

4. g-фактор

В подавляющем большинстве случаев элементарным магнитиком можно считать собственный магнитный момент электрона. Его проекция на ось равна (с точностью до знака) магнетону Бора . Если электрон движется так, что его орбитальный момент отличен от нуля, магнитные моменты, орбитальный и спиновый, складываются. Но как складывать "квантовые векторы", т.е. векторы, обладающие дискретными значениями проекции на избранную ось?"Классические" векторы складывают по правилу параллелограмма. Для этого надо знать длину каждого вектора и угол между ними. Когда складывают "квантовые" векторы, поступают следующим образом. Пусть есть два вектора,  и  таких, что , а ,  - целые или полуцелые числа. Спрашивается, каким может быть вектор, равный сумме  и ? Для получения ответа спроектируем эти векторы на общую ось. Ясно, что максимальная и минимальная проекции суммы двух векторов есть  и . Это означает, что максимальная проекция вектора , т.е. J может принимать значения от  до . Вычислим, чтобы попрактиковаться, возможные дискретные значения скалярного произведения  через ,  и J. Для этого равенство

возведем в квадрат (по обычным правилам), а для ,и  воспользуемся "квантовыми" выражениями:

т. e.

 (9)

Подставляя вместо J его возможные значения от  до , получим набор возможных дискретных значений скалярного произведения .

Векторы  и  могут относиться к одной частице (скажем, один из векторов - орбитальный момент, а другой - спиновый) или к разным (например, можно задать вопрос, чему равен момент двух частиц, если момент одной частицы , а другой ?).

Правило сложения векторов поможет нам выяснить, каким может быть спин системы, состоящей из нескольких электронов.

Начнем с двух электронов. Так как каждый из спинов может ориентироваться только по оси, либо против оси, то возможны только такие ситуации:

) спины "антипараллельны" друг другу - суммарный спин равен нулю (S = 0);

) спины "параллельны" друг другу - суммарный спин равен единице (S = 1).

Слова "параллельны" и "антипараллельны" взяты в кавычки, так как у спина электрона, как у всякого момента, две его проекции  не имеют определенного значения.

Между состояниями с S = 0 и S = 1 есть существенное различие. Состояние с нулевым спином - единственное (его так и называют - синглет). Состояний же со спином, равным единице, может быть три: с  = - 1, 0 и 1. Это состояние называют триплетом.

Чтобы еще более отчетливо почувствовать различие между классическими и квантовыми моментами, вычислим значение  при S = 0 и при S = 1 ( и  - векторы спинов первого и второго электронов, ). Заметим что спин, равный половине, наименьший из встречающихся в природе моментов, кроме нулевого, конечно. Для него отличие квантовых свойств от классических максимально. Согласно формуле (9)

 (10)

Таблица II

Если бы моменты были классическими, то произведения  для "параллельных" и "антипараллельных" спинов отличались бы только знаком и равнялись бы .

Какие значения имеют проекции спинов каждого электрона в синглетном и триплетном состоянии, видно из табл. II (стрелка вниз изображает состояние отдельного электрона с , стрелка вверх - с ).

Обратите, пожалуйста, внимание на то, что спиновая конфигурация может быть антисимметричной (S = 0) и симметричной (S = 1). Глядя на таблицу, нетрудно понять, что речь идет о перестановке электронов. Понимание симметрии спиновых конфигураций поможет разобраться в таком важном для теории магнетизма понятии, как обменная энергия.

Три электрона, как легко сообразить, могут иметь спин, равный 1/2 или 3/2. Вообще четное число электронов создает конфигурации с целым спином (в частности, с нулевым), а нечетное число электронов - с полуцелым.

Рассмотрим теперь систему из нескольких электронов. Орбитальный момент электронов пусть равен , а спиновый - . Напомним, что задание моментов означает задание их длин L и S и проекций на выбранную ось , (одно из чисел: ) и  (). Каким магнитным моментом будет обладать эта система электронов? Если несколько уточнить вопрос, то ответ придет почти автоматически. Вращательные свойства системы характеризуются полным моментом количества движения , максимальная проекция которого J, согласно предыдущему, может принимать значения от до . Магнитный момент  пропорционален , причем коэффициент пропорциональности мы назвали гиромагнитным отношением. Итак,

 (11)

и задача сводится к отысканию величины g-фактора как функции L, S и J. Напомним, что задача возникла из-за того, что гиромагнитные отношения для орбитального и собственного моментов разные (). Учитывая различие g-факторов, для магнитного момента можно написать следующее выражение: