Реферат: Закон сохранения момента количества движения в физике магнитных явлений

 (12)

Рис. 5. Классическая картина "прецессии" орбитального  и спинового  моментов вокруг полного момента .

Черта над векторами  и  означает, что берутся их средние значения. Дело в том, что сохраняется (имеет определенное стационарное значение) только полный момент количества движения  (поэтому над ним нет черты), а векторы  и  прецессируют вокруг  (рис. 5).

Нас, согласно формуле (12), будет интересовать вектор , который, естественно, направлен вдоль вектора  (это отчетливо видно из рис. 5), т.е. .

Константу  легко определить из следующей цепочки равенств:

.

Заметьте: для  мы опять воспользовались квантовой формулой. Значение  вычисляется совершенно аналогично тому, как была получена формула (9):

.

Следовательно,

Сравнивая формулы (11) и (12), получаем искомое выражение для g-фактора:

. (13)

Если спин отсутствует (S = 0), то, естественно, J = L и g = 1; если же L = 0, а J = S, то g = 2. При J = 0, что возможно при L = S, выражение (11) не определено, но, конечно, никакого магнитного момента нет, так как все проекции вектора  равны нулю.

Фактор Ланде g может быть равным нулю и при , например, при L = 2, S = 3/2 и J = 1/2. Этот пример показывает, что g-фактор отнюдь не "располагается" между единицей и двойкой.

Подведем итог: если система электронов имеет определенный полный момент количества движения , являющийся суммой орбитального  и спинового  моментов, то магнитный момент такой системы электронов равен "квантовому" вектору  (см. (11)), проекции которого на избранную ось есть , где  принимает одно из следующих значений:  а g-фактор определен формулой (13).

5. Принцип запрета Паули

Одинаковые частицы в классической и квантовой физике ведут себя совершенно по-разному. Классические частицы, даже абсолютно одинаковые, движутся каждая по своей траектории. Если в начальный момент времени положение каждой из частиц было зафиксировано, то в любой последующий момент, зафиксировав снова частицы в пространстве, - на их траекториях, можно указать, где какая частица находится, т.е. отличить одну от другой. В квантовой механике ситуация совсем иная, так как частицы движутся не по траекториям. Зафиксировав частицу в начальный момент времени, мы принципиально не имеем возможности найти ее среди ей подобных в последующие моменты времени.

В квантовой механике одинаковые частицы совершенно неразличимы.

Такое утверждение составляет содержание принципа тождественности одинаковых частиц. Из принципа тождественности следует, что перестановка одинаковых частиц не приводит к изменению квантового состояния системы.

Рассмотрим волновую функцию двух частиц . Цифры 1 и 2 символически обозначают координаты (с учетом переменной, указывающей направление спина) первой и второй частиц. Перестановка двух частиц (первая частица становится на место второй, вторая - на место первой) описывается перестановкой аргументов у функции :

.

При такой операции состояние системы не должно измениться. Но это означает, что при перестановке волновая функция может только приобрести постоянный множитель. Обозначим его буквой . Тогда . Проделав перестановку частиц два раза, т.е. вернувшись к их исходному расположению, убеждаемся, что  и, следовательно, либо , либо . Значение множителя  определяется не состоянием системы, а типом частиц, составляющих систему.

Так как множитель а равен или +1, или - 1, то существуют два типа частиц:

для одних перестановка не приводит к изменению волновой функции:

(Б)  (14);

для других при перестановке частиц волновая функция меняет знак:

(Ф)  (15).

Мы описали сейчас свойство частиц, не имеющее никакого классического аналога. Квантовая механика привела к открытию свойств, не связанных с силовым взаимодействием между частицами; частицы могут даже не взаимодействовать друг с другом, но выписанные выше перестановочные законы должны обязательно выполняться. Природа (квантовая механика) диктует частицам правила поведения в коллективе - ведь ясно, что, обобщая соотношения (14) и (15), мы можем рассматривать совокупности любого числа частиц. Часть физики, занимающаяся исследованием поведения больших (макроскопических) совокупностей частиц, носит название статистической физики. О частицах, для которых выполняется соотношение (14), говорят, что они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, а о частицах, для которых, выполняется соотношение (15), - статистике Ферми-Дирака. Поэтому слева от равенств (14) и (15) поставлены буквы (Б) и (Ф).

Есть ли у частицы какое-либо "личное" свойство, которое определяет ее подчиненность одной из двух статистик? Оказывается есть. Как показал Паули,

частицы с нулевым и целым спином подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, частицы с полуцелым спином - статистике Ферми-Дирака.

Становится понятным, почему частицы с целым или нулевым спином были названы бозонами, а частицы с полуцелым спином - фермионами.

Теперь вернемся к вопросу о том, сколько электронов может находиться в одном состоянии. Во-первых, напомним, что у электрона спин равен половине и, следовательно, электроны - фермионы. И, во-вторых, сформулируем один из фундаментальных принципов атомной физики - принцип запрета Паули:

Сейчас мы докажем принцип запрета Паули, используя антисимметрию волновой функции двух электронов. К тому, что мы знаем о волновой функции, надо добавить: волновая функция двух невзаимодействующих частиц строится в виде билинейной комбинации волновых функций отдельных частиц. Итак, пусть один электрон находится в состоянии , а другой в состоянии . Тогда, при перестановке частиц, в согласии с правилом (15),

.

Отсюда: если состояния  и  совпадают , волновая функция тождественно равна нулю - такого состояния нет.

Мы видим, что фермионы - индивидуалисты, они не терпят себе подобных. Каждая физическая система стремится находиться в состоянии с наименьшей энергией. Это обстоятельство плюс принцип Паули позволяют понять структуру атомов и вместе с этим - природу периодического закона Менделеева. По сути, задача сводится к расположению Z электронов атома с атомным номером Z по состояниям, учитывая, что:

Таблица IV

) состоянием с различными  и , но одинаковыми  и  отвечает одинаковая энергия, и

) полный набор квантовых чисел  может иметь только один электрон.

Число состояний с определенным значением  равно . Так как  не может быть больше , то каждому значению  соответствует всего несколько : при  только  (s-состояние), при  имеем  и  - s - и р-состояния и т.д. Легко подсчитать, сколько электронов могут иметь совпадающие  и  при произвольных их значениях и составить таблицу.

Таблица III показывает распределение числа состояний по группам с определенными  и . Сравнение этой таблицы с периодической системой Менделеева показывает, что периоды периодической системы - следствие последовательного заполнения электронами состояний с разными  и , расположенных по группам. Первая группа заполняется в атомах Н и Не. В Не заполнена одна оболочка. Заполнение второй и третьей соответствует двум первым (малым) периодам периодической системы, содержащим по восемь элементов (они заканчиваются на Ne и Аr). Далее - два больших периода по 18 элементов (до Кr и Хе соответственно) и большой период, содержащий 32 элемента (до Rn); последняя группа состояний только начинает заполняться в существующих элементах.

Повторение химических свойств атомов при переходе от периода к периоду связано с тем, что в химических свойствах наиболее существенную роль играют внешние электроны - электроны, находящиеся вне полностью заполненной оболочки (мы, к сожалению, не можем на этом подробно останавливаться).

Порядок расположения состояний в табл. III, соответствующий последовательности их заполнения электронами, конечно, связан с зависимостью энергии электронов от  и . Глядя на первые строки таблицы, можно сформулировать простое правило: сначала заполняются состояния с наименьшими  и всеми допустимыми , а потом происходит переход к следующему . Однако в четвертой строке и во всех последующих дело обстоит не так просто. Например, раньше (по таблице) должны заполняться состояния 4s, а потом 3d. В действительности, если взглянуть на электронные конфигурации группы железа (от Sc до Ni), то видно, что идет соревнование между заполнением 4s и 3d оболочек: например, после V, у которого три электрона в состоянии 3d и два в 4s, идет Сr, у которого пять электронов в состоянии 3d и один в 4s, а у Мn при пяти электронах в состоянии 3d два в состоянии 4s.

Чтобы приблизиться к теме нашего рассказа о магнитных свойствах, заметим, что совокупности электронов, полностью заполняющих группу состояний с заданными  и , обладают суммарным нулевым моментом, как орбитальным, так и спиновым. Это связано с тем, что для заполнения необходимо использовать электроны с противоположными проекциями моментов.

Для примера в табл. IV приведены электронные конфигурации нескольких элементов.

В последнем столбце таблицы расположен символ (терм), в котором собраны нужные сведения о свойствах электронной конфигурации данного атома в основном состоянии. Структура символа такова: латинская большая буква обозначает полный орбитальный момент электронной конфигурации со следующим соответствием: S Р D F. далее по алфавиту: L = 0 1 2 3.

Индекс внизу обозначает величину полного момента , индекс наверху - мультиплетность, т.е. значение , где  - полный спин электронов атома. У Be терм , т.е. L = 0, J = 0, S = 0; у Аl терм , т.е. L=l, J =1/2, S=1/2. Глядя на терм атома, по сформулированному выше правилу легко вычислить g-фактор и определить магнитный момент атома. Разработаны достаточно точные расчетные методы, существуют сравнительно простые правила (правила Хунда), позволяющие определить термы всех атомов. Тем самым квантовая механика решила вопрос о магнитных моментах мельчайших структурных единиц вещества - атомов. Хотя среди атомов встречаются такие, у термов которых справа стоит нуль, т.е. J = 0 (например, у всех атомов инертных газов), у большинства атомов есть отличный от нуля полный момент и, следовательно, они - микроскопические магнитики.

В заключение этого параграфа приведем электронную структуру "самого магнитного" атома - атома железа (феррума) Fe, по имени которого получило свое название "самое магнитное" свойство - ферромагнетизм

Fe: терм .

6. Обменная энергия

Рассмотрим термы атомов. Например, электронная конфигурация Mn (Z = 25) такова: оболочка Ar + , а его терм . Почему спин электронов марганца равен 5/2? Ведь ясно, что принцип Паули не запрещает электронам иметь и другие проекции спинов. Что заставило все пять электронов выстроиться "параллельно"?

Другой пример не из теории атома, а из теории молекул. Простейшая молекула - молекула водорода . Два электрона движутся вокруг двух протонов, создавая устойчивую конфигурацию. Два электрона могут иметь спин S, равный 1 или 0. Электроны в  имеют спин, равный нулю. Почему? Эти вопросы требуют ответа и ответ этот нетривиален. Дело в том, что причина осуществления той или другой спиновой конфигурации не связана с магнитным взаимодействием электронов, хотя ясно, что выбор спиновой конфигурации определяется энергетической выгодностью: осуществляется та, которая обладает меньшей энергией.